CCP Physique 1 MP 2006 — Corrigé

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CCP Physique 1 MP 2006 — Corrigé

Ce corrigé est proposé par Benoît Lobry (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Stéphane Ravier (Professeur en CPGE) et Emmanuel Loyer (Professeur en CPGE).

Cette épreuve est composée de deux problèmes.

• Le premier repose sur la mécanique au programme des deux années de classe préparatoire. Il forme un ensemble cohérent sur le thème des oscillateurs et sur l’utilisation de raisonnements énergétiques en mécanique. Il débute par une première partie consacrée aux oscillations d’un simple système masse-ressort vertical. Le même raisonnement est repris en deuxième partie dans le cadre de la mécanique du solide. La troisième partie étudie la trajectoire elliptique d’un satellite autour de la Terre. Cette partie est la plus longue. Sans être difficile, elle nécessite une bonne maîtrise du cours. L’ensemble est de difficulté croissante et constitue un très bon problème de révision en mécanique.

• Le deuxième problème, nettement moins classique en filière MP, est consacré à l’étude thermodynamique de différentes détentes. Les trois premières parties sont clairement hors programme. Il s’agit d’extraire l’expression des coef- ficients calorimétriques de l’équation d’état d’un gaz réel et d’en déduire son comportement lors des détentes de Joule – Gay-Lussac et Joule – Thomson.

Certaines questions théoriques sont difficiles mais des résultats intermédiaires permettent d’avancer. Les quatrième et cinquième parties sont plus intéres- santes. Après avoir démontré le premier principe pour un système fermé en mouvement, on applique ce résultat à l’étude d’une tuyère qui permet de dimi- nuer la pression d’un gaz au profit de sa vitesse.

Les deux problèmes ont en commun d’être longs et parfois calculatoires. Le premier problème, cependant, fait appel à des raisonnements classiques et proches du cours alors que le second demande plus d’analyse et une bonne compréhension de l’énoncé.

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Indications

Premier problème I.2.a Considérer que−→

Frappel(M) =−−−→

grad Ep(M).

I.2.c On rappelle que

cos²(ω⁰t)

=

sin²(ω⁰t)

= 1/2.

II.2 Écrire que−→v(I ∈ (D)/R) = −→

0 afin de relier θ˙ et ϕ˙ en travaillant dans la base polaire.

II.3 Utiliser le théorème de Koenig.

II.4 Que dire de la vitesse du point d’application des forces de contact ? III.1.c Identifier l’accélération centripète−vc2

/r⁰ à l’aide du principe fondamental de la dynamique appliqué à S.

III.2.a Appliquer le théorème du moment cinétique àS.

III.2.b Évaluer l’énergie mécaniqueEmen fonction der˙etr. Que dire deEmquandr tend vers l’infini ?

III.2.c ExprimerEmen fonction de u(θ) = 1

r(θ). Utiliser dEm

dθ = 0.

III.2.f Que vautcosθau périgée et à l’apogée ? III.3.c Utiliser la loi des aires.

III.4.a On a2a=rm+r^M. III.4.b Écriredt= dθ

Cu².

III.5.b Simplifierr(t)lorsquee≪1.

Deuxième problème

A.1.1 Pour cette question et les suivantes, identifier les dérivées partielles sur l’expression de la différentielle. On rappelle ainsi que pour une fonction f des deux variablesxety:

df = ∂f

∂x

y

dx+ ∂f

∂y

x

dy

A.2.2 Exprimerℓ etk à partir des dérivées partielles deS. Utiliser le théorème de Schwarz selon lequel

∂²f

∂x∂y = ∂²f

∂y∂x

B.3 Calculerℓ. UtiliserdU = CVdT + (ℓ−p) dVet faire apparaître une différen- tielle exacte pour intégrer.

B.4.3 L’évolution est-elle réversible ?

C.1 Considérer queH = U +pVet simplifier à l’ordre 1 en p.

D.3.2 Écrire explicitement le travail des forces de pression à l’entrée et à la sortie pendantdt et faire apparaître l’enthalpie massiqueh=u+p/ρ.

E.2 Justifier et simplifier l’égalitédh= T ds+dp ρ .

E.3 UtiliserCp=γR/(γ−1) et les relations de Laplace pour relierρetp.

E.3.3.2 Montrer que f admet un maximum ε⁰. Utiliser la conservation du débit massiqueqm= K¹Σ(x)f(ε).

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Mécanique

I. Oscillateur harmonique dans un champ de pesanteur

I.1.a On applique le principe fondamental de la dynamique au pointMsoumis à la force de rappel du ressort et à la pesanteur dans un référentiel galiléen. Cela donne en projection selon−→uz:

md²z

dt² =−k(z−ℓ⁰) +mg

On peut réécrire cette équation différentielle du second ordre en identifiant la pulsa- tion propreω⁰:

d²z

dt² +ω⁰²z= kℓ⁰

m +g avec ω⁰= rk

m

I.1.b À l’équilibre, l’accélération deMest nulle donc 0 =−k(ze−ℓ⁰) +mg

d’où ze=ℓ0+mg

k

À l’équilibre, le poids deMallonge le ressort. Trouverze> ℓ⁰ est cohérent.

I.1.c La solution z(t) peut s’écrirez¹(t) +z²(t) où z¹ est la solution générale de l’équation homogène sans second membre

d²z¹

dt² +ω⁰²z¹= 0 c’est-à-dire z¹(t) = A cos(ω⁰t) + B sin(ω⁰t)

etz²est une solution particulière de l’équation avec second membre, soit par exemple, la solution constante

z²(t) =ze=ℓ⁰+mg k

Au total, z(t) = A cos(ω0t) + B sin(ω0t) +ℓ0+mg k Les conditions initiales s’écrivent







z(0) =ℓ⁰+mg k +a dz

dt(0) = 0

soit

( A =a Bω⁰ = 0 dont on déduit(A,B) = (a,0)et

z(t) =acos(ω⁰t) +ℓ⁰+mg k

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I.2.a La force de rappel−→

Frappel(M) et l’énergie potentielleEp(M)sont liées par

−

→Frappel(M) =−−−→

grad Ep(M) soit −k(z−ℓ0) =−dEp

dz On en déduit par intégration

Ep(M) = k

2(z−ℓ0)²+ C^te et comme on imposeEp= 0 à l’équilibre enze=ℓ⁰+mg/k,

0 = k

2 ×m²g² k² + C^te

d’où Ep(M) = k

2(z−ℓ⁰)²−m²g² 2k

I.2.b Puisquez−ℓ⁰=z−ze+mg/k, on peut écrire

Ep(M) = k 2

Z +mg k

²

−m²g² 2k

d’où Ep(M) = k

2Z²+mgZ

I.2.c Selon l’expression dez(t)obtenue à la question I.1.c,

Z(t) =acos(ω⁰t) et z(t) = ˙Z(t) =˙ −aω⁰sin(ω⁰t) Ainsi, la valeur moyenne de l’énergie cinétiqueEc est

hEci= m

2h˙Z²i= m

2 ×a²ω⁰² 2

soit hEci=ka²

4 et la valeur moyenne de l’énergie potentielleEp

hEpi=k 2

Z²

+mghZi= k 2

a² 2 + 0

soit hEpi= ka²

4

L’oscillateur harmonique dans un champ de pesanteur vérifie donc hEci=hEpi

I.2.dApplication numérique:

ω⁰= 14 rad.s⁻¹ et hEpi= 1,3.10⁻²J