Feuille d’exercices n

Feuille d’exercices n

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Exercice 1. Soit (E,k · k) un espace euclidien, dont le produit scalaire est not´eh, i. On notef :E →Rla fonction d´efinie par f(x) =kxk².

(1) Montrer quef est diff´erentiable sur E et d´eterminer sa diff´erentielle.

(2) Montrer f est de classe C¹.

Exercice 2. Soit f :Mn(R)→Mn(R) d´efinie parf(X) =X².

(1) Montrer quef est diff´erentiable sur Mn(R), et trouver sa diff´erentielle.

(2) Montrer quef est de classe C¹.

Exercice 3. Pour k∈N, on d´efinit Pk :Mn(R)→Mn(R) par Pk(X) =X^k.

(1) Montrer par r´ecurrence surk queP_kest diff´erentiable surM_n(R) et que pour k≥1 et A, H ∈Mn(R), on a

DPk(A)H = Xk−1

j=0

A^jHA^k−1−j. (2) Montrer quePk est de classe C¹.

(3) Montrer qu’on a kDPk(A)k ≤ kkAk^k−1 pour tout k ≥ 1 et pour toute A ∈ Mn(R).

Exercice 4. On note GLn(R)⊂Mn(R) l’ensemble des matrices inversibles.

(1) Montrer que GLn(R) est un ouvert de Mn(R) et que l’application A 7→ A⁻¹ est continue sur GLn(R). (Penser au d´eterminant).

(2) Soient A∈GLn(R) et H telle que A+H ∈GLn(R). Montrer qu’on a (A+H)⁻¹−A⁻¹ =−(A+H)⁻¹HA⁻¹.

(3) Montrer que l’application X 7→ X⁻¹ est diff´erentiable sur Mn(R) et trouver sa diff´erentielle.

Exercice 5. Soient E et F deux evn, et soit f : E → F. On suppose qu’il existe α >1 tel quef(h) =O(khk^α) au voisinage de 0. Montrer quef est diff´erentiable en 0.

Exercice 6. On munit C([0,1]) de la norme k · k∞. Soitϕ :R→Rde classe C¹, et soit f :C([0,1])→ C([0,1]) l’application d´efinie par f(u) = ϕ◦u. Montrer que f est diff´erentiable sur C([0,1]) et que pouru, h∈ C([0,1]), on a Df(u)h= (ϕ^′◦u)×h.

1

Exercice 7. Soit (E,k · k) un espace vectoriel norm´e. Montrer que la fonction x7→ kxk n’est d´erivable en 0 dans aucune direction.

Exercice 8. Soit f : R² → R d´efinie par f(0,0) = 0, f(x, y) = 0 si y 6= x² et f(x, x²) = 1 pour tout x6= 0.

(1) La fonctionf est-elle continue en (0,0)?

(2) Montrer quef est d´erivable en (0,0) dans toutes les directions.

Exercice 9. Soit E etF deux evn, et soit f :E →F. On suppose quef admet en un point p∈E une d´eriv´ee dans la direction d’un vecteur e∈E\ {0}. Montrer que

∂_λef(p) existe pour toutλ∈R^∗, et qu’on a ∂_λef(p) =λ∂_ef(p).

Exercice 10. Montrer que la formule g(x, y) = xy+xp

2−y² d´efinit une fonction de classe C¹ sur un ouvert Ω⊂R² `a pr´eciser.

Exercice 11. Ecrire les matrices Jacobiennes des applications´ f : R³ → R² et g : R² → R² d´efinies par f(x, y, z) = (xycos(y³z), e^z2p

1 +x²+y²) et g(x, y) = (x³log(3 +x⁴y⁴), e√

1+x²y²).

Exercice 12. Etudier la diff´erentiabilit´e de la fonction´ f : R³ → R d´efinie par f(0,0,0) = 0 et f(x, y, z) = xyz log(x² +y²+z²) si (x, y, z)6= (0,0,0).

Exercice 13. Soient p, q ∈ N^∗. On d´efinit f : R² → R d´efinie par f(0,0) = 0 et f(x, y) = _x^x2p_+y^yq2 si (x, y) 6= (0,0). Montrer que f est de classe C¹ si et seulement si p+q >3.

Exercice 14. Pour α > 0, on note fα : R² → R la fonction d´efinie par fα(x, y) =

|xy|^α.

(1) Montrer quef_α est de classe C¹ sur l’ouvert Ω ={(x, y)∈R²; x6= 0, y 6= 0}. (2) Montrer quef_α est diff´erentiable en (0,0) si et seulement siα >1/2.

