ENSEIGNER LES
MATHÉMATIQUES AUTREMENT
Le calcul mental et le calcul
posé au cycle 3
L’activité mathématique n’acquiert tout son sens que si elle peut s’appuyer sur une
connaissance solide et un savoir-faire assuré des différentes formes de calcul. Le calcul tient donc une place prépondérante dans
l’apprentissage des mathématiques.
On nomme couramment « calcul » l’activité consistant à effectuer des opérations
arithmétiques et « calcul mental » le fait de
les effectuer « par la seule pensée, sans poser
l’opération ».
Le cycle 3 poursuit la construction des nombres entiers et de leur système de désignation, notamment pour les grands nombres. Il introduit la connaissance
des fractions et des nombres décimaux. L’acquisition des quatre opérations sur les nombres, sans
négliger la mémorisation de faits numériques et l’automatisation de modules de calcul, se continue dans ce cycle. Les notions mathématiques étudiées prendront tout leur sens dans la résolution de
problèmes qui justifie leur acquisition.
Ce que disent les programmes du 26
novembre 2015
Le calcul mental, le calcul posé et le calcul instrumenté sont à construire en
interaction. Ainsi, le calcul mental est
mobilisé dans le calcul posé et il peut être utilisé pour fournir un ordre de grandeur avant un calcul instrumenté.
Réciproquement, le calcul instrumenté peut permettre de vérifier un résultat obtenu
par le calcul mental ou par le calcul posé. Le
calcul, dans toutes ses modalités, contribue
à la connaissance des nombres.
Trois sortes de calculs
INSTRUMENTÉ
Le résultat est cherché avec l’aide d’un instrument :
calculatrice ou ordinateur
.POSÉ - ECRIT
Calcul qui utilise la technique Opératoire (4 opérations).
Il est toujours écrit.
CALCUL MENTAL
Calcul qui s’effectue dans la tête. Ce calcul numérique ne fait pas appel aux intermédiaires écrits mais peut faire appel à des supports visuels (bande numérique, tableau de nombres..).
Il peut être oral (l’élève dit le résultat) ou écrit (l’élève écrit le résultat, ou
son raisonnement en ligne). L’énoncé
peut être oral ou écrit (permanent ou
temporaire). Il allie automatisation et
compréhension.
Quels calculs mentaux en cycle 3
Le calcul automatisé
Des résultats immédiatemen t disponibles
Soit parce qu’ils sont mémorisés:
-tables, carrés…
-résultats de cas particuliers
Soit parce qu’ils sont obtenus par des résultats automatisés:
-mise en œuvre consciemment mais rapidement (X10, X100…) -utilisées inconsciemment
(propriétés des opérations)
Limite entre automatisé et réfléchi :
8 + 2
15 + 5
45 + 15
210 + 90
450 + 550
1 392 + 4 687
5x2
7x8
15x10
6x15
6x17
39x102
Le calcul réfléchi
Des résultats obtenus après élaboration
d’une stratégie ou d’un
raisonnement qui dépend:
Comme dans la résolution d’un problème du vécu social ou
scolaire de l’individu (existence de procédure de référence)
Des connaissances en calcul automatisé
Des nombres, du contexte, du
moment, du contrat…
Calcul réfléchi au cycle 3 Calculer 6x15
15 + 15 + 15 + 15 + 15 + 15
2x15 + 2x15 + 2x15
3x15 + 3x15
5x15 + 15
(6x5)x3
6x10 + 6x5
6x10 + 60:2
CALCUL
AUTOMATISE: CALCUL REFLECHI:
Nécessite peu d’efforts, car
exécuté par réflexe.
Peut être exécuté rapidement
La charge mentale de travail peut être importante…Le temps
disponible plus important et les
traces écrites
parfois nécessaires
Le calcul mental à l’envers
L’élève est acteur
Sollicitation connaissances des
automatisées
Donne du sens aux nombres et
aux opérations
Principe non naturel qui consolide le calcul direct
Pratique de la décomposition
des nombres Ressort ludique
naturel (défi)
Exemples de calcul mental à l’envers
Fabrique le nombre 10 en utilisant une addition
Fabrique le nombre 10 en utilisant une soustraction
Fabrique le nombre 25 en utilisant trois nombres et les opérations que tu veux
56 = ?
Décompose 120 sous la forme d’une somme
Décompose 7,5 sous la forme d’un produit
Décompose 7,5 sous la forme d’un quotient
S’appuyer sur les erreurs pour construire des apprentissages
Aborder l’erreur par le jeu:
« Cherchez l’erreur. »
Revenir sur les apprentissages réalisés
Expliciter les micro- connaissances en
jeu.
