Un club comporte n membres auxquels ont été attribués les numéros d’inscription 1,2,3,...n. Comme le font traditionnellement les Japonais, ces membres se font souvent des cadeaux entre eux et il est admis que chacun peut envoyer (sans l’avoir déballé) un cadeau qu’il a déjà reçu à condition que ce cadeau ne soit déjà pas passé par les mains du destinataire. Pour éviter ces situations
embarrassantes, on définit la règle suivante : un membre A (n° inscription a ) peut envoyer un cadeau à un membre B (n°inscription b) si et seulement si a(b-1) est un multiple de n. Prouver que cette règle appliquée par tous les membres évite bien le risque du retour à l’expéditeur.
Soit E(a) l’ensemble des membres qui peuvent recevoir un cadeau du membre n°a.
Si b∈E(a), ab=a (mod n), de même si c∈E(b), bc=b donc ac=abc=ab=a (mod n) donc c∈E(a), et E(b)⊂E(a) ; comme de plus a∉E(b), car ba=ab=a≠b (mod n), a ne peut être le destinataire d’aucun cadeau envoyé par chaque membre de la chaîne des récipiendaires qu’il a engendré.