(3) Montrer que fα est de classe C¹ sur R² si et seulement si α >1.

Exercice 15. Pour α > 0, on d´efinit fα : R² → R par fα(0,0) = 0 et fα(x, y) =

xy

(x²+y²)^α si (x, y)6= (0,0).

(1) Montrer que fα poss`ede des d´eriv´ees partielles en tout point et calculer ces d´eriv´ees partielles.

(2) Montrer que siα <1/2, alorsfα est de classeC¹ sur R²

(3) Pour quelles valeurs deα la fonction fα est-elle diff´erentiable en (0,0)?

Exercice 16. Soit f : R² → R d´efinie par f(x, y) = xy Arctan(y/x) si x 6= 0 et f(0, y) = 0.

(1) Montrer que f poss`ede des d´eriv´ees partielles en tout point (0, y) et calculer ces d´eriv´ees partielles.

(2) D´eterminer les points de diff´erentiabilit´e def.

Exercice 17. Soit Ω = {(x, y) ∈ R²; y > 0} et soit f : Ω → R² d´efinie par f(0, y) = (0,0) et f(x, y) = √y x²cos(1/x³),√y x²sin(1/x³)

si x6= 0.

(1) Montrer que f est de classe C¹ sur Ω^∗ ={(x, y)∈Ω; x6= 0}.

(2) Montrer que sia= (0, y0)∈Ω et sih∈R²v´erifiea+h∈Ω, alorskf(a+h)k ≤ khk²p

y0+khk. En d´eduire quef est diff´erentiable surR², avecDf(x, y) = 0 six= 0.

(3) Montrer que le d´eterminant JacobienJf(x, y) prend exactement deux valeurs sur Ω.

Exercice 18. Montrer que l’application x 7→ kxk est de classe C¹ sur Rⁿ\ {0} et d´eterminer son gradient.

Exercice 19. Soit f :R → R une fonction de classe C², et soit g :R² → R d´efinie par g(x, y) = ^f(y)−f(x)_y−x si x 6=y et g(x, x) = f^′(x) pour tout x ∈ R. Montrer que g est de classe C¹ sur R².

Exercice 20. Soit f : R² → R. On suppose que f admet des d´eriv´ees partielles en tout point, et que les fonctions ^∂f_∂x et ^∂f_∂y sont born´ees surR². Montrer que f est continue.

Exercice 21. Soit f :Rⁿ→R diff´erentiable. Pour x∈Rⁿ fix´e, exprimer la d´eriv´ee de la fonction t7→f(tx) `a l’aide des d´eriv´ees partielles de f.

Exercice 22. Soient E et F des evn, α : R → R d´erivable, u : R → E d´erivable et f : E → F diff´erentiable. Calculer les d´eriv´ees des fonctions t 7→ f(α(t)u(t)) et t7→α(t)f(u(t)).

Exercice 23. Soient E, F1, F2, G des evn, u : E → F1, v : E → F2 et B : F1 × F2 → G bilin´eaire continue. On note f : E → G l’application d´efinie par f(x) = B(u(x), v(x)).

(1) On suppose que u et v sont diff´erentiables sur E. Montrer que l’application f est diff´erentiable et donner l’expression deDf(a) pour tout a ∈E.

(2) Soit a ∈E. On suppose que u est diff´erentiable ena, que u(a) = 0 et que v est continue en a. Montrer que f est diff´erentiable en a.

Exercice 24. Soient f et g deux fonctions de classe C¹ sur ]0,∞[. Montrer que h(x, y) =f(xy) +g(x/y) est de classe C¹ sur un ouvert Ω `a pr´eciser, et calculer ses d´eriv´ees partielles.

Exercice 25. Soient ϕ :R →R continue, θ =R³ →R de classe C¹ et f : R³ → R d´efinie par f(x, y, z) =Rθ(x,yz)

0 ϕ(t)dt. Montrer que f est de classe C¹ et donner ses d´eriv´ees partielles.

Exercice 26. Soit a∈Rⁿ, et soit f :Rⁿ →R d´efinie parf(x) =ha, xie^−kxk2. (1) En utilisant le th´eor`eme des fonctions compos´ees, montrer quef est de classe

C¹ sur Rⁿ et d´eterminer sa diff´erentielle.

(2) Retrouver les r´esultats de (1) en utilisant les d´eriv´ees partielles.

Exercice 27. (fonctions homog`enes)

Soit λ∈R. On dit qu’une fonction f :Rⁿ→R est homog`ene de degr´e λ si on a f(tx) =t^λf(x)

pour tout x∈Rⁿ et pour tout t >0.