Pour calculer avec aisance, il faut :
Avoir mémorisé
des
répertoires de
résultats
Avoir mémorisé
des
procédures
Etre capable de choisir
rapidement entre plusieurs stratégies celle
adaptée à la
situation
Notre rôle d’enseignant
Permettre aux élèves de développer des
compétences en lien avec ces trois axes
Donner du sens aux apprentissages
Proposer aux élèves des situations
pédagogiques
diversifiées
Les séances de calcul mental doivent être
quotidiennes, courtes pour le calcul automatisé (une quinzaine de minutes), plus longues pour le calcul réfléchi.
La séance la plus longue doit correspondre à une
situation d’explicitation des procédures de calcul, de
leur analyse et de leur pertinence.
Les documents ressources sur Eduscol
http://eduscol.education.fr/cid101461/ressources-maths-cycle-3.html
LE CALCUL AU CYCLE 3
DOCUMENTS RESSOURCES EDUSCOL :
« LE CALCUL AUX CYCLES 2 ET 3 » / « LE CALCUL EN LIGNE AU CYCLE 3 »
SYNTHESE
Les calculs sont menés sous différentes formes souvent utilisées en interaction et complémentaires les unes des autres.
Le calcul mental
C’est une modalité de calcul sans recours à l’écrit pour trouver la réponse.
Les habilités développées en calcul mental sont au service du calcul en ligne.
Le calcul en ligne
C’est une modalité de calcul écrit ou partiellement écrit. Possibilité est donnée à l’élève, s’il en ressent le besoin, d’écrire des étapes de calcul intermédiaires.
Il repose sur la compréhension de la notion de nombre.
Le calcul posé
C’est une modalité de calcul écrit consistant à l’application d’un algorithme opératoire.
Le calcul instrumenté
C’est un calcul effectué à l’aide d’un ou plusieurs instruments, appareils ou logiciels
(abaque, boulier, calculatrice, tableur,…)
Progressivité des Apprentissages
Les compétences en calcul se développent progressivement tout au long des quatre cycles de l’école et du collège.
• Au cycle 3, en calcul mental et en ligne, la complexification des contextes numériques se poursuit. Parmi les variables, interviennent la nature des
nombres (nombres entiers, nombres décimaux) et leurs différentes écritures (fraction décimale, décompositions, écriture à virgule). En calcul posé, les
algorithmes des quatre opérations sont travaillés avec des nombres entiers et décimaux. Pour la division, le diviseur ne peut être qu’un entier.
Pour le calcul en ligne, un travail approfondi sera effectué autour du rôle du
« = » et des parenthèses.
Les problèmes proposés sur la proportionnalité et les grandeurs permettront de travailler le calcul en ligne.
Les fonctions de base de la calculatrice (utilisation des quatre opérations) sont introduites pour obtenir ou vérifier un résultat.
Stratégies d’enseignement
La place consacrée au calcul mental et au calcul en ligne dans les temps
d’apprentissage et d’entraînement est plus importante que celle accordée au calcul posé. Les différentes formes de calcul sont travaillées dans le cadre de la résolution de problème, mais aussi pour elles-mêmes dans des temps spécifiques
d’apprentissage et d’évaluation.
Calcul mental et Calcul en ligne :
Une programmation des apprentissages est nécessaire sur chacun des cycles. Au sein de celle-ci, le calcul mental et le calcul en ligne sont travaillées conjointement.
Quatre étapes : - Découverte de nouveaux savoirs, en particulier de nouvelles procédures de calcul
Appropriation et Entraînement régulier
Réinvestissement régulier
Evaluation.
Activités quotidiennes de courte durée (environ quinze minutes) qui mêlent calcul mental et calcul en ligne, ET, Séances d’apprentissage de durée plus longue, avec le plus fréquemment possible des temps de mise en commun au cours desquels les élèves peuvent donner à voir et expliciter oralement leurs démarches, qu’elles soient correctes ou erronées, abouties ou non.
Différents types d’écrits doivent permettre à l’élève de garder trace de ce qu’il a appris en calcul en ligne : ses productions ; un écrit produit par l’élève ou par un groupe d’élèves explicitant une stratégie de calcul à retenir ; un texte construit dans la classe de façon collaborative, ou éventuellement un écrit proposé par le professeur, en synthèse d’un temps de travail.
Idéalement, les textes de synthèse restent accessibles dans un cahier que l’élève conserve et complète tout au long du cycle.
