H152 – Signatures sur un polyèdre [*** à la main]
Les joueurs A et B ont devant eux un polyèdre convexe qui a au moins cinq faces et dans lequel trois côtés partent exactement de chaque sommet. A tour de rôle, A pour commencer puis B apposent en alternance leur signature sur l’une quelconque des faces vierges. Le gagnant est celui qui parvient à obtenir sa signature sur trois faces partageant le même sommet.
En supposant que les deux joueurs adoptent l’un et l’autre des stratégies optimales, déterminer le joueur qui a une stratégie gagnante.
Source : Putnam compétition 2002 (USA + Canada) Solution proposée par Daniel Collignon
Supposons que les f>=5 faces soient toutes triangulaires : il y aurait alors s=3f/3 sommets et a=3f/2 arêtes, de sorte que s+f-a=2 (formule d'Euler-Descartes) impliquerait f=4 :
contradiction.
Voici une stratégie gagnante pour le premier joueur qui commence par signer une face ayant au moins 4 arêtes.
Raisonnons sur le sous-ensemble des faces qui lui sont voisines (par une arête).
Quelle que soit la réponse de l'autre joueur, il existe au moins 3 faces consécutives non encore signées : le premier joueur signe alors celle du milieu.
Quelle que soit la réponse de l'autre joueur, il existe au moins 1 face voisine de celle du milieu, et non encore signée.
Le premier joueur a alors gagné puisqu'il a signé 3 faces partageant un même sommet.
