Chapitre 6

Chapitre 6

Modules sur les anneaux principaux

Version du 1^er novembre 2004

6.1 Idéaux étrangers et théorème chinois

SoitA un anneau commutatif.

Définition 6.1.1 (Produits d’idéaux de A) Soient I, J deux idéaux de A. On rappelle queIJ désigne l’idéal engendré par les produitsxy, oùx∈I ety∈J; on vérifie que c’est l’ensemble des sommes finiesP

ix_iy_i, oùx_i ∈I, y_i ∈J.

Pour une famille quelconque d’idéaux I₁, . . . , I_m, on définit de même le produitI₁· · ·I_m. En particulier, siI₁, . . . , I_m sont tous égaux àI, on obtient l’idéalI^m, formé des sommes finies arbitraires de produits deméléments de I :

I^m :=nX

x₁· · ·x_m |x_i ∈I o

.

Remarque 6.1.1 1) On prendra garde que, en général,I^m n’est pas l’idéal engendré par les puissances m-ièmes d’éléments de I. Par exemple, si A = k[X, Y](anneau des polynômes en deux variables) et siI est l’idéal engendré par X et Y, alors I² est engendré par X², XY etY², et XY n’est pas un carré.

2) On a toujoursIJ ⊆I∩J, et l’inclusion est en général stricte (prendre, par exemple, I =J).

Soient I, J deux idéaux propres de A. On note I +J l’ensemble des sommes x+y, où x ∈I ety ∈J; on voit facilement que c’est un idéal de A, pas nécessairement propre. Par exemple, dansZ,(2) + (3) =Z.

Définition 6.1.2 Soient I₁, . . . , I_ndes idéaux de A.

1) On dit queI₁, . . . , I_nsont étrangers (on dit aussi “premiers entre eux") si l’on aI₁+· · ·+I_n=A.

2) On dit queI₁, . . . , I_nsont étrangers deux à deux siI_r etI_ssont étran- gers, pour toutr 6=s.

Remarque 6.1.2 On prendra garde à ne pas confondre ces deux notions.

Sin≥3, la 2ème condition est beaucoup plus forte que la 1ère ! Pour éviter les confusions, on dira parfois dans le 1er cas que I₁, . . . , I_n sont étrangers

“dans leur ensemble”

Lemme 6.1.1 On suppose que I est étranger à J₁, . . . , J_m (on ne suppose pas les J_i nécessairement distincts). AlorsI est étranger àJ₁· · ·J_m.

Démonstration.Par hypothèse, il existe, pouri= 1, . . . , m, des éléments x_i ∈I ety_i ∈J_i tels quex_i+y_i = 1. Alors

1 = Ym

i=1

(x_i+y_i),

et en développant ce produit on obtient le terme y₁· · ·y_m qui appartient à J₁· · ·J_m, et une somme de termes qui contiennent au moins un x_i donc appartiennent àI. Ceci prouve le lemme. ¤

Corollaire 6.1.2 SupposonsI₁, . . . , I_n étrangers deux à deux, et soientm₁, . . . , m_n des entiers ≥1.

1) On a I₁· · ·I_n=I₁∩ · · · ∩I_n.

2) I₁^m1, . . . , I_n^mn sont étrangers deux à deux.

3) Posons J_k = Q

j6=kI_j^mj, pour k = 1, . . . , n. Alors, J₁, . . . , J_n sont étrangers “dans leur ensemble”, c.-à-d., on aJ₁+· · ·+J_n=A.

Démonstration.Dans 1), il suffit de montrer l’inclusions⊇, puisque l’autre est évidente. On va prouver les assertions 1) et 2) par récurrence surn. Sup- posons d’abordn= 2.

Par hypothèse, il existe x₁ ∈ I₁ et x₂ ∈ I₂ tels que x₁+x₂ = 1. Alors, pour touta∈I₁∩I₂, l’on a :

a=a·1 =ax₁+ax₂ ∈I₁I₂,

d’oùI₁I₂ =I₁∩I₂. D’autre part, d’après le lemme précédent,I₁ est étranger à I₂^m2, puisI₂^m2 est étranger àI₁^m1, ce qui prouve 2) dans le casn= 2.

Supposonsn≥3et les deux assertions établies pourn−1. Par hypothèse de récurrence, I₂∩ · · · ∩I_n = I₂· · ·I_n, et, d’après le lemme, cet idéal est étranger à I₁. On a donc

I₁∩ · · · ∩I_n=I₁∩(I₂· · ·I_n) =I₁·I₂· · ·I_n,

ce qui prouve 1). D’autre part, par hypothèse de récurrence, I₂^m2, . . . , I_n^mn sont étrangers deux à deux. De plus, d’après le cas n = 2, chaque I_k^mk est étranger avecI₁^m1. L’assertion 2) est démontrée.

Démontrons l’assertion 3). D’abord, I₁^m1,. . ., I_r^mr sont étrangers deux à deux, d’après l’assertion 2). Donc, sans perte de généralité, on peut se limiter au cas où m_k= 1 pour tout k.

Pour chaque k, I_k etJ_k sont étrangers, d’après le lemme 6.1.1, donc il existe x_k ∈I_k ety_k ∈J_k tels que1 =x_k+y_k. On obtient donc

1 = Yn

k=1

(x_k+y_k).

