D190 Un lieu .... peu commun
Il y a 2 cas tr`es distincts suivant que les angles en A et en C sont< π2 ou que l’un d’eux est> π2.
Premier cas Etape 1
On ne consid`ere pour le moment que les cerclesC1(inscrit dans ABD, de rayon r1), etC2 (inscrit dans BCD, de rayon r2), et la sym´etrie autour de la droite EF.
Le cercle de diam`etre EF passe par D (DE est perpendiculaire `a DF) et recoupe AC en G.
G est le sym´etrique de H intersection du cercle et de BD, et GH est perpendic- ulaire `a EF.
On a donc GE = GF et la distance GD = r1 - r2.
(il faudrait ´ecrire abs(r1 - r2)) Etape 2
On va prouver maintenant que G est le point de contact du cercle C3 inscrit dans ABC (de centre I et de rayon r3), et pour cela on va montrer que la distance de I `a la hauteur AD est d = r1 - r2.
Soient α et β les demi-angles aux sommets A et C, et ta et tb les tangentes correspondantes. Le fait que BD soit hauteur dans ABC introduit une relation entretaettb.
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Posons h = BD, a = AM et b = NC.
ta= r1a ettb= r2b tan(2α) = 1−ta2ta2 = a+r1h tan(2β) = 1−bt2tb2 = b+r2h Apr`es simplification:
h×(1−ta) = 2×r1 eth×(1−tb) = 2×r2
I est d´efini par l’intersection de AE et CF:r1+ta×(r1−d) =r2+tb×(r2+d) d×(ta+tb) =r1×(1 +ta)−r2×(1 +tb)
2d×(ta+tb) =h×(1−ta2)−h×(1−tb2) =h×(tb−ta)
⇒d=r1−r2
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Etape 3
La condition recherch´ee est remplie lorsque le point I appartient au cercleΓde centre G et de rayon√
r12+r22
Dans ce cas, l’arc sous-tendu par l’angle\AICsur le cercleΓvaut π4 (moiti´e de l’angle au centre):
θ = π4 ⇒ α+β= π4 ⇒ ABC\ = π2 Le lieu est le cercle de diam`etre AC.
Deuxi`eme cas Ce 2`eme cas est ”an other kettle of fish”!
Le point B suit une courbe qui part de C avec une pente de 4/3, recoupe la droite D1 de pente 1 issue de C lorsque le rapport CD/AC = 0.546903... et se poursuit asymptotiquement vers la droiteD2 parall`ele `aD1 et tangente au cercle de diam`etre AC (tout ceci affirm´e sans preuve formelle).
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