CCP Physique 2 PC 2006 — Corrigé

(1)

CCP Physique 2 PC 2006 — Corrigé

Ce corrigé est proposé par Marc Legendre (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Antoine Senger (Professeur en CPGE) et Jean-Julien Fleck (Professeur en CPGE).

Ce sujet comporte deux problèmes indépendants. Ces derniers se décomposent en sous-parties quasiment autonomes qui abordent plusieurs aspects essentiels du programme de PC.

• Le premier problème propose l’étude détaillée d’une fibre optique. Le début, très proche du cours, s’intéresse à la propagation des ondes dans les diélectriques.

On calcule alors les coefficients de réflexion et de transmission à l’interface entre deux diélectriques. Le principe de la couche anti-reflet est ensuite traité de manière originale. La partie se termine sur des considérations d’optique géométrique et ondulatoire avec l’étude de l’interféromètre de Sagnac.

• Le second problème est plus court et aborde tout d’abord un modèle origi- nal modélisant la propagation du son dans l’air. La simulation du phénomène d’écho est ensuite réalisée à l’aide d’un montage électronique à amplificateur opérationnel. Le problème se termine par une étude de la propagation du son le long de ressorts.

L’ensemble est long mais reste accessible même si certaines questions ne sont pas faciles. Il n’est pas nécessaire de traiter linéairement le sujet puisque les huit sous- parties peuvent être résolues indépendamment et constituent une série d’exercices de longueur et de difficulté variables. Les candidats ont dès lors intérêt à traiter en priorité les exercices qui leur semblent les plus abordables et à avancer le plus possible dans les problèmes.

Téléchargé gratuitement surDoc-Solus.fr

(2)

Indications

Partie I

1.2 Ne pas donner la relation de passage qui concerne la composante normale du champ électrique.

1.4.b Remarquer que le champ réfléchi se propage selon−−u→xpour utiliser la relation de structure.

2.3.a ExprimerEp(ξ, t−2D/v)en fonction deEp(ξ, t).

2.3.c Simplifier à l’aide des relations montrées à la question 2.2.b.

2.4.c Utiliser le principe du retour inverse de la lumière pour traiter le bout de ligne par analogie avec l’entrée.

3 Montrer que la condition de réflexion totale à l’interface fibre-gaine est vérifiée dans le casθ=π/2.

4.2 La concordance de phase correspond à une différence de chemin optique nulle.

5.2.b Calculer

cosωt+ cos(ωt−Φ)²

en considérant que hcosωti= 0 et

cos²ωt

=1 2 5.2.c Le réglage est optimal lorsque|sin Φ|= 1.

Partie II

1.2.c Si|ε| ≪1, (1 +ε)^γ ≈1 +γε.

1.4 Bien remarquer queL0= dx.

1.5.c Le son se propage-t-il dans le vide ?

2.1 Utiliser le théorème de Millman aux entrées −et +.

2.2 On rappelle que la valeur efficace de la fonction f est p

hf²i. Utiliser alors l’indication de la question 5.2.b de la première partie.

2.4 La bande passante à −3 dB est l’ensemble des fréquences telles que T(f)>Tmax/√

2.

3.3.a Utiliser le principe des actions réciproques pour justifier que la force de rappel est constante le long des N ressorts en série. L’allongement du ressort équivalent est la somme des N allongements.

(3)

I. Fibre Optique

1.1.a Rappelons les équations de Maxwell dans le vide dans lequel il n’existe ni charges (ρ= 0), ni courants (−→ =−→

0).









 div−→

E = 0 div−→

B = 0

−→rot−→

E =−∂−→ B

∂t

−→rot−→

B = µ⁰ε⁰∂−→ E

∂t

Maxwell-Gauss Maxwell-flux

Maxwell-Faraday

Maxwell-Ampère

1.1.b Les formules d’analyse vectorielle donnent

−→rot−→rot−→ E =−−→

grad (div−→

E )−∆−→

E =−∆−→ E Prenons le rotationnel de l’équation de Maxwell-Faraday

−→rot−→rot−→

E =−−→rot ∂−→ B

∂t

En dérivant l’équation de Maxwell-Ampère par rapport àtet en permutant dérivées temporelle et spatiale, on obtient alors

∆−→

E =ε⁰µ⁰∂²−→ E

∂t²

Le champ électrique obéit à l’équation de d’Alembert tridimensionnelle avec c= 1

√ε⁰µ⁰

1.1.c Dans un diélectrique linéaire homogène et transparent de permittivité rela- tiveεr, l’équation de Maxwell-Ampère s’écrit

−→rot−→B =µ0εrε0

∂−→ E

∂t

1.1.d On obtient, en raisonnant comme à la question I.1.b, l’équation de propagation du champ électrique

∆−→

E =ε⁰εrµ⁰∂²−→ E

∂t²

C’est une équation de d’Alembert avec une vitesse de propagation

v= 1

√ε⁰εrµ⁰ = c pε/ε⁰

La vitesse de propagation est telle quev =c/n oùnest l’indice optique du milieu.

Le rapportp

ε/ε⁰est donc l’indice optique du milieu.

(4)

1.2 En l’absence de courants surfaciques, les relations de passage à la surface de séparation entre deux diélectriques s’écrivent pour la composante tangentielle du champ électrique et pour le champ magnétique

−

→ET2 =−→

ET1 et −→ B²=−→

B¹

L’énoncé indique qu’il n’y a ni charges, ni courants ; il s’agit bien sûr de charges et de courants non liés. Des courants et charges de polarisation sont a priori présents.

Seule la relation de passage concernant les composantes tangentielles du champ électrique est au programme de PC dans l’étude des diélectriques. La relation concernant les composantes normales est hors programme. Pour in- formation, elle s’écrit

ε¹−→

E^N1=ε²−→ E^N2

1.3.a L’onde est

• plane puisque le champ est uniforme dans tout plan perpendiculaire à la di- rection de propagationx;

• progressiveet se propage selon les xcroissants car le signal est de la forme f(t−x/v1);

• harmoniquepuisque la fonctionf est sinusoïdale.

Rappelons que l’onde se propage vers les xcroissants car le signalf(x, t)en un pointxà l’instanttest identique à f(x+ ∆x, t+ ∆t)en∆x=v¹∆t car

f

t+ ∆t−x+ ∆x v¹

=f

t− x v¹

1.3.b La relation de structure caractérisant la propagation d’une onde plane pro- gressive selon−u→xdans un milieu transparent d’indicen¹ est

−

→B =n1−u→x∧−→ E

c =

−→ ux∧−→

E v¹

Rappelons qu’on retrouve rapidement cette relation de structure en écrivant en notation complexe l’équation de Maxwell-Faraday.

Le champ magnétique est donc

−

→Bi = Eb v1

cos

ω

t− x v1

−→uz