Développons le produit : les termes qui contiennent un y_k appartiennent à J_k et donc àJ₁+· · ·+J_r; le seul autre terme estx₁· · ·x_r, qui appartient à J_k pour tout k. Ceci montre que1∈J₁+· · ·+J_r, ce qui termine la preuve du corollaire. ¤

Remarque 6.1.3 a) On voit facilement que si un idéal premierP contient un produit d’idéaux J₁· · ·J_r, alors il contient l’un des J_k.

b) En utilisant a) et le corollaire 2.9.4 (existence d’idéaux maximaux), on peut démontrer le point 2) du corollaire de façon plus conceptuelle. Sup- posons en effet qu’il exister 6=stels queI_r^mr etI_s^ms ne soient pas étrangers.

AlorsI_r^mr+I_s^ms est un idéal propre, donc est contenu dans un idéal maximal m. Comme mest premier et contientI_r^mr et I_s^ms, il contientI_r etI_s, ce qui contredit l’hypothèse I_r+I_s=A.

Définition 6.1.3 (Produits d’anneaux) Soit (A_i)_i∈I une famille d’an- neaux. Le groupe abélien Q

i∈IA_i est muni d’une structure d’anneau, où la multiplication est définie coordonnée par coordonnée :

ÃY

i∈I

a_i

! ÃY

i∈I

b_i

!

=Y

i∈I

a_ib_i.

L’élément neutre, noté1, est la famille 1 telle quea_i = 1 pour toput i∈ I.

SiI est fini, disonsI ={1, . . . , n}, cet anneau se note A₁× · · · ×A_n ou A₁⊕ · · · ⊕A_n. Théorème 6.1.3 (Théorème chinois des restes)

On suppose I₁, . . . , I_nétrangers deux à deux. Alors le morphisme naturel ψ:A→A/I₁⊕ · · · ⊕A/I_n induit un isomorphisme

A/(I₁∩ · · · ∩I_n)→^∼ Mn

r=1

A/I_r.

Démonstration. Il est clair que kerψ =T_n

r=1I_r. On va établir l’isomor- phisme annoncé par récurrence surn. Commençons par remarquer que, pour démontrer la surjectivité de ψ, il suffit de trouver ε₁,· · · , ε_n ∈ A tels que ψ(ε_r) = (0, . . . ,0,1,0, . . . ,0)(où1est à lar-ième place), car alors un élément arbitraire

(a₁, . . . , a_n) sera l’image dea₁ε₁+· · ·+a_nε_n.

Supposons n = 2. Par hypothèse, il existe x₁ ∈ I₁ et x₂ ∈ I₂ tels que x₁+x₂ = 1. Alors 1−x₁ =x₂ appartient à 1 +I₁ et àI₂ et donc on peut prendreε₁= 1−x₁, et de mêmeε₂ = 1−x₂. Ceci prouve le théorème dans le casn= 2.

Supposons n≥ 3 et le théorème établi pour n−1. D’une part, d’après le corollaire précédent,I₂∩ · · · ∩I_n égaleI₂· · ·I_n et donc est étranger à I₁. Donc, d’après le casn= 2, la projection

A−→A/I₁M

A/(I₂∩ · · · ∩I_n) induit un isomorphisme

(1) A/(I₁∩ · · · ∩I_n)→^∼ A/I₁M

A/(I₂∩ · · · ∩I_n).

De plus, par hypothèse de récurrence, la projectionA→ L_n

r=2A/I_r induit un isomorphisme

(2) A/(I₂∩ · · · ∩I_n)→^∼ Mn

r=2

A/I_r.

En composant les isomorphismes (1) et (2), on obtient l’isomorphisme an- noncé. Ceci prouve le théorème.¤

6.2 Annulateurs et décomposition de modules

6.2.1 Annulateurs et modules de torsion

Définition 6.2.1 SoientM unA-module et m∈M. On pose

Ann(m) ={a∈A|am= 0}, etAnn(M) ={a∈A| ∀x∈M, ax= 0}.

Ce sont des idéaux de A. De plus, si(x_i)_i∈I est un système de générateurs de M (fini ou infini), on voit facilement que

Ann(M) = \

x∈M

Ann(x) =\

i∈I

Ann(x_i).

Définition 6.2.2 M est unA-module monogène (ou cyclique) s’il peut être engendré par un seul générateur x. Ceci équivaut à dire que M ∼= A/I, où I =Ann(x).

Lemme 6.2.1 Soient A intègre et M un A-module de torsion de type fini.

Alors Ann(M)6= (0).

Démonstration. Soit x₁, . . . , x_n un système fini de générateurs de M. Comme M est de torsion, I_k := Ann(x_k) est non nul, pour tout k. Alors Ann(M) =I₁∩ · · · ∩I_nest non nul, car il est contientI₁· · ·I_n, qui est6= (0) puisque Aest intègre. ¤

Exercice 6.2.1 LeZ-module quotient Q/Zest de torsion mais pas de type fini, et l’on a Ann(Q/Z) = 0.

Définition 6.2.3 Soit M unA-module. On note

M_tors ={m∈M | ∃a∈A\ {0}tel que am= 0}

l’ensemble des éléments de torsion de M.

Lemme 6.2.2 Pour A intègre, M_tors est un sous-module de M, appelé le sous-module de torsion, et le module quotient M/M_tors est sans torsion.

