Champs équiprojectifs, torseurs

(1)

Champs équiprojectifs, torseurs

1. Champs de vecteurs, champs affines.

2. Champs équiprojectifs.

3. Torseurs.

4. Axe central d’un torseur.

5. Invariant scalaire, comoment de deux torseurs.

6. Torseurs élémentaires : couples et glisseurs.

7. Décompositions d’un torseur en torseurs élémentaires.

8. Systèmes de glisseurs, de vecteurs glissants.

9. Produit vectoriel de deux torseurs.

10. Théorème de Petersen-Morley.

11. Annexe Maple.

Pierre-Jean Hormière

_______________

Introduction

Les torseurs sont des outils mathématiques utilisés principalement en cinématique et en mécanique du solide indéformable, pour décrire les mouvements d’un solide et les actions mécaniques qu’il subit de la part d’un environnement extérieur. Leur origine remonte aux travaux du père jésuite et géomètre français Pierre Varignon (1654-1722).

Style, vocabulaire, terminologie, notations, les anciens cours de mathématiques sont diffi- ciles à lire. Les vieux traités de Commissaire et Cagnac, puis de Cagnac et Ramis, étudient longuement les propriétés des « systèmes de vecteurs glissants », précisant peu à peu les contours de l’ensemble dont ils sont les objets. Après le tournant structuraliste des années 1960, les cours commencent par définir la classe des champs équiprojectifs, et la munissent de ses différentes structures ; les systèmes de glisseurs, relégués au grenier des exemples, ne sont plus guère qu’une référence « vintage » aux anciens cours. Au fond, les vieux cours font l’analyse, et les plus récents la synthèse, de la théorie des torseurs. Mais ces exposés ont un ADN commun : la tendance irrépressible des professeurs de taupe à épuiser leur sujet, comme s’ils voulaient blinder leurs élèves. Cet exposé n’échappe pas à ce travers.

L’anecdote suivante en fait foi : « Comme exemple d’espace vectoriel de dimension 6, vous pourriez citer les torseurs ! », a dit l’Inspecteur général Jean B*** aux professeurs de seconde, médusés, du lycée Fabert de Metz, un jour de printemps 1981. Je fus témoin de la scène, une scène d’autant plus surréaliste que les torseurs allaient bientôt être retirés du programme de math sup ! Cela dit, M. l’Inspecteur général avait raison : quoiqu’il faille 9 réels pour définir un torseur (les coordonnées d’un point A, les composantes de la résultante et celles du moment en A), les torseurs forment, en effet, un bel exemple d’espace vectoriel de dimension 6 (et même une algèbre de Lie et un espace hyperbolique !) ¹.

Leur étude suppose connues les propriétés des endomorphismes antisymétriques des espaces euclidiens, ainsi que celles des produits vectoriel et mixte.

Ce chapitre est inachevé, je le terminerai si j’ai le temps.

1 Ah ! comment ne pas avoir la nostalgie des années Giscard d’Estaing ? Le problème d’ENSI de Chimie 1980 portait sur les… théorèmes de Baire et de Banach-Steinhaus, rien de moins…

(2)

1. Champs de vecteurs, champs affines.

Définition 1 : Soient E un espace vectoriel réel de dimension finie n, EEEE un espace affine attaché à E.

Un champ de vecteurs sur une partie A de EEEE est une application de A dans E.

Représentation d’un champ de vecteurs.

Soit V : M ∈ A → V(M) ∈ E un champ de vecteurs sur A. Pour représenter V, il est commode d’associer à chaque point M de A le vecteur MP = V(M), autrement dit le représentant du vecteur

) (M

V ayant M pour origine. Si A est infinie, comme on ne peut représenter tous les vecteurs MP, on donnera une idée du champ de vecteurs en choisissant un nombre fini suffisamment dense de points M dans A.

Avec Maple, on utilisera les commandes fieldplot et fieldplot3d :

> with(plots);

> fieldplot([x+y,-2*x+y],x=-2..2,y=-2..2,thickness=2,color=blue);

Exemples de champs de vecteurs : 1) Champs uniformes.

Un champ est dit uniforme s’il est constant.

2) Champs centraux.

Un champ est dit central s’il existe un point O tel que, pour tout point M ∈ A, les vecteurs V(M) et

OM

soient colinéaires. C’est le cas des champs homothétie V(M) = α

OM

, et des champs

) (M V =

OM

_et_V_(M₎₌

²

OM

définis sur EEEE − {O}, E et EEEE étant munis de normes associées.

3) Champs continus, différentiables.

