Sujet de révision n°3

(1)



BAC PC-SVT MATHS

Sujet de révision n°3

Exercice 1

Calculer les intégrales suivantes :

 

4 ln2 2

3

3 2 0 2

2

0 1

) 1 )

2 3

cos 2

) )

1 2sin 1 ln

x x e

x e

A dx B dx

x x e

C x dx D dx

x x x



    

 

   

 

 

Exercice 2

On considère la fonction g définie sur



^0;



^{par :}g x^{ } ^{1 ln}^x x

  . Et soit

 

C sa courbe dans un repère orthonormé g



o i j . ; ;



1) a) En intégrant par parties montrer que :

2

1

ln 4

e x

x dx



^.

b) Déterminer la valeur de : ²  

1

e g t dt



c) Déduire la valeur moyenne de la fonction g entre 1 et e² .

2) a) Déterminer le volume du solide engendré par la rotation de

 

C autour de l’axe des g

abscisses en un tour complet sur l’intervalle



1;e²



. Problème

Partie I

On considère la fonction g définie sur IR par : g x e^x2x11. 1. Calculer : lim  

x_g x et lim  

x_g x .

2. a) Calculer _{g x}  puis dresser le tableau de variation de g . b) Calculer g(0) puis déduire le signe de g(x) sur IR .

Partie II

On considère la fonction f définie sur IR par :

 



^x ₁



²

f x x e 

1 . Calculer : lim  

x_f x et  

xlim f x

 x , puis déduire la branche infinie de la courbe de f au voisinage de +∞ .

2. Calculer : lim  

x_f x ; puis montrer que la droite d’équation y=x est une asymptote oblique à La courbe de f au voisinage de - ∞ .

(2)



3. a) Montrer que :



  x



^0;

 

f^{ }x 

^

e^x 1

^

g^{ }x .

b) Déduire que f est croissante puis dresser son tableau de variation .

4. Construire la courbe

 

Cf dans un repère orthonormé



o i j . ; ;



5 . a) Montrer en utilisant une intégration par parties que : ¹



²



²

0

2 7

4

x x e

x e  e dx 



^.

b) Déduire l’aire de la partie du plan délimitée par

 

Cf ;l’axe des abscisses et les droites d’équations x=0 et x=1 .