E439 : croisements interdits
Solution proposée par Christophe Pelletier
Bloqués par une tempête de neige qui s'est abattue sur l'autoroute du Sud, Zig et Puce prennent leur mal en patience. Ils dessinent sur une feuille de papier le contour d'un triangle équilatéral ABC et marquent en son intérieur 2007 points de telle sorte que trois points quelconques parmi les 2010 points y compris A, B et C ne sont jamais alignés. Chacun à son tour trace un segment de droite joignant deux points aussi longtemps que ce segment ne croise pas un segment déjà tracé. Le vainqueur est le dernier à pouvoir tracer un segment. Zig commence. Qui est le vainqueur ?
Solution :
C’est Zig qui gagne car le joueur qui commence gagne toujours à ce jeu. En effet, à partir des 2010 points, on peut tracer 6021 segments qui ne se coupent pas, si on exclu les 3 segments du triangle de départ. 6021 est un nombre impair, donc le joueur qui devra tracer le 6022ème segment, qui coupe forcement un autre, est celui qui joue en second.
Les 3 premiers points tracés forment un triangle quelconque. Il se compose de 3 segments.
Quand un point supplémentaire est ajouté à l’intérieur du triangle, on peut tracer 3 nouveaux segments. Ils vont du nouveau point aux 3 coins (sur le dessin, le point 4).
De même quand on rajoute un nouveau point, il se trouve à l’intérieur d’un triangle existant.
On peut donc faire 3 nouveaux segments qui ne coupent aucun segment existant (points 5 et 6 sur le dessin). En ajoutant 2007 points, on crée 3*2007=6021 segments.
1
2
3
4 5
6