Pour le calcul en ligne, les élèves acquièrent progressivement des stratégies de calcul grâce à ces activités quotidiennes ; mais l’automatisation de ces stratégies n’a toutefois pas lieu d’être visée au même moment pour tous.
La différenciation peut concerner la difficulté des calculs ou bien le temps imparti pour les effectuer.
Les étapes de calcul écrites par les élèves doivent être comme un support de la pensée et comme des écrits transitoires. Le travail de mise en commun est primordial et permet à chaque élève d’expliquer sa stratégie de calcul. Le professeur pourra faire travailler les élèves sur un support donné (cahier de recherche…)
Une synthèse collective (texte de savoir) devra être produite, respectant les codes mathématiques, et figurer dans le cahier de leçons et sur des affiches.
Le statut du signe « = » ainsi que des parenthèses sera travailler au cours du cycle. Ceci est une étape importante de l’apprentissage,
préparatoire à la production d’écritures algébriques. Il faudra veiller aux règles d’utilisation des parenthèses (distributivité).
De nombreux exemples de pratiques figurent dans le document
d’accompagnement « Le calcul en ligne au cycle 3 » sur le site d’Eduscol.
L’évaluation : Les acquis des élèves en calcul mental et en ligne sont régulièrement évalués au travers d’activités adaptées aux potentialités de chacun. Ce qui importe avant tout c’est que les élèves puissent
s’évaluer et constater leurs progrès, car le sentiment de progresser est un facteur essentiel de la motivation.
Calcul posé :
Cet apprentissage doit être mené en relation étroite avec la poursuite du travail mené en calcul mental et en ligne.
L’entraînement au calcul posé est prévu dans la durée de façon filée plutôt que massée.
Pour faire progresser les élèves en calcul posé, il est important de
développer chez chacun d’eux, une attitude réflexive face à l’origine de ses erreurs.
Le choix des algorithmes de calcul posé travaillés tout au long de la
scolarité d’un élève doit être cohérent
Calcul instrumenté :
Le matériel est présenté et son utilisation est explicitée. Il est ensuite mis à disposition des élèves pour être utilisé en fonction des besoins. Pour être efficace, son utilisation doit être régulière.
Ressource complémentaire
Utilisation des jeux mathématiques (Mathador) et des différents concours
mathématiques (Oympiades, concours Kangourou…)
Exemples d’activités en calcul mental
Chaîne d’opérations : Nombre de départ : 57
Puis annonce des opérations à effectuer au fur et à mesure
+ 5
- 40
+ 18
X 3
: 2
Jeux de grilles :TRIO Il faut essayer de
fabriquer un nombre cible en
utilisant trois nombres alignés dans la grille avec
les quatre
opérations au choix.
Le premier qui
trouve gagne le
jeton ou un point.
Jeux de dés : Mathador Flash
Canopé Besançon
Les dés du Mathador sont appelés aussi dés de Platon:
le dé 4 faces représente le feu le dé 6 faces représente la terre le dé 8 faces représente l’air
le dé 12 faces représente l’univers
le dé 20 faces représente l’eau
le dé 4 faces représente le feu
24 avec 2 ; 3 ; 8 ; 1 ; 15
Solutions :
1 point : 3x8
= 24
2 points : 15 + 8 + 1 = 24
3 points :
15 – 3 = 12
12x2 = 24
4 points :
15 + 8 = 23
23 + 2 = 25
25 – 1 = 24
7 points :
2x15 = 30 8 – 3 = 5 30 – 5 = 25 25 – 1 = 24 13 points (coup Mathador) :
8 + 1 = 9 9:3 = 3
15 – 3 = 12
12x2 = 24
Loto: Les nombres sont dictés par l’enseignant ou un élève.
Plusieurs activités sont envisageables Dictée de nombres
Lotos additifs et multiplicatifs Décompositions (ex : 14 + 10 + 4)
Écritures équivalentes (50 = 25 x 2 = 100 : 2 = 10 x 5 = …)
Qui a ?
Le meneur de jeu distribue toutes les cartes aux élèves tout en conservant la première pour lui. Il énonce le premier calcul à effectuer. L’élève qui a la réponse la donne à l’ensemble de la classe puis, retourne sa carte et
énonce à son tour le calcul à réaliser. On continue ainsi
jusqu’à épuisement des cartes.
Tables à compléter: mélanger l’ordre des tables
- Jeux du furet : compter, décompter de n en n. La parole passe d’élève en élève dans un ordre prévu et stable pour que les élèves mettent en place des stratégies d’anticipation. Le maître peut choisir le nombre de départ pour faire évoluer l’exercice. Il choisit n en fonction des objectifs de travail et de la notion abordée.
