Mines Physique 2 PSI 2006 — Corrigé

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Mines Physique 2 PSI 2006 — Corrigé

Ce corrigé est proposé par Georges Rolland (Professeur agrégé) ; il a été relu par Pierre-Marie Billangeon (ESPCI) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE).

Ce sujet se compose de trois parties largement indépendantes et traite d’oscillations de bulles d’air dans l’eau. Mis à part le début de la première partie, l’ensemble du problème s’écarte très largement du cours.

• La première partie consiste en l’établissement de l’équation des ondes sonores, raisonnement classique de cours, et à son application à la bulle d’air ; elle doit être résolue sans problème.

• La deuxième partie introduit deux modèles d’oscillations de bulles et com- pare leurs prévisions. La sous-partie II.2, qui envisage la propagation des ondes sonores dans l’eau à vitesse finie, est plus délicate et demande une bonne as- similation des phénomènes propagatifs et de leur dépendance en temps et en espace.

• La dernière partie du problème traite du couplage acoustique de deux bulles ; elle présente des questions qualitatives pour tester le sens physique (et l’imagi- nation) du candidat. Son niveau reste abordable.

L’ensemble est d’une longueur raisonnable et ne comporte pas de question très délicate ou trop calculatoire. De nombreux résultats sont fournis, ce qui aide à leur dé- monstration et permet de ne pas buter sur une difficulté ponctuelle. Il exige toutefois du candidat attention et rigueur pour éviter quelques pièges, parfois assez subtils.

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Indications

Partie I

3 Dériver l’équation de conservation de la masse par rapport àt, prendre la divergence de l’équation d’Euler de façon à éliminer les termes en v.

6 Exprimer la (petite) variation de volume de la bulle en fonction deξ(t)et utiliser la loi de Laplace.

Partie II

7 Utiliser l’hypothèse d’incompressibilité de l’eau et donc la conservation de son volume lors de la dilatation de la bulle (R−→R + dR).

10 Intégrer par rapport à r l’équation obtenue à la question 8 avec les conditions initiales déterminées à la question 9. Négliger le terme du second ordre pour obtenir l’équation différentielle d’un oscillateur harmonique.

13 Utiliser le formulaire fourni pour exprimer le laplacien de p en fonction de π.

L’équation de d’Alembert satisfaite parπ(t)admet deux solutions, dont une doit être rejetée.

14 Appliquer le principe fondamental de la dynamique à une particule d’eau.

15 Utiliser le fait quer est voisin deR0. 18 Exprimerξ^′′′ en fonction deξ^′.

19 L’amortissement est faible, la période mesurée sur la figure 1 peut être assimilée à la période propre. L’enveloppe du signal, une exponentielle décroissante, permet d’accéder àΓ.

Partie III

20 Il y a ici une erreur d’énoncé, on doit lirecE≫ωMd.

Ne pas oublier de prouver que l’on peut confondreu1, u2ettpour obtenir les équa- tions demandées. Pour cela, comparer la longueur d’onde des ondes de pression dans l’eau à la distance séparant les deux bulles.

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Le chant des bulles

I. Évolution de l’air contenu dans une bulle

1. Propagation du son dans l’air 1 L’équation d’Euler s’écrit en introduisantρ1et p1:

(ρ0+ρ1)

"

∂−→v

∂t + (−→v .−−→

grad )−→v

#

=−−−→

grad (p0+p1)

Puisque |ρ1| ≪ |ρ0| et p0 = C^te, et en négligeant le terme convectif (−→v .−−→

grad )−→v, du deuxième ordre, on obtient

ρ0

∂−→v

∂t =−−−→

grad (p1)

Pour les mêmes raisons, l’équation de conservation de la masse peut se simplifier en

ρ0div (−→v) +∂ρ1

∂t = 0 2 L’évolution de l’air est isentropique car :

• adiabatique : transformations trop rapides pour permettre un échange de cha- leur avec le milieu extérieur ;

• réversible : compressions-détentes de faible amplitude.

Soit une massemd’air, occupant un volumeV. Sa masse volumique vautρ=m/V, le coefficient de compressibilité isentropique s’écrit donc :

χ0=−1 V

∂V

∂p

S

=−ρ m

∂(m/ρ)

∂p

S

=−ρ

∂(1/ρ)

∂p

S

=1 ρ

∂ρ

∂p

S

Soit, en assimilantρà ρ0 χ0= 1 ρ0

∂ρ

∂p

S

ρ1etp1représentent respectivement les petites variations de masse volumique et de pression lors de l’évolution isentropique de l’air contenu dans la bulle, donc

χ0= 1 ρ0

ρ1

p1

L’air, considéré comme un gaz parfait, suit, lors de sa transformation isentropique, la loi de LaplacepV^γ = C^te. En en prenant la différentielle logarithmique, il vient

dp p +γdV

V = 0 à entropie constante

d’où

∂V

∂p

S

=−V γ p

donc χ0=−1

V ∂V

∂p

S

= 1 γ p

Soit ici χ0= 1

γ p ∼= 1 γ p0

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3 D’après la question 2, on aρ1=p1χ0ρ0. La conservation de la masse s’écrit donc ρ0div−→v +χ0ρ0

∂p1

∂t = 0 Soit, après dérivation par rapport au temps :

ρ0

∂

∂t(div−→v) +χ0ρ0

∂²p1

∂t² = 0

Les variables spatiales et temporelles sont indépendantes, on peut donc permuter l’ordre des dérivations pour obtenir

ρ0div ∂−→v

∂t +χ0ρ0

∂²p1

∂t² = 0 La divergence de l’équation d’Euler donne

ρ0div ∂−→v

∂t =−∆p1

Par identification de ces deux résultats, on aboutit à l’équation d’évolution dep1:

∆p1−χ0ρ0

∂²p1

∂t² = 0

Pour des ondes planes se propageant suivant⁺₋x, celle-ci s’écrit :

∂²p1

∂x² − 1 c²

∂²p1

∂t² = 0 avec c= 1

√χ0ρ0

C’est une équation de d’Alembert, dont la solution générale est la superposition de deux ondes se propageant suivant⁺₋−u→x avec la céléritéc (f etg sont deux fonctions arbitraires) :

p1(x, t) =f(x−c t) +g(x+c t)

4 L’application numérique donne c=

rγ p0

ρ0

= 328 m.s⁻¹

La plage de longueur d’onde du domaine audio est déterminée grâce à la formule classiqueλ=c/f:

3,3 cm< λ <3,3 m

2. Étude d’une bulle d’air

5 Une éventuelle inhomogénéité de pression dans la bulle peut provenir, soit de phénomènes statiques (augmentation de la pression avec la profondeur, tension superficielle), soit des variations dynamiques de pression dues aux ondes de pression qui se déplacent dans la bulle.

• L’énoncé demande de négliger la tension superficielle et la variation de pression hydrostatique dans l’eau. A fortiori, comme la masse volumique de l’airρ0 est très faible devant celle de l’eau ρE, l’augmentation statique de pression dans l’air est elle aussi négligeable.