Base de l’analyse réelle (MVA010)

MVA010

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Base de l’analyse réelle (MVA010)

Téléphone et Calculatrice sont interdites

Examen proposé par : J.SAAB

pour les centres de Beyrouth, Baalbek, Bikfaya, Nahr Ibrahim, Tripoli.

Exercice 1 (20 points) On considère la suite numérique (u_n)_n2N dé…nie par : u₀ = 1 et2u_n+1=u_n 1; 8n 0

1. Calculer les4 premiers termes de la suite(u_n):

2. Soit (w_n) la suite numérique dé…nie, pour tout entier n, par w_n = u_n+a où a est un nombre réel.

(a) Déterminer le nombreatel que(w_n)soit une suite géométrique. Quelle est alors la raison de(w_n) ?son premier terme ?

(b) Déterminer une expression dew_nen fonction den:En déduire une expression deu_n en fonction de n:

3. Déterminer le sens de variation et la convergence de la suite(u_n):

SOLUTION. 1

1. u0 = 1; u1 = 0; u2 = ¹₂; u3 = ³₄ 2pts 2. wn=un+a

(a) wn+1 = un+1+a = un 1

2 +a = un 1 + 2a

2 = ¹₂(un 1 + 2a) = q(un+a) = qwn

pourq= ¹₂ et 1 + 2a=a 4pts:Ainsiwn=un+ 1est une suite géométrique de raison q= ¹₂ 2pts:Dans ce casw0 = 2: 2pts

(b) w_n=w₀qⁿ= 1

2^{n 1} 2pts etu_n= 1

2^{n 1} 1 2pts: 3. un+1 un = 1

2ⁿ 1

2^{n 1} = 1

2ⁿ < 0 et (un) est strictement décroissante 4pts et comme u_n> 1 alors(u_n) est décroissante et minorée, elle est donc convergente. 2pts

Exercice 2 (20 points) : On considère la fonction f dé…nie surR par :

f(x) : 8<

:

1 1

x e^1x si x6= 0 0 si x= 0

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1. La fonction est-elle continue en 0 ? dérivable en0 ?

2. Calculer la dérivée def en tout pointx où la dérivée existe.

3. Donner le développement limité de f en l’in…ni à l’ordre 3: En déduire l’équation de l’asymptote ainsi que sa position par rapport à la courbe def:

SOLUTION. 2 1. Lorsque x ! 0⁺; 1

x ! +1 et e^x1 ! +1 et f(x) ! 1 donc f n’est pas continue en 0 3pts et parsuite elle n’est pas dérivable en0 2pts:

2. f⁰(x) = _dx^d[ 1 1

x e^x1] =h

1

x²e^1x +_x¹2e^{1x 1}_x 1 i

= 1

x³e^x1 8x6= 0 3pts: 3. f(x) = (1 X)e^X où X!0 lorsquex! 1 et odnc

f(x) = (1 X)(1 +X+1

2X²+ 1

6X³) +X³"(X))

= 1 1

2X² 1

3X³+X³"(X)

= 1 1

2x² 1 3x³ + 1

x³"(x) 6pts:

y = 1 est une asymptote 3pts et f(x) y ' _2x¹² < 0 donc la courbe est au dessous de l’asymptote3pts:

Exercice 3 (20 points) : Le but de cet exercice est de calculer de deux façons di¤érentes I =

Z

0

xsin(x)dx 1. On rappelle que pour toutx réel sin( x) = sin(x):

En posantt= x montrer que : Z

0

xsin(x)dx= 2

Z

0

sin(x)dx En déduire la valeur deI:

2. Retrouver la valeur deI en utilisant une intégration par parties.

SOLUTION. 3

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1. On a dx= dt et

I = Z

0

xsin(x)dx

= Z 0

( t) sin( t)( dt) 2pts:

= Z

0

sintdt Z

0

tsintdt

= Z

0

sintdt I 3pts 2I =

Z

0

sintdt I =

2 Z

0

sinxdx 3pt

= 2 [cost]₀ 2pts:

I = 3pt

2. I = R

0 xsin(x)dx = R

0 xd( cosx)dx 2pts = [x( cosx)]₀ R

0 ( cosx)dx 3pts = + [sinx]₀ = 2pts

Exercice 4 (16 points) : On considère l’équation di¤érentielle linéaire du premier ordre : y(x) 6y⁰(x) = 2 (E)

1. Trouver la solution générale de(E):

2. Déduire la solution de(E) qui véri…ey(0) = 1:

SOLUTION. 4

1. y 2 = 6y⁰ doncz= 6z⁰ où z=y 2:

z⁰

z = 1

6 lnz = 1

6x+c z = ke^16x

y = ke^16x+ 2:12 pts 2. y(0) = 1 donc 1 =k+ 2ety= e^16x+ 2:4 pts

Exercice 5 (24 points) : On considère l’équation di¤érentielle linéaire de second ordre : y⁰⁰ 2y⁰+y=xe^x (E)

Trouer la solution de(E) qui véri…e : y(0) = 1ety⁰(0) = 1:

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SOLUTION. 5

’équation caractéristique associée à l’ESSM de (E) est

2 2 + 1 = 0 ( 1)² = 0 (C)

= 1 est une racine double de(C) 2pts et donc la solution générale de l’ESSM associée à(E)est y_g =c₁e^x+c₂xe^x 4pts

D’autre partf(x) =xe^x=Pn(x)e ^x avec = 1racine double de (C) etn= 1 alors posons y_p = x²(ax+b)e^x

= (ax³+bx²)e^x 4pts comme solution particulière de(E):On a

y_p⁰ = yp+ (3ax²+ 2bx)e^x

= [ax³+ (b+ 3a)x²+ 2bx]e^x 2pts

y⁰⁰_p = [3ax²+ 2(b+ 3a)x+ 2b+ (ax³+ (b+ 3a)x²+ 2bx)]e^x

= [ax³+ (6a+b)x²+ (4b+ 6a)x+ 2b]e^x 2pts

Commey⁰⁰_p 2y_p⁰+y_p =xe^x alors(6ax+ 2b) =xet donca= ¹₆ etb= 02+2=4pts ainsiy_p = ¹₆x³e^x et la solution générale de(E) et

y = y_g+y_p

= c₁e^x+c₂xe^x+1 6x³e^x

= [c₁+c₂x+1

6x³]e^x 2pts

On a y⁰ =y+ (c2+¹₂x²)e^x 2pts :La condition initialey(0) = 1 ety⁰(0) = 1 donne c₁ = 1

1 +c₂ = 1 doncy= (¹₆x³+ 1)e^x 2pts

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