E50347. Premier à prendre
Jules et Romain tirent tour à tour d’un paquet de 32 cartes un nombre de cartes qui est 1 ou un nombre premier. Celui qui ne peut plus prendre, le paquet étant épuisé, a perdu. Jules a commencé, quel est celui des joueurs qui a une stratégie gagnante ?
Solution
Chaque joueur doit éviter de laisser un paquet dont le nombre de cartes soit premier ou 1, car son adversaire gagnerait immédiatement en prenant tout.
C’est impossible quand il faut prendre dans un paquet de 4 cartes : le joueur qui laisse 4 cartes va gagner au tour suivant. De même le joueur qui laisse 8 cartes va gagner : soit au tour suivant, soit que son adversaire lui aura laissé 6 cartes et il lui en laissera 4.
Les décompositions 32 = 1 + 31 = 3 + 29 = 13 + 19, 32−4 = 5 + 23 = 11 + 17, 32−8 = 1 + 23 = 5 + 19 = 7 + 17 = 11 + 13,
donnent à Romain un catalogue de réponses gagnantes si Jules prend au premier coup un nombre impair. Le meilleur coup de Jules est de prendre 2, laissant 30. Romain va éviter de laisser un nombre premier, ou 1, ou 25 (Jules pourrait lui laisser 8), ou 27 (Jules pourrait lui laisser 4). Il va prendre 2 et laisser 28.
Cela se reproduit dans la suite. Pour ne pas perdre à brève échéance, Jules et Romain ne doivent prendre les cartes que par 2, jusqu’à ce que Romain laisse 4 et gagne : c’est lui qui a une stratégie gagnante, Jules n’y peut rien quelle que soit la façon dont il résiste.
Remarque. Olivier Marbach observe que ce problème est un cas particulier (p = 4) du suivant : l’ensemble E des nombres pouvant être retirés du tas contient les entiers de 1 àp−1 et ne contient nipni aucun de ses multiples.
La stratégie gagnante consiste à prendre le reste modulo p de l’effectif du tas ; si c’est possible au premier coup, ce l’est indéfiniment, jusqu’à vider le tas (l’adversaire qui reçoit un tas multiple depne peut retourner un multiple de p). Si l’effectif initial du tas est multiple de p(cas de 32, dans l’exemple donné), c’est le joueur en second qui dispose de la stratégie gagnante.
