D30071. Hanneton vole
Attaché par une patte dans un globe sphérique, ce hanneton peut parcourir un volume moitié de celui du globe. De quelle longueur est le fil qui le relie au point d’attache, situé sur la surface interne du globe ?
Solution
Soit A le point d’attache sur le globe de centre B. Le volume accessible au hanneton est l’intersection de la boule (sphère pleine) de centreB et de rayonBA, et de la boule de centreAet de rayonAC =AD=AE, longueur à déterminer.
Sur la coupe par un plan diamétral commun, on voit que cette intersection est la réunion de deux secteurs sphériques, pris dans ces boules. Leur vo- lume est respectivement (BA/3)2πBA·F A et (AC/3)2πAC·F C; ils ont en commun un bicône de volume (BA/3)πF D2, à retrancher de la somme des volumes des secteurs sphériques.
Prenant BA comme unité, AC = x, F A = x2/2, les 3 volumes ci-dessus valentπx2/3,πx2(2x−x2)/3 etπ(x2−x4/4)/3 ; le globe ayant pour volume 4π/3, la fraction accessible au hanneton est (8x3−3x4)/16.
Elle vaut 1/2 quand 3x4−8x3+ 8 = 0, d’oùx= 1,228544864. . .dans cette variante 3D du classique problème de la chèvre.