(1) D´eterminer toutes les fonctions continues sur Rⁿ et homog`enes de degr´e 0.

(2) En utilisant l’exercice 21, montrer que pour une fonction f : Rⁿ → R diff´erentiable, les propri´et´es suivantes sont ´equivalentes :

(i) f est homog`ene de degr´eλ;

(ii) ∀x∈Rⁿ : Pⁿ

j=1

xj∂jf(x) =λf(x).

Exercice 28. Le but de l’exercice est de d´eterminer toutes les fonctions f :R² →R diff´erentiables sur R² et v´erifiant l’´equation aux d´eriv´ees partielles suivante, not´ee (E) :

x∂f

∂x +y∂f

∂y = (x⁴+y⁴)^1/2.

(1) En utilisant l’exercice 27, d´eterminer les solutions de l’´equation “homog`ene”

x^∂f_∂x+y^∂f_∂y = 0.

(2) Montrer que la fonction (x, y) 7→ (x⁴ +y⁴)^1/2 est homog`ene de degr´e λ `a pr´eciser, et en d´eduire une solution particuli`ere de (E).

(3) D´eterminer toutes les solutions de (E).

Exercice 29. Soient E et F des evn, B : E ×E → F une application bilin´eaire continue, et f :E →F diff´erentiable. On suppose que pour toutx∈E, on a

Df(x)x=B(x, x).

(1) Soit x ∈ E fix´e, et soit ϕ : R → E la fonction d´efinie par ϕ(t) = f(tx).

Calculer ϕ^′(t) pour t >0.

(2) On posec=f(0).Montrer qu’on a f(x) =c+¹₂B(x, x) pour tout x∈E.

Exercice 30. Soit C ∈ R. Le but de l’exercice est de trouver toutes les fonctions f :R² →R diff´erentiables v´erifiant l’´equation aux d´eriv´ees partielles suivante, not´ee (E) :

∂f

∂x −∂f

∂y =C .

(1) Soit f :R² →R diff´erentiable. On d´efinit g :R² →R par g(u, v) =f

u+v

2 ,−u+v 2

. (a) Exprimer f(x, y) `a l’aide deg.

(b) Calculer _∂u^∂g en fonction des d´eriv´ees partielles de f.

(2) Soit c ∈ R. Trouver toutes les fonctions g(u, v) diff´erentiables sur R² et v´erifiant ^∂g_∂u =c.

(3) Conclure qu’une fonctionf est solution de (E) si et seulement si il existe une fonction d´erivable ϕ:R→R telle que f(x, y) = ^C₂ (x−y) +ϕ(x+y).

Exercice 31. Soit (a, b) ∈ R² \ {(0,0)}. Montrer qu’une fonction f diff´erentiable surR² est solution de l’´equation aux d´eriv´ees partielles a^∂f_∂x+b^∂f_∂y = 0 si et seulement si elle est de la forme f(x, y) = ϕ(−bx +ay), o`u ϕ est une fonction d´erivable sur R. (Poser ∆ =a²+b², g(u, v) =f

au−bv

∆ ,−bu+av

∆

, et raisonner comme dans l’exercice 30).

Exercice 32. Soit a = (a1, . . . , an)∈ Rⁿ\ {0}, et soit g :Rⁿ⁻¹ →R diff´erentiable.

On noteH ⊂Rⁿ l’hyperplan orthogonal `aa, et on choisit une base (h1, . . . , hn−1) de H. Montrer que la fonction f : Rⁿ → R d´efinie par f(x) = g(hx, h1i, . . .hx, hn−1i) v´erifie Pn

j=1aj ∂f

∂xj = 0.

Exercice 33. (coordonn´ees polaires)

Soit f :R² →R diff´erentiable, et soit fe: ]0,∞[×R la fonction d´efinie par fe(r, θ) = f(rcosθ, rsinθ).

(1) Montrer quefeest diff´erentiable et exprimer ses d´eriv´ees partielles en fonction de celles def.

(2) Exprimer les d´eriv´ees partielles def en fonction de celles de f.e

Exercice 34. (gradient d’une fonction radiale)

Soit ϕ : ]0,∞[→ R une fonction d´erivable, et soit f : Rⁿ \ {0} → R d´efinie par f(x) =ϕ(kxk). Montrer que pour tout x∈Rⁿ, on a

∇f(x) =ϕ^′(kxk) x kxk. Exercice 35. (divergence d’un champ de vecteurs radial)

Soit ϕ : ]0,∞[→R d´erivable et soit V :Rⁿ\ {0} →Rⁿ d´efinie par V(x) =ϕ(kxk) x

kxk· (1) Pourquoi V est-elle diff´erentiable?