- Multiplication par des puissances de 10 puis des multiples de 10 : 10 X 45, 100 X 340…puis 30 X 60, 50 X 70…et enfin 300 X 2000, 40 X 800…
- Décompositions multiplicatives : Trouver plusieurs façons d’écrire un nombre X sous la forme d’un produit de facteurs : 28 X 35
- = 7 X 4 X 5 X 7 = 7 X 20 X 7 = 20 X 49 - = 2 X 49 X 10 = 2 X (50 - 1) X 10
- = (100 – 2) X 10 = 98 X 10 = 980
Le nombre pensé : l’enseignant énonce « j’ai un nombre en tête, je lui applique la ou les transformations suivantes et j’obtiens X, quel est-il ». Les élèves doivent trouver et
appliquer les opérations inverses pour obtenir le nombre de départ.
Jeux du portrait : l’enseignant fait le portrait d’un
nombre sans le désigner. Il peut l’encadrer, en faire une décomposition canonique partielle, annoncer le nombre de chiffres…selon l’objectif de travail. Les élèves doivent,
soit le retrouver dans une liste proposée, soit le construire
à partir des informations énoncées. Celles-ci peuvent être
écrites ou orales.
Petits problèmes
4 stylos coûtent 6 €.
Combien coûtent 5 stylos?
Quel est en centimètres le périmètre d’un carré de 5 cm
de côté ?
Combien de petits cubes
dans ce solide?
Comment fabriquer 48 avec 3 nombres ?
Comment fabriquer 72 avec 2 nombres ?
avec 3 nombres ?
Des jeux
DÉCADEX :
Avec ses quatre anneaux jaunes ou bleus, il faut
essayer de
faire une somme totale de 10
avant
l’adversaire
Calcul mental et
stratégie
MAGIX 34 :
Avec ses quatre anneaux jaunes ou
bleus, il faut essayer de faire une
somme totale de 34 avant l’adversaire
Calcul mental
et stratégie
MULTIPLAY : Avec ses trois anneaux
jaunes ou bleus, il faut essayer d’en
placer deux sur deux cases rouges et le
3ème sur le résultat
de la multiplication
des deux nombres
avant l’adversaire
Calcul mental et
stratégie
Jeux de cartes
• Quelle est la carte qui emporte la bataille ?
Le jeu de la cible (1) Zones
Chaque zone a une valeur.
La valeur peut être représentée par un entier ou un décimal.
Le nombre de zones peut varier.
Impacts
Ils occupent les différentes zones.
Score
On multiplie le nombres d’impacts par la valeur des zones qu’ils occupent ; on additionne les différents produits
obtenus.
Parties
Le nombre de parties peut varier. On peut demander de calculer le score à la fin d’une partie et/ou de plusieurs
parties (score final). On peut donner le score d’une partie, le score final et
demander de chercher le score de
l’autre partie.
Le calcul en ligne
C’est une modalité de calcul écrit ou partiellement écrit, complémentaire au calcul mental, elle s’oppose au calcul posé dans le sens où elle ne consiste pas en la mise en œuvre d’un algorithme.
Cette modalité de calcul permet de développer
l’intelligence du calcul, des automatismes de calcul, le
sens des opérations et les propriétés des opérations.
Pour le calcul en ligne, un travail approfondi sera effectué autour du rôle du « = » et des
parenthèses.
Les problèmes proposés sur la proportionnalité et les grandeurs permettront de travailler le calcul en ligne
.Quatre étapes : - Découverte de nouveaux
savoirs, en particulier de nouvelles procédures de calcul
- Appropriation et Entraînement régulier
- Réinvestissement régulier
- Evaluation.
Différents types d’écrits doivent permettre à l’élève de garder trace de ce qu’il a appris en calcul en
ligne : ses productions ; un écrit produit par l’élève ou par un groupe d’élèves explicitant une stratégie de calcul à retenir ; un texte construit dans la classe de façon collaborative, ou éventuellement un écrit proposé par le professeur, en synthèse d’un temps de travail.
Idéalement, les textes de synthèse restent
accessibles dans un cahier que l’élève conserve et
complète tout au long du cycle.
Le calcul posé
Ce que disent les programmes du 26 novembre 2016
Le calcul : La pratique du calcul mental s’étend progressivement des nombres entiers aux nombres décimaux, et les procédures à mobiliser se complexifient.
