Enonc´e noH133 (Diophante)
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Supposons qu’aucune conversation `a 3 ne soit possible. Je vais montrer que cela conduit `a une contradiction.
SoitAun des congressistes. Ses 2007 coll`egues se r´epartissent en 6 cat´egories selon le probl`eme dont ils parlent avecA, et la cat´egorie la mieux fournie a au moins d2007/6e = 335 membres, qui parlent avec A d’un probl`eme que j’appelleP1.
Deux quelconques de ces 335 membres ne parlent pas entre eux deP1, car ils auraient avecAune conversation `a 3. SoitB l’un d’eux ; ses 334 coll`egues se r´epartissent en 5 cat´egories selon le probl`eme (autre queP1) dont ils parlent avec B. La cat´egorie la mieux fournie a au moins d334/5e = 67 membres, qui parlent avecB d’un probl`eme que j’appelleP2.
Deux de ces 67 membres ne parlent pas entre eux de P1 (ils auraient une conversation `a 3 avec A), ni de P2 (ils auraient une conversation `a 3 avec B). SiCest l’un d’eux, ses 66 coll`egues se r´epartissent en 4 cat´egories selon le probl`eme (autre que P1 ou P2) dont ils parlent avec C. La cat´egorie la mieux fournie a au moins d66/4e = 17 membres, qui parlent avec C d’un probl`eme que j’appelle P3.
De mˆeme, les 17 ne parlent pas entre eux deP1,P2niP3 (sinon, conversation
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a 3 avec A, B ou C respectivement). Si D est l’un des 17, il existe parmi eux au moinsd17/3e= 6 membres, qui parlent avec Dde P4.
Ces 6 ne parlent pas entre eux deP1,P2,P3 niP4 (sinon, conversation `a 3 avec A,B,C ou Drespectivement). Si E est l’un des 6, il existe parmi eux au moinsd5/2e= 3 membres, F, G, H, qui parlent avec E de P5.
SiF etGparlent ensemble dePi, avec 1≤i≤5, ils auront une conversation
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a 3 avecA, B, C, D ou E. Donc ils parlent deP6 entre eux. Mais comme le raisonnement vaut aussi pour les pairesF, HetG, H, il y a une conversation
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a 3 entreF, G etH sur P6, en contradiction avec l’hypoth`ese.
Remarque. Le raisonnement ci-dessus vaut `a partir de 1958 congressistes, avec la suite
d1957/6e= 327, d326/5e= 66,d65/4e= 17, d16/3e= 6,d5/2e= 3.
La suite 3, 6, 17, 66, 327, 1958, . . ., s’identifie `adk!ee.
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