Universit´e Paris Diderot G´eom´etrie affine et euclidienne
Licence de Math´ematiques Ann´ee 2009-10
F. Liret, L. Merel
EXAMEN du 14 janvier 2010 Dur´ee : 3 h
L’usage des calculatrices, t´el´ephones et de tout document est interdit.
Exercice 1
Soit E un espace affine euclidien de dimension 3. Soient P1 et P2 deux plans perpendiculaires de E. Soit
−
→u ∈−→
P1. Soients1 ets2 les sym´etries orthogonales par rapport `a P1 et P2. Soitrla sym´etrie orthogonale par rapport `a une droiteD qui est contenue dans P1 et orthogonale `a P2. La nature d’une isom´etrie fait r´ef´erence `a la classification des isom´etries de l’espace donn´ee en cours.
1. Quelles sont les natures des isom´etriesf =s2◦ret g=s1◦t−→u ? 2. L’isom´etrief◦gest-elle un d´eplacement ou un antid´eplacement ? 3. Quelle est la nature de l’application lin´eaire associ´ee−−→
f◦g ? 4. Quels sont les vecteurs fixes de−−→
f ◦g ? 5. Quels sont les points fixes def◦g ? 6. Quelle est la nature de l’isom´etrief ◦g ?
Exercice 2
SoitP un plan affine euclidien de directionP. SoitCun cercle deP de centreO. Soient deux pointsA et B de C, distincts et non diam´etralement oppos´es. PosonsD= (AB). NotonsD0 la droite parall`ele `a D passant parOet les pointsU etV d’intersection deD0 etC. Consid´erons le cercleC0 sym´etrique orthogonal deC par rapport `aD; notonsO0 le centre de C0.
1.a. Montrer qu’il existe un unique vecteur−→u ∈P tel queC0 soit l’image deC par la translationt−→u. 1.b. Posons E=t(−−→u)(A) etF =t(−−→u)(B). Montrer queE et F sont des points deC. Que peut-on dire du quadrilat`ereABF E ?
2. Soit M un point de C distinct de A, B, E, F. On poseN =t−→u(M). Montrer que D est la hauteur du triangleAM N issue deA.
3. On noteQle sym´etrique orthogonal deN par rapport `aD.
3.a. Montrer queN est un point deC0 et que Qest un point deC.
3.b. Montrer que les conditions suivantes sont ´equivalentes : (i)Q=M ;
(ii)le quadrilat`ereOO0N M est un rectangle ; (iii)M =U ouM =V.
4.a. Comparer les angles de vecteursQABd etBANd .
4.b. Comparer les angles de droitesAQ, ABd et M Q, M Bd lorsqueQ6=M.
4.c. Montrer que l’´egalit´e d’angles de droites AB, ANd = M N, M Bd a lieu dans tous les cas (que l’on ait Q=M ouQ6=M).
5.a Montrer que les droites (AN) et (BM) sont perpendiculaires.
5.b Montrer que les droites (AM) et (BN) sont perpendiculaires.
6. Que se passe-t-il siM ∈ {A, B, E, F} ?
Exercice 3
SoitABCun triangle d’un plan euclidienP. On suppose ce triangle´equilat´eral, c’est-`a-dire que les longueurs des cot´es sont ´egales. SoientA0,B0 etC0les milieux des segments [B, C], [C, A] et [A, B]. NotonsO le point de concours des m´edianes deABC.
1. D´emontrer que le point A est sur la m´ediatrice du segment [B, C]. En d´eduire que la droite (CC0) est une hauteur du triangle.
2. SoientsA (resp. sB, resp. sC) la sym´etrie orthogonale par rapport `a la droite (AA0) (resp. (BB0), resp.
(CC0)). D´emontrer que sA({A, B, C}) ={A, B, C}. Idem poursB etsC.
3. Soient r1 et r2 les rotations de centre O et de mesures 2π/3 et 4π/3 respectivement. D´emontrer que r1({A, B, C}) ={A, B, C} etr2({A, B, C}) ={A, B, C}.
4. Soitf une isom´etrie deP telle quef({A, B, C}) ={A, B, C}. D´emontrer quef est l’identit´e ou l’une des cinq isom´etries suivantes : sA,sB,sC,r1 our2.