Démonstration. Soient m, m⁰ ∈ M_tors et b ∈ A\ {0}. Par hypothèse, il existe a, a⁰ ∈A\ {0}tels queam= 0 =a⁰m⁰. CommeA est intègre,aa⁰ 6= 0 etba6= 0et donc les égalités

0 = (aa⁰)(m−m⁰), et (ba)m= 0

montrent que m −m⁰ et bm appartiennent à M_tors. Ceci prouve la 1ère assertion.

Prouvons la seconde. Soient m ∈M etb∈ A\ {0} tels que bπ(m) = 0, où π désigne la projection M →M/M_tors. Alors bm ∈M_tors, donc il existe a∈ A\ {0} tel que abm = 0. Comme ab 6= 0 (puisque A est intègre), ceci impliquem∈M_tors, d’oùπ(m) = 0. Le lemme est démontré.¤

6.2.2 Décomposition des modules de I-torsion

SoitI = (I_λ)_λ∈Λ une famille d’idéaux de A, deux à deux étrangers. Soit M unA-module.

Définition 6.2.4 Pour tout λ∈Λ, on pose

M_λ :={m∈M | ∃n≥1 tel que Iⁿm= 0};

c’est un sous-module deM, qu’on appelle composanteλ-primaire deM. Lemme 6.2.3 La somme des sous-modulesM_λ, pourλ∈Λ, est une somme directe.

Démonstration.Soientλ₁, . . . , λ_r∈Λ, deux à deux distincts. Supposons qu’on ait une égalité

x₁=x₂+· · ·+x_r,

oùx_k ∈M_λk pour toutk. Alors, il existe des entiersn₁, . . . , n_r ≥1tels que I_k^nkx_k = 0, ∀k= 1, . . . , r.

Alorsx₁ =x₂+· · ·+x_r est annulé par I₁ⁿ¹ et parI₂ⁿ²· · ·I_r^nr. Or, ces deux idéaux sont étrangers, d’après le corollaire 6.1.2. Ceci entraînem₁ = 0, et le lemme en découle.¤

Pour unA-module arbitraire, il peut fort bien arriver queM_λ = (0)pour toutλ∈Λ. C’est le cas, par exemple, siA est intègre etM sans torsion ! Définition 6.2.5 On dira que M est (un A-module) de I-torsion si tout m∈M est annulé par un produit fini

(∗) I_λⁿ₁¹· · ·I_λⁿ_r^r.

Proposition 6.2.4 (Décomposition des modules de I-torsion) SoitM unA-module deI-torsion. Alors :

1) M =M

λ∈ΛM_λ.

2) Si de plus M est de type fini, la somme ci-dessus est une somme finie, c.-à-d., il existe λ₁, . . . , λ_r ∈Λ tels que

M = Mr

i=1

M_λi,

et M_λ = (0) si λ6∈ {λ₁, . . . , λ_r}. De plus, chaque M_λi est de type fini et est annulé par une certaine puissance I_λⁿ_iⁱ deI_λi.

Démonstration. 1) On a déjà vu que la somme est directe. Montrons qu’elle vaut M. Soit m ∈ M. Il est annulé par un certain produit fini (∗).

Pour k= 1, . . . , r, posons

J_k=Y

j6=k

I_λⁿ_j^j.

D’après le corollaire 6.1.2, J₁, . . . , J_r sont étrangers, donc on peut écrire 1 =y₁+· · ·+y_r,

oùy_k∈J_k. Chaquey_kmest annulé parI_k^nk, donc appartient àM_λk. De plus, on a

m= 1·m=y₁m+· · ·+y_rm.

Ceci prouve la première assertion.

Supposons de plus que M soit engendré par un nombre fini d’éléments x₁, . . . , x_n. Chaque x_i a des composantes x_i,λ non nulles seulement pour λ dans un ensemble fini d’indices Λ_i. AlorsΛ₁∪ · · · ∪Λ_n est un ensemble fini {λ₁, . . . , λ_r}, et l’on a

M = Mr

i=1

M_λi.

En comparant avec1), on obtientM_λ = (0)siλn’est pas l’un desλ_i. Enfin, chaqueM_λi, étant un quotient deM, est de type fini et est donc annulé par une certaine puissance I_λⁿ_iⁱ de I_λi. La proposition est démontrée.¤

6.2.3 Décomposition primaire des modules de torsion sur un anneau principal

SoitAun anneau principal. On notePl’ensemble des idéaux(p), oùpest irréductible ; ce sont les idéaux maximaux deA. En particulier, les éléments deP sont deux à deux étrangers. De plus, d’après les résultats du Chapitre 5,Aest factoriel et donc tout idéal propre (a)6= (0)s’écrit de façon unique comme un produit d’éléments deP.

Définition 6.2.6 1) Soient M un A-module, p ∈ P et p un générateur de p. On pose

M(p) :={m∈M | ∃n≥1tel que pⁿm= 0}.

C’est un sous-module de M, appelé la composante p-primaire. On le dési- gnera aussi parM(p), qu’on appellera la composante p-primaire deM.

2) On dit queM estp-primaire s’il est égal à sa composantep-primaire M(p).

Lemme 6.2.5 SoitM un A-module p-primaire. Pour tout x∈M\ {0}, on a Ann(x) = (pⁿ), pour un certain n≥1. De plus, si M est de type fini, on a aussi Ann(x) = (pⁿ), pour un certain n≥1.