Les différentes techniques opératoires portent sur des nombres entiers et/ou des nombres décimaux :
≫≫ addition et soustraction pour les nombres décimaux des le CM1 ;
≫≫ multiplication d’un nombre décimal par un nombre entier au CM2, de deux nombres décimaux en 6e ;
≫≫ division euclidienne par un entier dès le début de cycle, mais
division de deux nombres entiers avec quotient décimal, et division
d'un nombre décimal par un nombre entier à partir du CM2.
EN CM1
Résoudre des problèmes mettant en jeu les quatre opérations.
≫≫ Sens des opérations.
≫≫ Problèmes relevant :
• des structures additives ;
• des structures multiplicatives.
En CM2:
Enrichir le répertoire des problèmes
additifs et
multiplicatifs, notamment les
problèmes relevant de
la division.
L’addition posée
Les difficultés existantes repérées à l'entrée en CE2:
- Maîtrise insuffisante de la somme de nombres à 1 chiffre.
- Mauvaise gestion des retenues
- Disposition en étages (surtout cas des nombres décimaux à partir du CM1).
L'addition posée ne se justifie que si le recours au calcul mental n'est pas plus performant: cas de l'addition de nombres de plus de 2 chiffres, addition de plus de 2 nombres.
Le recours à du matériel de numération permet d'illustrer et donc de mieux
comprendre la technique notamment en ce qui concerne la correspondance établie
entre “retenue” et groupement par dizaines, centaines... Ce matériel peut être à
nouveau utilisé au cycle 3 en cas de besoin.
L'addition posée des nombres décimaux:
L'addition de nombres décimaux renforce la maîtrise de la compréhension de la valeur attribuée à chaque chiffre en fonction de sa position.
Ex: 37,4 + 6,85
Comprendre tout d'abord que
- le premier nombre ne comporte pas de chiffre des centièmes.
- l'addition de 4 dixièmes avec 8 dixièmes donnent 12 dixièmes
qui correspondent à 10 dixièmes ou 1 unité et 2 dixièmes: cette
unité devient donc une “retenue” que l'on place dans la colonne
des unités: 7+6+1
La soustraction posée:trois techniques pratiquées
Technique reposant sur une autre écriture du premier terme.
753-85= 6 centaines 14 dizaines 13 unités -85= 668 (mais risque de surcharge)
Technique posant l'équivalence entre soustraction et recherche de complément 753-85 est équivalent à 85+...=753
Technique reposant sur l'ajout simultané aux deux termes de la soustraction: c'est la méthode la plus difficile car elle repose sur la connaissance d'une propriété de la
soustraction:
a – b=(a+c) - (b+c): si on ajoute un même terme aux 2 membres d'une soustraction, le résultat de la soustraction ne change pas.
Soustraction des nombres décimaux
Elle ne pose pas plus de difficultés que la soustraction de nombres entiers. Elle nécessite
la connaissance de la valeur attribuée aux chiffres en fonction de leur position.
Les 3 techniques requièrent les même préalables:
La connaissance des
équivalences entre unités, dizaines, centaines
La connaissance des sommes de 2 nombres à 1 chiffre mais aussi des compléments
et des différences
La multiplication posée
Elle nécessite la coordination de plusieurs types de connaissances:
- tables de multiplication
- numération décimale pour la gestion des retenues (dans les multiplications intermédiaires et dans le résultat final)
- règle des 0: qui intervient quand on multiplie par un nombre de dizaines, de centaines, de mille...
- la commutativité: a x b = b x a
- la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition:
27x 6= (7x6) + (20x6) ou 423x 205 = (423x5) + (423x200)
Multiplication d'un nombre décimal par un entier ; Multiplication de 2 nombres décimaux
Elles nécessitent les connaissances préalables:
- Connaissance des nombres entiers et décimaux (valeur des chiffres)
- Multiplication et division par 10,100,1000 d'un nombre décimal
ex: 157,23 x 45 = (15 723 x 45): 100
La division posée
Elle nécessite les connaissances préalables:
Maîtrise des 2 sens de la division:
- PARTAGE: quelle est la valeur de l'unité (chaque part)
- NOMBRE de GROUPEMENTS: combien de fois y a-t-il “a” dans “b”?
Maîtrise des tables de multiplication (et recherche de “Combien de fois il y a 6 dans 48: 8 fois”)
Capacité à prévoir le nombre de chiffres du quotient par encadrement du dividende entre 2 multiples du diviseur.
Procédure à privilégier
- Estimer le nombre de chiffres du quotient ( moyen de contrôle du résultat)
- S'autoriser à poser des produits annexes: ne pas encourager la totalité de la “table du diviseur”
- Encourager la pose effective des soustractions.
Division décimale de 2 nombres entiers; Division d'un nombre décimal par un entier ( CM2)
