BLAISE PASCAL PT 2020-2021
DM 1 – à rendre lundi 7 septembre Correction
Mécanique
Trampoline
A - Le trampoline oscille
1 Voir figure 1.
A F#”2 F#”1
F#”
Figure 1 –Force exercée par le trampoline sur Anatole.
2 Les notations sont celles de la figure 2, on note #”ex la direction d’allongement du ressort et on définit x tel que`=`0+x. La force élastique exercée par le ressort sur la masse qui y est attachée s’écrit
F#”r=−k(`−`0)#”ex=−kx#”ex.
`0 x
#”ex
Figure 2– Schéma du ressort considéré.
Au cours d’un déplacement infinitésimal # ”
dM = dx#”ex+ dy#”ey+ dz#”ez, le travail élémentaire de #”
Frvaut δWr=F#”r·dM# ”=−kxdx .
Par définition, ce travail élémentaire s’identifie à l’opposé de la variation infinitésimale de l’énergie potentielle élastique au cours du déplacement,
δWr=−dEpe=−kxdx soit dEpe
dx =kx donc Epe= 1
2kx2+ cte.
En choisissant la constante nulle (pas d’énergie emmagasinée lorsque`=`0) et en revenant à la définition dex, on obtient finalement
Epe=1
2k(`−`0)2.
En fait, le plus général et naturel serait de raisonner en coordonnées sphériques dont le centre coïnci- derait avec le point d’attache du ressort. On aurait alors
δWr=−k(r−`0)#”er·(dr#”er+rdθ#”eθ+rsinθdϕ#”eϕ) =−k(r−`0)dr
ce qui conduit bien au bon résultat. Ceci dit, il est clair que l’usage des coordonnées sphériques est difficile de début de PT et hors de propos en PTSI !
3 D’après le théorème de Pythagore, les deux ressorts ont même longueur
`=p
R2+z2.
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L’énergie potentielle élastique totale vaut donc Epe= 2×1
2kp
R2+z2−`0
2
=k
R2+z2−2`0
pR2+z2+`02
=k R2+z2−2αR s
R2
1 + z2 R2
+α2R2
!
Epe=k (1 +α2)R2+z2−2αR2 r
1 + z2 R2
!
4 En utilisant le développement limité donné, r
1 + z2 R2 =
1 + z2
R2 1/2
'1 + z2 2R2, et ainsi
Epe=k
(1 +α2)R2+z2−2αR2−
2αR2 z2 2R2
=k (1−2α+α2)R2+z2−αz2 Epe=k
(1−α)2R2+ (1−α)z2
5 La force résultante #”
F vaut
F#”=−dEpe
dz
#”ez soit #”
F =−2k(1−α)z#”ez. Pour un ressort vertical d’allongementz et de raideurkapp, on aurait
F#”=−kappz#”ez. Commeα <1, on peut bien identifier
kapp= 2(1−α)k >0. On constate que siz <0 alors #”
F est dirigée selon +#”ez, ce qui est cohérent avec la figure 1.
Commeαest assez proche de 1, on a également kapp nettement inférieur àk, ce qui est conforme au comportement d’un trampoline : enfoncer le centre du trampoline est très simple, mais l’attacher à son support est autrement plus difficile.
6 Étudions le mouvement d’Anatole dans le référentiel terrestre, supposé galiléen. Il est soumis à la force F#”et à son poids−mg#”ez. D’après le principe fondamental de la dynamique en projection sur #”ez,
m¨z=−2k(1−α)z−mg Cette équation s’écrit sous forme canonique
z¨+2k(1−α) m
| {z }
=ω02
z=−g
Une solution particulière de cette équation est
Z0= −mg 2k(1−α) et donc la forme générale de ses solutions est
z(t) =Z0+Acos(ω0t) +Bsin(ω0t) avecAetB deux constantes dépendant des conditions initiales.
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La solution particulière est celle qui décrit le régime permanent, donc ici les positions d’équilibre : comme test de vraisemblance, pensez à vérifier la cohérence physique de l’expression, ici Z0 < 0 (Anatole s’enfonce), fonction croissante dem (plus il est lourd, plus il s’enfonce) et décroissante dek (plus le trampoline est raide, moins Anatole s’enfonce).
B - Anatole décolle ?
7 Anatole étant sur le tapis du trampoline, la force #”
N est forcément verticale vers le hauttout au long du mouvement, tant qu’Anatole se trouve sur le tapis.
8 On étudie de nouveau le mouvement d’Anatole dans le référentiel terrestre, supposé galiléen. Il est soumis à la force de contactN#”=N#”ez et à son poids−mg#”ez. D’après le principe fondamental de la dynamique projeté sur #”ez,
m¨z=N−mg . En exprimant ¨z à partir de l’expression donnée dans l’énoncé,
+mω2Z1cos(ωt) =N−mg et ainsi
N =mg+mω2Z1cos(ωt).
9 La rupture de contact entre Anatole et le trampoline a lieu si et seulement siNs’annule. Comme−1≤cos(ωt)≤ 1, l’annulation n’est possible que si
ω2Z1> g .
Cette condition est d’autant plus facile à remplir que Z1 est élevé, c’est-à-dire que les oscillations sont de forte amplitude, et ω est élevé, c’est-à-dire que les oscillations sont dehaute fréquence. Ces deux résultats semblent qualitativement raisonnables : à la limite des faibles amplitudes et des basses fréquences, le trampoline ne bouge presque pas, et il est évident qu’Anatole ne peut pas décoller dans ces conditions.
C - Le grand saut !
10 Notonstdl’instant du décollage, tel que
N(td) =mg+mω2Z1cos(ωtd) = 0.
Or juste avant le décollage (t=t−d), Anatole est encore en contact avec le tapis, donc zd=Z0−Z1cos(ωtd).
De la première expression, on obtient
Z1cos(ωtd) =− g ω2 si bien que
zd=Z0+ g ω2.
11 Par définition,
vd= ˙z(td) = +ωZ1sin(ωtd) =ωZ1
p1−cos2(ωtd), et en réutilisant la question précédente
vd=ωZ1
s
1− g2 Z12ω4.
12 Les frottements étant négligés, Anatole n’est soumis qu’à son poids, et son mouvement est donc conservatif.
Son énergie mécanique conserve la même valeur au décollage et au sommet du saut, où la vitesse est nulle : Em =
décollage|{z}
mgzd+1
2mvd2 =
sommet|{z}
mgh+ 0.
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Ainsi,
h=zd+vd2 2g
=Z0+ g
ω2+ω2Z12 2g
1− g2 Z12ω4
=Z0+ g
ω2+ω2Z12 2g − g
2ω2 h=Z0+ g
2ω2 +ω2Z12 2g .
La méthode est à retenir : lorsque que l’on cherche une position où la vitesse a un comportement particulier (ici, s’annule) ou réciproquement que l’on cherche la vitesse à un endroit donné, il est presque toujours plus efficace de raisonner énergétiquement si le mouvement est conservatif.
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