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Développement : Décomposition de ^Frobenius d'un endomorphisme en dimension finie.

FÏêdéric Valet 2L septembre 20L4

1 ^Prérequis.

Réf : Gourdon, Algèbre, annexe

B.

Soit

K

un corps,

et

-E

un

K-espace vec-

toriel

de dimension n.

Soit

/

^{€.C(,8). On note :}

-

^zr, son polYnÔme minimal.

- ^{Ly ::} {P(/)

I

P

€

Klxl}.

-

^{Pôur æ e}

^E,P,

^{est le polynôme unitaire} engendrant l'idéal

{P

^e

K[X]

_I

P(/X") :

o).

- ^{E.:: {P(/Xr)} lP€Klxl}.

- ^k ::

deg(zry)

; Ly

^est

^un

§ous-espace vectoriel de

L(E)

de dimension k, avec pour base

(Idp, f,''' ^, lk-').

- ^I :: deg(Pr); E,

^est

un

sous-espace vectoriel de

E

de dimension

I,

^avec pour base

(r,l@),' '' ,.ft-t(r)).

Lemme I Il

existe

r, tel

^que

Pa:7tî.

Définitions de

la

cyclicité :

il

^existe

a e E tel

^que

Ea : E;

^deg(tr1)

: _n;

11

: _Çl)nyy.

Définition d'une matrice compagnon

d'un

^polynÔme

P

:

C(P)' Lemme 2

Si

f

^{est cyclique} c'est-à-ilire

qu'il

eoiste

t

e

E

tel que

E, : E,

olors

il

existe une ^bose de

E tel

que

la

motrice ile

t

^soit

^C("t).

2 Théorème de la décomposition.

Théorème 3

Soit

! ^€ La;il

^edste

(fr,"' _,F,)

suite d,e sous-espoces uecto- riels ile

E,

stobles par

f,

^{telle que :}

1. E:FtG-FzOf'2O"'CIF',

2.

Vi

€ {1,.

^{. . ,}

r}, fi:: l1r,

^est

un

end'omorphisme cyclique de

Fi.

9.

Si

Pi

est le ploynôme

minimol

^d,e Fa

,

^{alors PaallPi.}

Les Pa sont les invariants de similitude de I'endomorphisme'/.

Remarque 4

Lo troisième condition implique que P1 annule

f

^{sur chacun iles}

Fi,

ilonc par la dernième condition sur

E.

^{Ainsi, P1 est un} polynôme onnulateur.

Par

définition

il

est

unitaire,

et

par

cyclicité,

il

est minimal.

Dêmonstration

Unicité.

Soient

(l71,.'.,fL) d (Gr,"',G"),

deux suites d'espaces différentes

à

^per-

mutation

près, vérifiant les conditions

du

théorème.

On note P; i:nty,r.

et

Qi i: nl,",.

D'après la remarque,

Pt:

Qt ; on note donc

j

le plus

petit

indice tel que

Pi * ^Qi.

Puisque PxlP,. pour

tout k ) ^j,

^{on a}

Pi$)@l"):

0. Grâce à

la

décomposition de

E,

on obtient ^:

Pi$)@): PiU)@) o...@ P1$)@i-r).

Puisque les

Gi

^sont stables pax "f ^:

PiU)@) - ^{P U)Gù o...o} Piff)G").

Pour

tout i < i,

^on

^a Fi:

G;, et par unicité du ^polynÔme

minimal

de

/i

^:

Pn:

Q6.

D'où

^:

dim Pr'(/)

(fl

₎

:

dim Pi

(/)(Gr).

Grâce aux deux décompositions de

Pi(/)(,O),

on obtient une contrainte di- mensionnelle ^:

o

: dimP;(.f)(Gi) +

^{. . .}

+

^dim

Pj(/)(G,)

et Pr' est un polynôme annulateur de

lp,

^donc

Q;lPi.

On

fait

de même avec

Qi

^{à la place de Px', et} puisqu'ils sont unitaires,

Qi : Pi.

Existence.

Soit

r €

^.E

tel

que

Pt :

ntl. Avec

k ::

degurr, on a une base de

E,

^:

(eL

:

fi,e2

:

_1(o),

"'

têk

: .ffr-l(fi)).

On choisit de prendre

Fr : Er.

Grâce au théorème de

la

base incomplète, on

la

complète en une base de

E : (e1,"',en). On

note

Ia

base duale associée (ei, .. . _,

ei).

Soit un sous-espace du dual

I

^:

r :: {r/i(ei),2

^e

Ni : _{e[

^{o yi,}

t

e

x]

G:: ^fo.