Démonstration. Posons Ann(x) = (a); c’est un idéal propre, puisque x 6= 0. D’autre part, par hypothèse, il existe t ≥ 1 tel que p^tx = 0. Donc p^t∈(a) et doncadivise p^t. Comme p est irréductible, on obtient quea est associé à un certainpⁿ, avecn≤t. Ceci prouve la 1ère assertion.

Supposons de plus que M soit engendré par des éléments x₁, . . . , x_r. Posons Ann(x_i) = (pⁿⁱ), pour tout i. Alors

Ann(M) =

\r

i=1

Ann(x_i) = (pⁿ),

oùn= max(n₁, . . . , n_r). Ceci prouve le lemme. ¤

Théorème 6.2.6 (Décomposition primaire des modules de torsion sur un anneau principal)

Soit A principal et soit M un A-module de torsion. Alors

1) M =M

p∈P

M(p).

2) Supposons de plusM de type fini et soitAnn(M) =pⁿ₁¹· · ·pⁿ_r^r la décom- position de son annulateur en produits d’idéaux maximaux. Alors,

M = Mr

i=1

M(p_i), et l’on a AnnM(p_i) =pⁿ_iⁱ, pour i= 1, . . . , r.

Démonstration. Puisque tout idéal non nul de A est un produit fini pⁿ₁¹· · ·pⁿ_r^r, les hypothèses de la proposition 6.2.4 sont satisfaites. On ob- tient donc le point 1). De plus, siM est de type fini, c’est une somme directe finie

M = Mr

i=1

M(p_i),

où chaque M(p_i) est de type fini. D’après le lemme précédent, il existe n₁, . . . , n_r tels que AnnM(p_i) =pⁿ_iⁱ pour tout i. Alors, en utilisant le corol- laire 6.1.2, on obtient

Ann(M) =

\r

i=1

pⁿ_iⁱ = Yr

i=1

pⁿ_iⁱ.

Ceci prouve la 2ème assertion. Le théorème est démontré.¤

Corollaire 6.2.7 (Décomposition des fractions sur un anneau prin- cipal ou euclidien)

SoitA principal et K son corps des fractions.

1) Le A-module K/Aest de torsion et se décompose

K/A= M

(p)∈P

A[¹_p]/A,

où A[¹_p] ={_p^an |n≥1, a∈A}=S

n≥0 1 pⁿA.

2) Si (A, v) est euclidien, toutx∈A[¹_p]s’écrit comme une somme finie

(∗) x=a+

Xr

i=1

a_i pⁱ,

où a, a_i∈A etv(a_i)< v(p) si a_i 6= 0. De plus, cette écriture est unique si v vérifie, pour tout a, b∈A\ {0},

(∗∗) v(a−b)≤max{v(a), v(b)} ≤v(ab).

(Si a=b, on convient que v(a−a) =v(0) =−∞).

Démonstration. D’abord,K/A= L

(p)∈P(K/A)(p), d’après le théorème précédent. Notonsπ la projectionK →K/A. Pour tout t∈K, on a

π(t)∈(K/A)(p)⇔ ∃n≥1 tel quepⁿt=a∈A.

L’assertion 1) en découle.

2) On convient quev(0) =−∞. Montrons par récurrence surnque tout x∈ _p¹nAs’écrit

x=

n−1X

i=0

a_i

pⁿ⁻ⁱ +a_n,

oùa₀, . . . , a_n∈Aetv(a_i)< v(p) pour i= 0, . . . , n−1. C’est clair sin= 0.

Supposonsn≥1 et le résultat établi pour n−1. Soit x =a/pⁿ, où a∈A.

Comme (A, v) est euclidien, il existe a⁰, a₀ ∈ A tels que a = pa⁰ +a₀ et v(a₀)< v(p). Alors, d’une part,

(1) a

pⁿ = a₀ pⁿ + a⁰

pⁿ⁻¹.

D’autre part, par hypothèse de récurrence, il existea₁, . . . , a_n ∈A tels que v(a_i)< v(p) pour i= 1, . . . , n−1 et

(2) a⁰

pⁿ⁻¹ =

n−1X

i=1

a_i

pⁿ⁻ⁱ +a_n.

En combinant (1) et (2), on obtient le résultat au crann. Ceci prouve l’exis- tence.

Supposons maintenant quevvérifie la condition(∗∗). Pour montrer l’uni- cité annoncée, il suffit de montrer que si l’on a une égalité

(3) a₀+a₁p+· · ·+a_npⁿ=b₀+b₁p+· · ·+b_npⁿ,

avec a₀, b₀, . . . , a_n, b_n∈ A etv(p) > v(a_i), v(b_i) pouri= 0, . . . , n−1, alors a_i = b_i pour tout i. Procédons par récurrence sur n. C’est clair si n = 0.

Supposons n ≥ 1 et l’assertion établie pour n−1. Il résulte de (3) que a₀−b₀ =pα, avec α∈A. Si on avait α6= 0, on aurait

v(p)≤v(pα) =v(a₀−b₀)≤max{v(a₀), v(b₀)}< v(p), une contradiction. Donca₀=b₀, et(3)entraîne

a₁+· · ·+a_npⁿ⁻¹ =b₁+· · ·+b_npⁿ⁻¹.

Par hypothèse de récurrence, on conclut queb_i =a_ipour touti. Le corollaire est démontré.¤

Remarque 6.2.1 L’hypothèse(∗∗)surventraîne l’unicité du couple(q, r) = (quotient, reste) dans la division euclidienne,cf.la démonstration ci-dessus, et celle de la proposition 5.2.2.

