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A40314. Les cadeaux

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Academic year: 2022

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A40314. Les cadeaux

Pour son départ en retraite, Dunabla a reçu des cadeaux ; chacun est em- ballé dans un paquet en forme de parallélépipède rectangle, dont les trois dimensions sont un nombre entier de décimètres, la surface extérieure du paquet (en décimètres carrés) étant huit fois la somme des dimensions (en décimètres). Aucun paquet n’est identique à un autre (quel que soit le côté où on les regarde).

Combien Dunabla a-t-il reçu de cadeaux, au maximum ? Solution

Le paquet de côtésa, b, cdécimètres a une surface extérieure de 2(bc+ca+ab) dm2. C’est aussi (en dm) la quantité 8(a+b+c). Je supposea≤b≤c.

La conditionbc+ca+ab= 4(a+b+c) s’écrit (b+a−4)(c+a−4) =a2−4a+16.

a2−4a+ 16≥(a+a−4)2, d’oùa≤4 ; pour a= 1 à 4, a2−4a+ 16 = 12, 13 ou 16, que l’on factorise pour obtenir les cinq solutions (1,4,16), (2,3,14), (2,4,8), (2,5,6) et (4,4,4).

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