Enoncé D1933 (Diophante) Les deux points remarquables
P est un point fixe du plan. On donne trois nombres réels positifs a, b et c. Parmi les triangles ABC tels que P A = a, P B = b et P C =c, on détermine :
1) le triangleT1 dont le périmètre est le plus grand. P est un point remar- quable du triangle. Lequel ?
2) le triangleT2dont l’aire est la plus grande.P est un point remarquable du triangle. Lequel ?
Application numérique : P A= 1,P B =√
2 et P C =√
3 + 1. Calculer le périmètre deT1 et l’aire deT2.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
1/BetCayant une certaine position, celle dePen découle etAappartient au cercle (P, a). Pour qu’un déplacement de A sur ce cercle ne puisse augmenter le périmètre de T1, il faut que le cercle (P, a) soit tangent intérieurement en A à l’ellipse de foyers B et C, d’équationAB+AC = constante. Alors AP est bissectrice intérieure de l’angle BAC.
La même propriété vaut pour BP, bissectrice de l’angle ABC et pour CP, bissectrice de l’angleBCA. AinsiP est le centre du cercle inscrit au triangle ABC.
Application numérique. Soit r le rayon du cercle inscrit.
P A=r/sin(A/2), P B=r/sin(B/2), P C =r/sin(C/2).
r/a= sin(A/2) = cos(B/2 +C/2) =p1−r2/b2p1−r2/c2−r2/(bc), soit sous forme entière
(1−r2/b2)(1−r2/c2) = (r2/(bc) +r/a)2. Divisant par r4, 1/r3−(1/a2+ 1/b2+ 1/c2)/r−2/(abc) = 0.
Equation du 3e degré en 1/r, qui s’écrit avec les valeurs numériques de l’énoncé
1/r3−(5−√
3)/(2r)−(√ 6−√
2)/2 = 0.
La racine positive est 1/r=√
2. On en tire les angles
A/2 =π/4, B/2 =π/6, C/2 =π/12, le triangle T1 est un demi-triangle équilatéral, rectangle d’hypoténuse√
6 +√ 2.
Son demi-périmètre estp=rcot(A/2) cot(B/2) cot(C/2) = (2+√
3)p3/2.
Le périmètre est 2p= (2 +√ 3)√
6 = 2√ 6 + 3√
2.
2/BetCayant une certaine position, celle dePen découle etAappartient au cercle (P, a). Pour qu’un déplacement de A sur ce cercle ne puisse augmenter l’aire deT2, il faut que le cercle (P, a) soit tangent enA à une parallèle àBC, du côté deBC. AlorsAP est perpendiculaire à BC.
La même propriété vaut pour BP, perpendiculaire à AC et pour CP, perpendiculaire àAB. Ainsi P est l’orthocentre du triangle ABC.
Application numérique. Soit dle diamètre du cercle circonscrit.
P A=dcosA,P B=dcosB,P C =dcosC.
a/d=−cos(B+C) =p1−b2/d2p1−c2/d2−bc/d2, soit sous forme entière
(1−b2/d2)(1−c2/d2) = (bc/d2+a/d)2. Multipliant par d3 d3−(a2+b2+c2)d−2abc= 0.
Equation du 3e degré en d, qui s’écrit avec les valeurs numériques de l’énoncé
d3−(7 + 2√
3)d−2√ 6−2√
2 = 0.
La résolution numérique (méthode d’itération) donne d = 3,55496754, puis
cosA= 0,281297, cosB= 0,397813, cosC= 0,768516, A= 73,6624, B = 66,5584, C= 39,7792 (en degrés).
L’aire est (d2/2) sinAsinBsinC= 3,559556.