Corollaire 6.2.8 (Décomposition des fractions rationnelles en élé- ments simples)

Soient k un corps et k(X) le corps des fractions rationnelles (c.-à-d., le corps des fractions de k[X]). Notons P l’ensemble des polynômes irré- ductibles unitaires de k[X]. Alors, tout élément F ∈ k(X) s’écrit de façon unique comme une somme finie

F =E+X

P∈P

X

j≥1

a_P,j P^j ,

avecE et lesa_P,jdansk[X], nuls sauf un nombre fini d’entre eux, etdeg(a_P,j)

<degP pour toutP et j. En particulier, si k est algébriquement clos, F =E+X

λ∈k

X

j≥1

a_λ,j (X−λ)^j, où E ∈k[X]et a_λ,j ∈k.

Démonstration.Ceci résulte du corollaire précédent, puisque l’application deg :k[X]\ {0} →Nvérifie l’hypothèse(∗∗).¤

Remarque 6.2.2 DansQ, et a fortiori dansQ/Z, on a l’égalité 1

2 −1 3 = 2

3− 1 2.

Ceci s’explique par le fait que dansZ[¹₂]/ZetZ[¹₃]/Zon a les égalités 1

2 ≡ −1

2 et −1 3 ≡ 2

3.

La valeur absoluev:Z→Nne vérifie pas la condition (∗∗). En fait, pour la division par un entier n >0, la condition|r|< nne suffit pas à déterminer uniquement le reste ; on a unicité seulement si l’on impose à r de vérifier 0≤r < n.

6.3 Modules de type fini sur un anneau principal

Dans toute cette section, A est un anneau principal. Dans ce cas, on a une compréhension complète desA-modules de type fini grâce à un théorème fondamental de structure.

6.3.1 Les résultats fondamentaux

Proposition 6.3.1 Soient A principal et M un A-module libre de rang n.

Tout sous-module de M est libre de rang r ≤n. (On convient que le module (0)est libre de rang 0).

Démonstration.Soit (e₁, . . . , e_n) une base de M. Pouri= 1, . . . , n, soit M_i le sous-module deM engendré par e₁, . . . , e_i; il est libre de rang i. On va montrer par récurrence sur ique N_i := N ∩M_i est libre de rang r_i ≤i.

La proposition en résultera, puisqueN =N_n.

Pour i = 1, on a M₁ = Ae₁ ∼= A. Par conséquent, N₁ est isomorphe à un idéal de A, donc est nul ou bien libre de rang 1. Supposons i ≥ 2 et l’assertion établie au cran i−1. Soit π_i : M_i → A la i-ème coordonnée, et soitJ_i =π_i(N_i); c’est un idéal deA. SiJ_i= 0, alorsN_i égale N_i−1 donc est libre de rang≤i−1. Supposons J_i= (a)6= 0. Alors il existe

x=a₁e₁+· · ·+a_i−1e_i−1+ae_i∈N∩M_i,

tel queπ_i(x) =a. Comme A est intègre,Ax∩M_i−1 = (0), puisque lai-ème coordonnée debxest non nulle sib6= 0. On a doncAx∩N_i−1 = (0). D’autre part, on a

N_i =N_i−1+Ax.

En effet, soity ∈N_i. Alorsπ_i(y) =aα, avec α∈A, et donc y−αx∈N_i−1. Par conséquent, on a

N_i =N_i−1⊕Ax.

Il en résulte queN_iest libre, de rang1+r_i−1 ≤i. Ceci prouve la proposition.

¤

Théorème 6.3.2 (Théorème fondamental de structure pour les mo- dules de type fini sur un anneau principal)

Soient A un anneau principal.

1) Soient n ≥ 1 et N un sous-module non nul du A-module libre Aⁿ. Alors, il existe une base(e₁, . . . , e_n) de Aⁿ, un entier r ∈ {1, . . . , n}, et des éléments non nuls a₁, . . . , a_r de A vérifiant a_i |a_i+1 pour i= 1, . . . , r−1, tels que

(a₁e₁, . . . , a_re_r)

soit une base de N. En particulier, r est le rang de N. De plus, les idéaux (a_r)⊆ · · · ⊆(a₁) sont uniquement déterminés par le sous-module N. Enfin, le sous-module deAⁿ engendré par e₁, . . . , e_r ne dépend que de N, et égale

N⁰ ={x∈Aⁿ| ∃a∈A\ {0} tel que ax∈N}.

2) Soit M un A-module de type fini. Il existe s≥0 et des éléments non nuls a₁, . . . , a_r de A vérifianta_i |a_i+1 pour i= 1, . . . , r−1, tels que

M_tors =A/(a₁)⊕A/(a₂)⊕ · · · ⊕A/(a_r); (1)

Ann(M_tors) = (a_r); (2)

M ∼=A^s⊕M_tors, et A^s ∼=M/M_tors. (3) En particulier,M est libre ssi M est sans torsion. De plus, les idéaux(a_r)⊆

· · · ⊆(a₁) sont uniquement déterminés. On les appelle lesidéaux (ou fac- teurs) invariants de M.

