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MPSI 1 2002-2003

CPGE Agadir

Feuille d’exercices N

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Mardi le:22-Avril-2003

Fonctions a deux variables 1. Déterminer les extremums des fonctions suivantes :

a. f : x,y → 2x+y−x⁴−y⁴ b. g : x,y → xe^y+ye^x c. h : x,y → _{1+x1}^xy_{+yx+y}.

Préciser leurs natures (minimums , maximums, locaux , globaux)

2. SoitABCun triangle du plan , déterminer les points du plan où les fonctions suivantes atteignent leurs extremums :

a. f : M → MA²+MB²+MC² b. g : M → MA+MB+MC c. h :: M → MAMBMC

Préciser leurs natures (minimums , maximums) 3. Résoudre les équations différentielles suivantes :

a. x^∂_∂x^f +y_∂^∂_y^f f+x²+y² = 0 (passer aux coordonnées polaires ).

b. x²_∂^∂2f

x² +2xy_∂^∂_x²_∂^f_y +y² _∂^∂2f

y² = 0 (passer aux coordonnées polaires).

c. 2xy_∂^∂_x^f +1+y²_∂^∂_y^f = 0,x = ^u2₂^+v2,y = ^uv.

d. 2y²−x_∂x^∂22^f +2y_∂^∂_x²_∂^f_y + ^∂_∂y²2^f −y²−x = 0;x = u²+v²,y = u+v.

4. Calculer les intégrales doubles suivants:

a.

∫∫

b.

∫∫

5. Calculer les intégrales triples suivants:

a.

∫∫∫

b.

∫∫∫

6. Etudier la limite en0, 0des fonctions suivantes : 7. fx,y = ^xsin_x^y−2+^ysiny^{2 x}.

8. gx,y = _x^x2+^2yy²

9. La fonction suivante definie par :fx,y = x+y x²+y²sin ¹

x²+y² six,y ≠ 0, 0et f0, 0 = 0 est -elle de classeC¹.

10. Pourx > 0 on posegx = lnx+2x+1.

a. montrer que l’équationgx = 0 admet une seule solutiona ∈0, ¹e.

b. surIR^+∗xIRon posefx,y = xlnx+x+y²déterminer le point critique.

c. vérifier que f admet un minimum relatif en ce point et que minf = −aa+1.

11. Soitλ>1, on poseH = x,y ∈ IR2/x > 0etD = x,y ∈ IR²/x > 0,y ≠ 0, on se propose d’étudier les extremums de la fonctionfx,y = x^λy−y²−ylnx+1+1.

a. pourx > 0 on posefx = x^λ −lnx+1, montrer que l’équationf′x = 0 admet une

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seule solutionb ∈0,+∞.

b. on posefb = 2c, montrer quec < 0.

c. montrer que l’équationfx = 0 admet une seule solutiona ∈0,+∞et quea > b.

d. déterminer les points critiques def(on les exprimera en fonction dea,b,c).b. montrer quefadmet un seul extremum , que l’on précisera.

12. On poseD = x,y ∈ IR²,x > 0,y > 0,r = x²+y²,t = ^yx ,fx,y = gr,t, on admet que sifest de classeC²surDalorsgl’est aussi; et on poseTfx,y = x_∂^∂f_xx,y+y_∂^∂_y^f x,y, et pour touta ∈ IRon poseNa = f ∈ C²D/Tf−af = 0.

a. montrer queDest un ouvert.

b. sif,h ∈ C²DxC²DexprimerTfhen fonction def,h,Tf,Th.

c. sif,ϕ ∈ C²DxC²IR, donner l’expression deTϕof.

d. exprimerTfen fonction de ^∂_∂^g_r ,^∂_∂^g_t ,r,t.

e. calculerTt.

f. montrer que siϕ ∈ C²IR^+∗alorsϕot ∈ N0. g. en déduire la forme générale des fonctionsf ∈ N0. h. calculerTr.

i. montrer quef ∈ N0  rf ∈ N1, en déduire la forme générale des fonctionsf ∈ N1. j. poura ∈ IR, calculertr^a, en déduire la forme générale des fonctionsf ∈ Na. k. on se propose dans la suite de résoudre l’équation : (*)Tf−af = bhoùh ∈ Nb, on

suppose d’abord que :a = b, montrer que (*) admet une solution particulière f0de la formef0 = ϕrhoùϕ ∈ C2IR^+∗que l’on explicitera ; en déduire la forme générale des solutions de (*).

l. on suppose maintenant que :a ≠ b, montrer que (*) admet une solution particulièref0

de la formef0 = λhoùλest une constante que l’on explicitera ; en déduire la forme générale des solutions de (*).

m. résoudre les équations suivants :

i. x_∂^∂_x^f x,y+y_∂^∂_y^fx,y−fx,y = ^x_x²2⁺+^yy²²⁻+^xyxy. ii. x_∂^∂_x^f x,y+y_∂^∂_y^fx,y−2fx,y = ^x2+yx²+y^x−y.