E633 : À la manière des joueurs de poker.
Numérotons les jetons de 1 à 2n en commençant par la pile de gauche de haut en bas, et poursuivant par celle de droite. Si l’on mélange en alternance les deux piles, en commençant par un jeton de droite, puis en remettant la première moitié à gauche, le jeton k se retrouve en position 2k, modulo 2n+1. Si l’on mélange en commençant par un jeton de gauche, le premier jeton de la pile de gauche et le dernier de la pile de droite restent dans la même position, et ne jouent aucun rôle ; pour les autres jetons, on est ramené au cas précédent, en remplaçant n par n-1. Enfin, les cas où l’on replace la première moitié à droite se déduisent des cas précédents, en inversant les numéros des jetons, c’est à dire de bas en haut en commençant par la droite.
Reprenons le cas du mélange en commençant par un jeton de gauche, et en replaçant la première moitié de la pile à gauche. On peut nommer position 1 le second jeton de gauche, 2 le troisième, … n-1 le dernier de la pile de gauche, n le premier jeton de la pile de droite, … 2n-2 le n-1-ième de la pile de droite.
Après avoir intercalé les deux piles, on constate qu’un jeton passe de la position k à la position K, reste de la division de 2k par 2n-1. Après p mélanges, ce même jeton se retrouvera au numéro reste de la division de 2pk par 2n-1.
Tous se retrouveront dans leur position initiale après p=f(n) coups si 2p=1 (mod 2n-1).
On obtiendra le résultat souhaité avec un minimum de manipulations pour les valeurs de n de la forme n=2k, puisque alors f(n)=k+1 .
Sinon, le théorème d’Euler nous dit que 2ϕ(2n-1)=1 (mod 2n-1), puisque 2 est premier avec 2n-1 (en notant ϕ l’indicatrice d’Euler, nombre d’entiers inférieurs à un entier donné et premiers avec celui-ci) ; il en résulte que f(n) divise ϕ(2n-1).
Ci dessous, les premières valeurs de la fonction f(n)
n 2n-1 ϕ f n 2n-1 ϕ f
2 3 2 2 18 35 24 12
3 5 4 4 19 37 36 36
4 7 6 3 20 39 24 12
5 9 6 6 21 41 40 20
6 11 10 10 22 43 42 14
7 13 12 12 23 45 24 12
8 15 8 4 24 47 46 23
9 17 16 8 25 49 42 21
10 19 18 18 26 51 32 8
11 21 12 6 27 53 52 52
12 23 22 11 28 55 40 20
13 25 20 20 29 57 36 18
14 27 18 18 30 59 58 58
15 29 28 28 31 61 60 60
16 31 30 5 32 63 36 6
17 33 20 10