3) PourM un A-module de torsion de type fini, la décomposition (1)ci- dessus se raffine comme suit. SoitAnn(M) = (p₁)^m1· · ·(p_n)^mn la décomposi- tion deAnn(M)en produits d’idéaux maximaux. Alors, on a la décomposition primaire

M = Mn

i=1

M(p_i). (4)

et, d’après le point 2), chaqueM(p_i) se décompose en un somme directe M(p_i) =

ti

M

s=1

A/(p_i)^ns(pi), (5) où la suite 1≤n₁(p_i)≤ · · · ≤n_ti(p_i) est uniquement déterminée. En parti- culier, n_ti(p_i) =m_i etAnnM(p_i) = (p^m_i ⁱ).

La démonstration du théorème se fera en trois étapes. On va montrer d’abord le point 1), puis l’existence dans les points 2) et 3). On établira ensuite l’unicité des n_s(p_i) dans le point 3) et des idéaux(a_i) dans le point 2). Ceci fournira une autre démonstration de l’unicité des (a_i)dans le point 1).

Définition 6.3.1 On dira que la base de M donnée dans le point 1) est adaptée au sous-moduleN.

Notation Pour tout s ≥ 1, on note GL_s(A) le groupe des matrices s×s inversibles, à coefficients dansA.

D’après la proposition 6.3.1, N est un sous-module libre de rang r ≤ n. Soit (x₁, . . . , x_r) une base de N. On peut exprimer les x_j dans la base canonique (f₁, . . . , f_n) de Aⁿ sous la forme d’une matrice à r colonnes etn lignes F ∈ M_n,r(A). Effectuer un changement de base dans N ∼=A^r (resp.

dansAⁿ), revient à multiplier F à droite (resp. à gauche) par une matrice inversible Q ∈ GL_r(A) (resp. P ∈ GL_n(A)). L’assertion à démontrer est doncl’existence de matrices inversibles P, Qtelles que

P F Q=











a₁ · · · 0 · · · 0 ... . .. ... ... 0 · · · a_r · · · 0 ... ... ... 0 · · · 0 · · · 0









 ,

oùa_i|a_i+1 pouri= 1, . . . , r−1.

On va voir, plus généralement, que ceci est vrai quelques soientm, n≥1 etF ∈M_n,m(A).

6.3.2 Réduction des matrices sur un anneau principal

Définition 6.3.2 1) On dit que F, F⁰ ∈ M_n,m(A) sont équivalentes s’il existeP ∈GL_n(A) etQ∈GL_m(A) telles queF⁰ =P F Q.

2) Pour touti≤min(m, n), on noteJ_i(F) l’idéal de Aengendré par les mineursi×ide F. On convient queJ₀(F) =A.

3) Le rang de F est le plus grand entierr ≥0tel que J_r(F)6= 0, c.-à-d., le plus grand entierr tel qu’il existe un mineur r×r de F qui soit nul.

Lemme 6.3.3 1) Soient F ∈M_n,m(A), P ∈ M_n(A) et Q ∈M_m(A). Pour touti, on a J_i(P F)⊆J_i(F) etJ_i(F Q)⊆J_i(F).

2) Si F etF⁰ sont équivalentes, on a J_i(F) =J_i(F⁰) pour tout i.

Démonstration.1) Toute ligne deP F est combinaison linéaire de lignes deF. D’après les propriétés de multilinéarité des déterminants, on en déduit que tout i-mineur de P F est combinaison linéaire de i-mineurs de F. Ceci montre queJ_i(P F)⊆J_i(F). On obtient de même que J_i(F Q)⊆J_i(F).

2) Supposons F⁰ = P F Q, avec P et Q inversibles. Alors, on a aussi F = P⁻¹F⁰Q⁻¹. D’après le point 1), on obtient les inclusions J_i(F⁰) ⊆ J_i(F)⊆J_i(F⁰), d’où J_i(F) =J_i(F⁰)pour touti. Le lemme est démontré.¤ Théorème 6.3.4 (Réduction des matrices sur A principal)

Soient m, n≥1 et soit F ∈M_n,m(A) non nulle. Il existe a₁, . . . , a_r ∈A, avecr ≥1, vérifiant a_i |a_i+1 pour i < r, et P ∈GL_n(A), Q∈GL_m(A) tels

que

P F Q=











a₁ · · · 0 · · · 0 ... . .. ... ... 0 · · · a_r · · · 0 ... ... ... 0 · · · 0 · · · 0









 .

De plus, les idéaux (a₁), . . . ,(a_r) sont entièrement déterminés par les égali- tés :

J_i(F) = (

(a₁· · ·a_i), pour i= 1, . . . , r;

0, pour i > r.

Ils ne dépendent que de la classe d’équivalence de F, etr est le rang de F. Démonstration.On va montrer qu’on peut construire de telles matricesP etQcomme produits de matrices très simples, de l’un des trois types décrits ci-dessous. Ceci fournit de plus un procédé algorithmique de réduction de la matrice F à une matrice diagonale de la forme ci-dessus.

Type I : les matrices de permutations Soitσ∈S_n, le groupe des permu- tations de{1, . . . , n}. On lui associe la matriceM(σ), définie par

(1) M(σ)(f_j) =f_σ(j),

où(f₁, . . . , f_n)est la base canonique deAⁿ. En d’autres termes,M(σ)est la matrice dont tous les coefficients a_ij sont nuls sauf les coefficients a_σ(j),j qui valent1. En utilisant(1), on voit queM(σ)est inversible, d’inverseM(σ⁻¹).

