LM270 UPMC 2010–2011 TE2b
Universit´ e Pierre et Marie Curie 2010–2011 LM270, TE2b Groupes 4,5,6 (25/3/2011)
Not´e sur 75
Aucun document n’est autoris´e. L’utilisation de tout appareil ´electronique de calcul et des t´el´ephones por- tables est interdite. Lorsqu’un calcul est demand´e, d´etaillez les ´etapes en indiquant les op´erations effectu´ees ; un r´esultat final correct mais non justifi´e par les ´etapes du calcul qui y m`enent, ne donnera qu’une partie des points. D’autre part, les correcteurs tiendront compte de la qualit´e de la r´edaction et de la pr´ecision des raisonnements.
Exercice 1 (52 pts). SoitA=
0 0 0 2 −1
−1 −1 1 0 0
1 0 −1 2 −1
−1 0 0 −5 3
−1 0 0 −6 4
∈M5(R) et soitul’endomorphisme deR5 associ´e
`aA. On noteB= (e1, . . . , e5) la base canonique deR5. 1. (5 pts) D´eterminer le polynˆome caract´eristiquePA(X).
2. (5 pts) Pour chaque racineλdePA(X) donner,sans calculset en citant un r´esultat du cours, la dimension de l’espace caract´eristiqueV(λ).
3. (10 pts) Pour chaque racine λ de PA(X), d´eterminer une base de Ker(A−λI5) puis, si n´ecessaire, de Ker(A−λI5)2, Ker(A−λI5)3, etc.
4. (4 pts) D´eterminer la forme normale de JordanJA deA.
5. (5 + 4 = 9 pts) Plus pr´ecis´ement, pour chaque racineλde PA(X), donner une baseCλ deV(λ) telle que la matrice de u dans la base C = (v1, v2, v3, v4, v5) r´eunion des Cλ, ´egale JA. Indication : on prendra v1= (A+I5)(e1) etv5 un vecteur propre pour une valeur propreλ6=−1. ´Ecrire la matrice de passage P = MatB(C), puis d´eterminerP−1 (exprimer les vecteursej en fonction des vecteursvi).
6. (1 + 2 + 4 = 7 pts) Soitsl’endomorphisme ´egal `aλid sur chaque espace caract´eristiqueV(λ)deuet soit S sa matrice dans la baseC. ´Ecrire la matriceN =JA−S et calculerN2puis exp(tN) et exp(tJA), pour tout t∈R.
7. (4 + 3 + 2 = 9 pts) SoitE leR-espace vectoriel des fonctions de classeC∞
X:R→R5, X(t) =
x1(t) x2(t) x3(t) x4(t) x5(t)
telles que X0(t) =A·X(t).
Soit C la base (v1, v2, v3, v4, v5) de la question 5. On d´efinit les fonctions (y1(t), . . . , y5(t)) par l’´egalit´e X(t) =y1(t)v1+y2(t)v2+· · ·+y5(t)v5 et l’on pose
Y(t) =
y1(t) y2(t) y3(t) y4(t) y5(t)
.
ExprimerY(t) en fonction deX(t) etP, puis la d´eriv´eeY0(t) en fonction deX0(t) etP. Montrer queY(t) est solution d’une ´equation diff´erentielle Y0(t) =B·Y(t) pour une matriceB que l’on d´eterminera, puis calculer exp(tB) et exprimerY(t) en fonction de Y(0), puis en fonction deX(0).
8. (3 pts) On suppose queX(0) =
1
−1 2 0 1
. D´eterminer le vecteurY(100).
Exercice 2 (23 pts). SoitV unk-espace vectoriel de dimension finien.
LM270 UPMC 2010–2011 TE2b
1. (3 + 4 = 7 pts) Soient f ∈ Endk(V), λ une valeur propre de f, Vλ l’espace propre et V(λ) l’espace caract´eristique associ´es. Si g ∈ Endk(V) commute `a f (i.e.f ◦g = g◦f), montrer que g(Vλ) ⊂ Vλ et g(V(λ))⊂V(λ).
2. (8 pts) SoitF={f1, . . . , fN}une famille d’endomorphismes diagonalisables deV qui commutent deux `a deux (i.e.fi◦fj =fj◦fipour touti, j). Montrer qu’il existe une base deV dans laquelle la matrice de tout
´el´ement deF est diagonale.Indication :consid´erer d’abord le cas o`u tous lesfi sont des homoth´eties ; puis, si f1 n’est pas une homoth´etie, consid´erer les espace propres def1 et proc´eder par r´ecurrence sur n= dimV.
3. (6 + 2 = 8 pts) On prend k =C. SoitG un sous-groupe fini commutatif de GL(V). Montrer que tout
´el´ement deGest diagonalisable (on rappelle que pour tout ´el´ement g d’un groupe finiGde cardinalN, gN ´egale l’´el´ement neutre deG), puis qu’il existe une base de V dans laquelle la matrice de tout ´el´ement deGest diagonale.
