A324 Solution de José Arraiz Soient : N le nombre N = a

A324

Solution de José Arraiz Soient :

N le nombre N = a1a2a3………an et S la somme

n

a

S

1

N’ le nombre N’ = N + 1 = b1b2b3……..bn et S’ la somme

n

b

S

1

'

Si an ≠ 9 alors S’ = S + 1, S’ et S ne peuvent pas être simultanément divisibles par 2009 Supposons alors que N se termine par k fois le chiffre 9, il s’écrit alors :

N = a1a2a3…….an-k999……99 (k fois 9)

N’ devient N’ = a1a2a3…….(an-k+1)000……000 (k fois 0)

Notons S’’ la somme

k n

a

S

1

'

'

La plus petite valeur de S’’ qui rend S’ divisible par 2009 est 2008 D’autre part on a S = S’’ + 9k = 2008 + 9k = 2009α avec α entier ≥ 0

D’où

9 2008 k 2009

La résolution classique de cette équation diophantienne donne pour plus petite valeur k = 893

Le nombre N se termine par 893 fois le chiffre 9, la somme des chiffres précédent ces 9 est de 2008, en prenant les chiffres de poids faible aussi grands que possible pour minimiser la valeur des chiffres de poids fort de N on obtient, pour les chiffres de N :

- 8 pour le chiffre de rang n-k

- Entier de (2008-8)/9 fois 9 pour les chiffres du rang n-k-1 au rang 2 soit 222 fois 9 - Reste de (2008-8)/9 pour le chiffre de rang 1 soit 2

N s’écrit :

fois

fois 893

222

... 999 8 999 ... 999 2999

Jose Arraiz