2006/07 - I,2: corrigé

T2EE - Corrigé du devoir en classe de mathématiques I,2

Exercice 1

a) z1  3  6 i 1 2 i   3  6 i 6 i 12   3 2 3  3 3 b) z2  34i

52i  52i

52i  156i20i8 254  7

29  26 29i c) z3  1 3 i ⁹; r  13  2 ; cos  a

r  1

2 ; sin  b

r   3

2 donc  2

3 . donc

2 cos ^2₃ isin ^2₃ ¹¹  2⁹ cos ^18₃ isin ^18₃  512cos6isin6  512 d) z4  e^7ie^27ie^47i  e^77i  e^i  1

e) z5  cos 3

4 isin 3

4 cos 

4 isin 

4  cos 3 4  

4 isin 3 4  

4

 cos 

2 isin  2  i f) z6  4e^512i

2 cos ^₆ isin^₆  4e^512i

2e^6i  2e ^{5126 i}  2e^312i  2e^4i  2  2 i

Exercice 2

a) z1z2  22i 3 i  2 3 2i2i 3 2 22 3  22 3 i b) z1  22i ; a 2,b 2 ; r  a²b²  44  8  2 2

cos  a r  2

2 2   1

2   2 2 sin  b

r  2

2 2  1

2  2 2

donc  3

4 et z1  2 2 e^34i z2  3 i ; ;a  3 ,b  1 ; r  a²b²  31  2

cos  a r  3

2 sin  b

r  1 2

donc  

6 et z2  2e^6i

c) z1z2  4 2 e ^{346 i}  4 2 e^712i d) 4 2 cos 7

12 isin 7

12  22 3  22 3 i

donc

4 2 cos 7

12  22 3  cos 7

12  22 3

4 2  2

2  2 2 2 6

42  2  6 4 4 2 sin 7

12  22 3  sin 7

12  22 3

4 2  2

2  2 2 2 6

42  2  6 4

Exercice 3

a) 3z24i  423i5z

 3z24i  812i5z

 2z  1016i |: 2

 z  58i S  58i

b) 3iz  4iz

 izz  34i

 1iz  34i |: 1i

 z  34i

1i  1i

1i  33i4i4 11  7

2  1

2i S  7

2  1 2i c) 2ze^1415i4e^415i  0

 2ze^1415i  4e^415i |: 2e^1415i

 z  ^4e415i

2e^1415i  2e ^{4151415 i}  2e^23i  2 cos 2

3 isin 2 3

 z  2 1 2  3

2  1 3 i S  1 3 i d) z²2iz5 0

a 1;b 2i;c  5 :   2i²4 5  420  16 z1  2i4

2  2i et z2  2i4

2  2i S  2i;2i