(2) On pose∇ ·V =Pn j=1

∂vi

∂xi, o`uv1, . . . , vn sont les composantes deV. Montrer que si x∈Rⁿ\ {0} et si on pose r=kxk, alors

∇ ·V(x) =ϕ^′(r) + n−1 r ϕ(r).

Exercice 36. Soit I :Rⁿ\ {0} →Rⁿ l’application d´efinie par I(x) = _kxk^x2 ·Montrer que I est de classe C¹, et que si a ∈ Rⁿ\ {0} v´erifie kak = 1, alors DI(a) est la sym´etrie orthogonale par rapport `a l’hyperplan orthogonal `a a.

Exercice 37. Soit f(t, y) une fonction continue sur R². On suppose que ^∂f_∂y existe en tout point (t, y)∈R² et que ^∂f_∂y est continue sur R².

(1) On d´efinit F : R³ → R par F(u, v, w) =Rv

u f(t, w)dt. Montrer que F est de classe C¹ et trouver ses d´eriv´ees partielles.

(2) Soient a, b, c : R → R trois fonctions de classe C¹, et soit g : R → R la fonction d´efinie par g(x) =Rb(x)

a(x) f(t, c(x))dt. Montrer que g est de classe C¹ et calculer sa d´eriv´ee.

Exercice 38. Soit ϕ :R→R continue. On d´efinit g =R→Rpar g(x) =

Z x 0

sin(x−t)ϕ(t)dt .

Montrer que g est solution de l’´equation diff´erentielle y^′′+y=ϕ.

Exercice 39. Soit k ∈N^∗. En utilisant l’exercice 3, montrer que si A, B ∈ Mn(R), alors kB^k−A^kk ≤kmax(kAk,kBk)^k−1kB−Ak.

Exercice 40. SoientEetF deux evn et soitf :E →F une application diff´erentiable v´erifiant limkxk→∞kDf(x)k= 0. Montrer qu’on a limkxk kf(x)k

kxk = 0.

Exercice 41. Soient E etF deux evn, soit a∈E et soit f :E →F une application continue sur E et diff´erentiable sur E \ {a}. On suppose que Df(x) admet une limite L dans L(E, F) quand x → a. Montrer que f est diff´erentiable en a, avec Df(a) =L.

Exercice 42. Pour (x, y) ∈ R², on pose f(x, y) = P∞ k=1

cos(kx) sin(ky)

k³ · Justifier la d´efinition et montrer que f est de classe C¹ sur R².

Exercice 43. En utilisant les exercices 3 et 39, montrer que l’application X 7→ e^X est de classe C¹ sur Mn(R), et que si A, B ∈Mn(R), alors

ke^B−e^Ak ≤max(e^kAk, e^kBk)kB−Ak.

Exercice 44. Pour X ∈Mn(R), on pose sin(X) =

X∞

k=0

(−1)^k X^2k+1 (k+ 1)!·

Justifier la d´efinition, montrer que l’application sin est de classe C¹, et montrer que pourA, B ∈Mn(R), on a ksin(B)−sin(A)k ≤max(chkAk,chkBk)kB−Ak. Exercice 45. Soit E un evn et soit f :E → E de classe C¹. Soit ´egalement a ∈E.

On suppose qu’on a f(a) =a et kDf(a)k<1.

(1) Montrer qu’on peut trouverr >0 et k < 1 tels que

∀x, y ∈B(a, r) :kf(x)−f(y)k ≤kkx−yk. (2) Montrer que la bouleB(a, r) est stable par f.

(3) Pourn∈N, on posefⁿ =f◦· · ·◦f. Montrer que pour tout pointx0 ∈B(a, r), la suite (xn) = (fⁿ(x0)) converge versa, et donner une majoration dekxn−ak en fonction dek, n et kx0−ak.

Exercice 46. Soit A ∈ Mn(R) une matrice inversible. On d´efinit f : Mn(R) → Mn(R) par

f(X) = 2X−XAX .

(1) Montrer que f est de classe C¹ et d´eterminer Df(A⁻¹).

(2) Montrer qu’on peut trouver r > 0 tel que : pour toute matrice X₀ v´erifiant kX0−A⁻¹k< r, la suite (fⁿ(X0)) converge vers A⁻¹.