H144. Echange de cadeaux
Un club comporte n membres auxquels ont été attribués les numéros d’inscription 1,2,3,...n.
Comme le font traditionnellement les Japonais, ces membres se font souvent des cadeaux entre eux et il est admis que chacun peut envoyer (sans l’avoir déballé) un cadeau qu’il a déjà reçu à condition que ce cadeau ne soit déjà pas passé par les mains du destinataire. Pour éviter ces situations
embarrassantes, on définit la règle suivante: un membre A (n° inscription a) peut envoyer un cadeau à un membre B (n° inscription b) si et seulement si a(b-1) est un multiple de n. Prouver que cette règle appliquée par tous les membres évite bien le risque du retour à l’expéditeur.
Solution proposée par Claudio Baiocchi
On va montrer que si un cadeau passe de A à B, puis de B à C, puis … pour revenir finalement à A, on a nécessairement A=B=C=….
En fait si le cercle vicieux ne comporte que les membres A et B, avec nombres d’inscriptions et respectivement, on a (toute égalité étant modulo ) et . Si le voyage du cadeau passe à travers A, B et C, avec notations évidentes on a:
donc les nombres d’inscription coïncident tous les trois avec la valeur modulo du produit . Le cas de quatre membres porte à:
et ainsi de suite. Pas la peine, évidemment, de détailler la récurrence qui règle la question; au contraire deux remarques s’imposent:
La règle est très instable par rapport à , le nombre de membres; par exemple, dans le cas de , si le membre n° 3 reçoit un cadeau non voulu de la part du membre n° 4, il n’a qu’à attendre l’inscription au club d’un neuvième membre, après quoi il pourra tranquillement renvoyer le cadeau à l’expéditeur.
L’importance d’être le numéro 1… Le membre fondateur du club peut recevoir des cadeaux de n’importe qui et, si est un nombre premier, c’est le seul à pouvoir recevoir des cadeaux.
De plus, indépendamment de , il a bien le droit d’être radin: la règle lui interdit de faire des cadeaux...