L'ensemble G est l'orthogonal du dual

I il

reprêsente l'ensemble des æ

e

-E

tel

que

Ia

kième coordonnée des

/i(r)

soit nulle.

Par

définition,

G

est stable par

/, ^et

^{de plus, c'est}

^un

sous-espace vectoriel

de.E. Le.but

sera de montrer que

E: F

@G.

Soit

y

e

FIG; il

admet une décomposition dans

F

^:

y: aret*"'!ap€pt

où

p < k

est l'indice de la plus grande coordonnées non nulle. De plus

y e G

^:

Y

e

G

<+Vi

€

N, _{eio fi(Y)} :9,

p

<+

Vi

€

N, !a1e[ ^o/i(er) :

0,

i=t

p

eVie N, !a1e[(ej+r):0,

i=r

+

^pour

i:

^k

_- p,ap(ei@oap-) :0.

è ap:0,

^{c'est absurde-}

Montrons à présent que

dim(G) :

n

-

^{lc. Pour cela, on utilise}

l'application

^:

Ô

r0t ^'+uectl I ^+eio

^g'

Puisque

7i

^e

^Ly,

^alors

/

est surjective.

A

présent, si on a

elo

^g

:0,

on décompose

g

: g

: o4ld+

^o'21

+ "' * ^aolp-r,

où

p S k

^{est le plus gra,nd indice}

tel

qte ao

10.

eT o g

:0

<+ o1e[

* ^a2ei" I +... * ^aoeio

-fP-1

:

0

+

^(a1ei

* ^a2ei"

_"f

⁺

^{. .}

^.-l

^{aoei o}

.f'-') (/k-(p-1)(c)) :

o

* ao:

^Q'

Donc pour tout p

<

k, ap

:

O, et _Q est injective. Elle réalise un isomorphisme de

L1 sv aectl.

dimLl : lc: dimuectl,

dimG:n-,t.

Ainsi,

dimF*dimG : _n,et

on obtient

E: F@G.

On a donc suffisamment travaillé

pour

obtenir

tr'r qui

^convieune

: il

est stable pa.r

/,

de même que G.

On prend

Pt :

T

î

^{sur .F'1, et pour}

^tout

^polynÔme a,nnulateur de

"f1c,

il

divisera P1, donc Ia troisième condition est vérifiée. Puis

on

réalise une récurrence, en étudia,nt cette fois G

et fp.

^{EIle termine car dim G}

^<

^dim

^E :

n.

Theoreme: Decomposition de flobenius. 1 .9odentPt,"' ,P,

^lasuitedes

inoariontes de similitude de

I ^{e L(E)} ;

^olors

^il

^{eriste une base}

^B

^de

^E

^{telle que :}

("(") ^(o) \

Matu(fl: I

^I

\ rol ^c(P,))

oaec P1

:îl

et

h ' ^P,

^{le polynôme} caractéristique d,e

f

^.

Démonstration

On a dêjà les .Fi

du

théorème prêcédent; on considère

la

base

Bi de

Fa, où

fla

^est cyclique, et donc la matrice de cette fonction serait C(Pa). Puis on écrit

/

^{dans la base}

B: ^(8t,... ,8,).

Polynôme caractéristique:

X1: (1- ^X)i(2 - ^X)2'

folynOme minimal : ¹¹

: (l - ^X)(2 - ^X)''

O""" a - ^î1 : ys ^'3yà +6X-4'

On choisit

nt: ^{e3*et+ er'}

^{On trouve}

I

@),

r, @).'h :

v ed.{ær,

"f

(r),

_{12 @)}:}

b)irïiL,'a :-vect{æz-:

ez11

et Fs:Ved.{rs: ^ee}.on

^obtient les matrices de passage ^:

3 Application.

Pas de référence, ça ^se

fait

à la main !

en calculant à la main l'inverse.

on

^{obtient une matrice de trois blocs diagonaux :}

Mafu,(f):

ltoooo\

lo 1 o o ol

':[i iàil

.:[ï

ïïiil".,-:(i ïïïï)

Ii+,,)

Développement : Décomposition de Dunford.

Frédéric Valet 27 septembrc 2074

K

est un corps,

et E

est un K-espace vectoriel de dimension finie n.

Proposition I

Soit

u e L(E),

^et

P e K[X]

un polynôme annulateur unitaire

deu.

On note

P -

^Po'

"'Pffo la

décomposit'ion en facteurs irréductibles de

P,

et Fn

: ker(ff'u).