MultiplierF ∈M_n,m(A)à gauche par une matrice de permtutationM(σ) revient à effectuer sur les lignes deF la permutationσ. De même, on voit que multiplier F à droite par une matrice de permutation M⁰(τ) (où τ ∈S_m), revient à effectuer sur les colonnes la permutation τ⁻¹, c.-à-d., mettre la colonne τ(j) à la placej.

Type II : les matricesT_ij(α) etT<sub>k`</sub><sup>0</sup> (β) Pour α, β ∈ A et i 6= j dans {1, . . . , n}, resp. k6=`dans{1, . . . , m}, on pose

T_ij(α) =I_n+αE_ij, resp. T_{k`</sub><sup>0</sup> (β) =I<sub>m</sub>+βE<sub>k`},

où I désigne la matrice identité, etE_ij désigne la matrice élémentaire dont le seul coefficient non nul est celui d’indices (i, j), qui vaut1.

On voit que multiplier F à gauche par T_ij(α) revient à ajouter α fois la ligne j à la ligne i. De même, multiplier F à droite par T<sub>k`</sub><sup>0</sup> (β) revient à ajouter β fois la colonne kà la colonne `.

On est ainsi équipé pour faire des opérations élémentaires sur la matrice F. On aura besoin d’un 3ème type de matrices.

Type III : les matrices de BezoutB_i(a, b) etB_j⁰(a, b)

Soit i ∈ {2, . . . , n} et soient a, b ∈ A\ {0}. Soit d un pgcd de a et b.

Comme A est principal, d est un générateur de l’idéal (a) + (b) et donc (Théorème de Bezout), il existe x, y ∈ A tels que ax+by = d. On note B_i(a, b) la matrice (b_kj) telle que

b₁₁=x, b_1i =y, b_i1 =−b

d, b_ii= a d,

b_kk= 1pour k6= 1, i, etb_kj = 0 dans les autres cas. C.-à-d.,B_i(a, b) est de

la forme : 





x 0 y 0 0 1 0 0

−_d^b 0 ^a_d 0 0 0 0 1





.

C’est une matrice inversible, car son déterminant vaut(ax+by)/d= 1. De plus, elle vérifie la propriété suivante : sia(resp.b) est le coefficientf₁₁(resp.

f_i1) de la 1ère colonne de F, alors la 1ère colonne deB_i(a, b)F est identique à celle de F, sauf qu’on a remplacé a par d = pgcd(a, b) et b par 0. (Ceci explique l’introduction des matricesB_i(a, b)).

De même, pourj∈ {2, . . . , m}, on définitB⁰_j(a, b)∈GL_m(A) par b⁰₁₁=x, b⁰_j1 =y, b⁰_1j =−b

d, b⁰_jj = a d,

b⁰_kk= 1pourk6= 1, j, etb⁰_kj = 0dans les autres cas. C.-à-d., B_j⁰(a, b) est de

la forme : 





x 0 −_d^b 0

0 1 0 0

y 0 ^a_d 0

0 0 0 1





.

Comme précédemment,B_j⁰(a, b) est de déterminant1, et vérifie la propriété suivante. Si a (resp. b) est le coefficient f₁₁ (resp. f_1j) de la 1ère ligne de F, alors la 1ère ligne de F B_j⁰(a, b) est identique à celle de F, sauf qu’on a remplacéapard=pgcd(a, b) etb par0.

Remarque 6.3.1 Les matricesT_1i(α)etT_1`⁰ (β)sont des cas particuliers de matrices de type III. Toutefois, il est commode de les considérer séparément, cf.ci-dessous.

Maintenant, on va montrer qu’on peut multiplierF à droite ou à gauche par des matrices de l’un des trois types précédents, afin d’arriver de proche en proche à une matrice D de la forme voulue. Il faut encore introduire une notion de “longueur” de la matrice F : un entier ≥ 0 qui va décroître strictement au cours de la procédure, ce qui assurera que l’algorithme se termine en un nombre fini d’étapes et permet bien d’atteindre une matrice diagonale de la forme voulue.

Définition 6.3.3 1) Soit a ∈ A\ {0}. On définit sa longueur `(a) comme le nombre d’éléments irréductibles apparaissant dans sa décomposition en facteurs irréductibles. Ceci est bien défini, puisqueA est principal donc fac- toriel. En particulier, `(a) = 0 ⇔ a est inversible ; et si p est irréductible,

`(p^s) =spour touts≥1.

2) Soit F ∈ M_n,m(A), non nulle. On définit `(A) comme la plus petite longueur de ses coefficients non nuls.

Fin de la preuve du théorème de réduction des matrices 6.3.4. Soit F = (f_ij)∈M_n,m(A), non nulle. Soitf_ij un coefficient non nul de longueur minimale. Quitte à permuter des lignes et des colonnes, on peut supposer (i, j) = (1,1). On effectue alors l’algorithme suivant.