Alors

E

se décompose en une sornrne d'irecte :

E : _{@!=, Fi,}

et pour

tout'i,

le proiecteur

pi

sur

Fi

parallèlement à

@i+t Fi

est un polynôme en u.

Dêmonstration.

D'après le lemme des noyaux, on a

la

décomposition de .E en

la

somme directe des espaces vectoriels _-Q.

II

reste donc à prouver que chacun des projecteurs est un polynôme en u.

Notons

Rt :: _flj+t Pli . Par Ia relation

de Bézout, les polynômes Pa étant irréductibles et

deïx

à-deux premiers entre eux, Ies polynômes ,Rz le sont aussi, et

il

existe des polynômes

Qr,'''

^{, Qa tels que :}

RrQr*"'*R6Qa:1.

En appliquarit le morphisme de

K[X]

à valeurs dans

f,(E)

^:

P,iu)Q{l) + "'+ Rau)Qau): Id.

Notons

pt:: Riff)Q1(/)

les endomorphismes de

L(E),

et montrons que ce sont Ies projecteurs recherchés. Ces applications sont en

tout

cas bien des polynÔmes en u.

Tout d'abord, pour i ₊ i,PtoPj: RiRiU)"QrQiff):0 ^{car RaRllPle}

polynôme annulateur. De plus, puisque

H * "' * pa: Id,

^on

a:

pt o

pr *... *

^{pe o pd}

:

p?

-

^Pi,

et

pi

est bien un projecteur. Quel est ^{son image ?} Soit

y

e

im,(p).II

^existe

n e E tel

^qloe

pi(r):

^y.

pi' _U)@) : (Pi'

R")

" Q{f)@) :

Qr

or(/)(r) :

o.

Donc

Im(pt)

e

4.

Réciproquement, si

n € 4,

^{on peut} ie décomposer dans -E i

ï :

^pl

^(r) +'

^'

'+

pa(r).

Cependant, certains membres sont nuls : pour ri

* i,pi@): ^QioRi(n):

0,

car

PilRi.

D'où

r :

po(*), et Fa C im'(p1).

Finalement,

il

ne reste qu'à montrer que ker(pi)

:

_@r+i

4' ^O"

^{a facilement}

que

4 ^c

^{ker(pr), car si æ}

^{€ Q,}

^alors

^{eir U)@):}

^{0 et en} particulier QaU)@)

:

0.Doncreker(pi).

Réciproquement,

si r e ker(p),

alors

on utilise la

décomposition

en

somme directe ^:

* : pr(*)+''' + pa(r) * p*r(r) +' ^"

^{+ pd(n).}

Doncr _{e @o+iFi.}

Theoreme : Decomposition de Dunford. L soit u

un end,omorphisme sur

E tel

^{que son polynôme} caractéristique

yu soit

^scindé

sur K. Alors il

^existe

un

un'ique couple il'enilomorph'i,smes

: d

d,iagonalisable et

n

nilpotent, tels ^que

u :

d

I ^{n, et}

^d,

^et n

^commutent

^{pour la}

compositi,on.

De plus

ce

sont

des polynômes en u.

Démonstration.

Prouvons en premier lieu l'existence d'un

tel

couple-

En reprenant les notations du théorème précédent, avec le polynôme annulateur

P : _{Xu: ilf=,} (X -

À;)oo, on note d

:: _Dt\1pi.

Pat restriction à chacun des

sor.-espu.À 4, ^d

^est diagonalisable,

et

on ^pose

r, :

u

- ^d.

^{Cette deuxième}

application ^est aussi

un

^{polynÔme en u, donc d et}

n

commutent, et

n

^{est bien}

nilpotente,

,d \s

^d

,, : (!{,-r,)rn ) :It" ^{- \ùqpt,}

\t=i /

^t=t

par définitions ^des projecteurs. De plus, si on prend q

2

maxaoi, on obtient le coefficient manquant poul retrouver le polynôme caractéristique comme facteur, et on a na

:0.

A

^{présent, pour I'unicité : en reprenant}

(d,n)

le couple trouvé précêdemment

et

^(d,'

,n')

^un autre couple qui correspond aux hypothèses, alors d,

-

^dt

:

n

-'n''

Par hypothèse, d et

n

sont des polynÔmes en

u, et

^{dt et}

n/

commutent avec

u;

on a

la

commutativité ^de d.t avec d et

n,

de même pour

n'.

Finalement,

d

et' dt sont codiagonalisables et n

-

^{nt est} nilpotente _{I cela} implique Ia

nullitê

de

d-

dl

eN n

- ^n/.

D'où l'unicité.