Étape 1) i) Si f₁₁ divise tous les coefficients f_1k et f_k1, pour k ≥2, on va à l’étape 2) ci-dessous.

ii) S’il existek≥2 tel que f₁₁ ne divise pasf_1k, on multiplie F à droite par B_1k⁰ (f₁₁, f_1k). On annule ainsi le coefficient (1, k), tandis que f₁₁ est remplacé par d = pgcd(f₁₁, f_1k), qui est de longueur < `(f₁₁). S’il existe k⁰ 6= k tel que d ne divise pas f_1k⁰, on repète le processus. On arrive ainsi, en au plus m−1 opérations, à un matrice équivalente

F⁰ =F B⁰,

dont la 1ère ligne est (f₁₁⁰ ,0, . . . ,0), avec`(f<sub>11</sub><sup>0</sup> )< `(f₁₁).

iii) Si f₁₁⁰ divise tous les coefficients de la 1ère colonne de F⁰, on va à l’étape 2) ci-dessous. Sinon, en multipliant F⁰ à gauche par une suite de matrices de Bezout, on obtient une matrice équivalente

F⁰⁰=BF⁰ =BF B⁰,

dont la 1ère colonne est ^t(f₁₁⁰⁰,0, . . . ,0), avec `(f<sub>11</sub><sup>00</sup>) < `(f₁₁⁰ ). En faisant cela, on peut obtenir, à nouveau, des termes non nuls sur la 1ère ligne de F⁰⁰. Mais ce n’est pas gênant, car la longueur du coefficient d’indice (1,1) décroît strictement à chaque opération. Donc, après un nombre fini (≤`(F))

d’opérations de multiplications à droite ou à gauche par des matrices de Bezout, on obtient une matrice équivalente

F₁ =B_r· · ·B₁BF B⁰B₁⁰ · · ·B_s⁰,

dont le coefficient d’indice (1,1), appelons-le d₁, divise tous les coefficients de la 1ère ligne et de la 1ère colonne. On peut alors passer à l’étape 2).

Étape 2) Sous les hypothèses précédentes, on peut soustraire à chaque colonne un multiple de la 1ère, pour obtenir une matrice dont la 1ère ligne est (d₁,0, . . . ,0). On peut ensuite soustraire à chaque ligne un multiple de la 1ère, de façon à obtenir une matrice de la forme suivante :

F₁⁰ =







d₁ 0 · · · 0 0 c₂₂ · · · c_2m

... ... . .. ... 0 c_n2 · · · c_nm





.

Si d₁ divise tous les c_ij, on va à l’étape 3). Sinon, si d₁ ne divise pas un certainc_ij, on forme la matrice équivalente

(I_n+E_1i)F₁⁰ =







d₁ c_i2 · · · c_im 0 c₂₂ · · · c_2m ... ... . .. ... 0 c_n2 · · · c_nm





,

à laquelle on applique l’étape 1). On obtient ainsi une matrice équivalente

F₁⁰⁰=







d⁰₁ 0 · · · 0 0 c⁰₂₂ · · · c⁰_2m

... ... . .. ... 0 c⁰_n2 · · · c⁰_nm





,

où `(d<sup>0</sup><sub>1</sub>) < `(d₁) et où d⁰₁ divise tous les coefficients de la ligne i. Si d⁰₁ ne divise pas tous les coefficients d’une autre ligne, on recommence le processus.

On obtient ainsi, après un nombre fini (≤ min(`(d₁), n−1)) d’aller-retour entre les étapes 1) et 2), une matrice équivalenteF₂ de la forme

F₂=

µa₁ 0 0 B

¶ ,

oùa₁divise chaque coefficient deB ∈M_n−1,m−1(A). On observe alors quea₁ est un générateur de l’idéalJ₁(F₂), qui égaleJ₁(F) d’après le lemme 6.3.3.

On passe alors à l’étape 3)

Étape 3) Par hypothèse de récurrence (ou d’après l’algorithme appliqué à B), il existe P, Qinversibles telles que

P BQ=











a₂ · · · 0 · · · 0 ... . .. ... ... 0 · · · a_r · · · 0 ... ... ... 0 · · · 0 · · · 0









 ,

où a_i | a_i+1 pour i = 2, . . . , r −1. D’une part, a₂ est un générateur de J₁(P BQ) =J₁(B), lequel est contenu dansJ₁(F₂) = (a₁). Par conséquent, a₁ divisea₂. D’autre part,F₂, et donc F, est semblable à la matrice

F₃=











a₁ · · · 0 · · · 0 ... . .. ... ... 0 · · · a_r · · · 0 ... ... ... 0 · · · 0 · · · 0









 .

Ceci achève la démonstration de l’existence dans le théorème 6.3.4. De plus, d’après le lemme 6.3.3, on a pour tout s≤min(m, n),J_s(F) = J_s(F₃). Or ces derniers idéaux se calculent facilement : F₃ est de rang r, et pour s≤r les seuls mineurs s×snon nuls sont les produits

a_i1· · ·a_is, avec i₁<· · ·< i_s.

Commea_i|a_i+1, pouri < r, chacun de ces produits est multiple dea₁· · ·a_s. Ceci prouve que

J_s(F) = (a₁· · ·a_s), ∀s= 1, . . . , r.

Enfin, comme Aest intègre, on voit que(a_i) ={x∈A|xJ_i−1(F)⊆J_i(F)}.

Ceci montre que les idéaux (a_i) sont déterminés par les J_s(F), et donc ne dépendent que de la classe d’équivalence deF. Ceci termine la démonstration du théorème 6.3.4. ¤

Remarque 6.3.2 Lorsque (A, v) est euclidien, on n’a besoin que des ma- trices de type I ou II et l’algorithme se simplifie considérablement, cf.[Ja1],

§3.7, pp. 177-178.