E et EEEE étant munis de leurs topologies usuelles, un champ de vecteurs est dit continu s’il est continu en tant qu’application de A dans E.

Lorsque A est une partie ouverte de EEEE, on parle de champ différentiable, de champ de classe C^k, etc.

Lorsque A est une partie quelconque de EEEE, un champ de vecteurs V sur A est dit différentiable, resp de classe C^k, s’il existe un ouvert U contenant A et un champ de vecteurs W différentiable, resp. de classe C^k sur U tel que V soit la restriction de W à A.

4) Champs affines.

Définition 2 : Un champ de vecteurs f sur EEEE est dit affine s’il existe un endomorphisme ϕ de E et un point O de EEEE tels que ∀M ∈EEEE f(M) = f(O) + ϕ(

OM

).

S’il en est ainsi, la relation précédente est vraie pour tout point O, autrement dit :

(3)

∀ M, P ∈ EEEE f(M) = f(P) + ϕ(PM).

L’endomorphisme ϕ est déterminé de manière unique par la donnée de f : on dit qu’il est l’endomorphisme associé au champ affine f, ou encore la partie linéaire de f.

Les champs affines sont les applications affines de EEEE dans l’espace affine canoniquement associé à E.

Définition 3 : On appelle repère affine (ou base affine) de EEEE tout (n+1)-uplet (A₀, A₁, …, A_n) de points de EEEE_{tels que}(

A

₀

A

₁ ,

A

₀

A

₂, …,

A

₀

A

n) soit une base de E.

Il est facile de montrer que cette propriété est indépendante du point A₀ choisi.

Proposition 1 : Soit (A₀, A₁, …, A_n) un repère affine. Pour tout (n + 1)-uplet (

u

₀,

u

₁ , …, un) de vecteurs de E, il existe un et un seul champ affine f sur EEEE tel que ∀k f(A_k) =

u

k.

Preuve : Procédons par analyse et par synthèse.

Analyse : Si un tel champ existe, et a pour partie linéaire ϕ, alors Pour tout 1 ≤ k ≤ n, ϕ(

A

₀

A

_k) = f(A_k) – f(A₀) =

u

_k ₋

u

₀ .

(

A

₀

A

₁ ,

A

₀

A

₂, …,

A

₀

A

n) étant une base de E, ces conditions déterminent entièrement l’endomorphisme ϕ. Si on leur adjoint la condition f(A0) =

u

0, f est définie de manière unique.

Synthèse : Soient ϕ l’endomorphisme de E vérifiant, pour tout 1 ≤ k ≤ n, ϕ(

A

0

A

k) =

u

k −

u

0, et f le champ affine défini par . ∀M ∈EEEE f(M) =

u

₀ + ϕ(

A

₀

M

).

Alors f(A₀) =

u

0 et, pour tout 1 ≤ k ≤ n, f(A_k) =

u

0 +

u

_k ₋

u

₀ =

u

_k . Proposition 2 : Un champ affine est uniforme ssi ϕ = 0.

Il est central de centre A ss’il existe λ ∈ R tel que ∀M f(M) = λ.AM . Preuve : La première affirmation est évidente. Montrons la deuxième.

Si le champ affine f est central de centre A, ∀M ∃λ f(M) = λ.AM . En particulier f(A) = 0 , donc f(M) − f(A) = ϕ(AM ) = λ.AM . Ainsi ∀

x

∃λ ϕ(

x

) = λ.

x

.

On a vu en algèbre linéaire que les seules applications linéaires vérifiant cette propriété sont les homothéties.

Proposition 3 : Les champs affines sur EEEE forment un sous-espace vectoriel de dimension n + n² de l’espace vectoriel des champs de vecteurs sur EEEE_.

Preuve : Cela découle de ce que f est entièrement défini par le couple ( f(O), ϕ) ∈ E×LLLL_{(E), la} correspondance étant linéaire bijective, ou encore de ce que f est entièrement défini par le (n + 1)- uplet (f(A₀), f(A₁), …, f(A_n)) de vecteurs de E, où (A₀, A₁, …, A_n) est un repère affine.

Proposition 4 : Soit f un champ de vecteurs sur EEEE. Les propriétés suivantes sont équivalentes : a) f est un champ de classe C² tel que f’’ = 0 ;

b) f est un champ de classe C¹ et f’ est constant ; c) f est un champ affine.

Preuve : voir cours sur les fonctions de plusieurs variables.

Si E E E E et E sont de dimension 3, rapportés à un repère (O,

i

, j,

k

), le champ f : M(x, y, z) → f(M) = ( X, Y, Z )

(4)

est donné par ses composantes (X, Y, Z), fonctions de (x, y, z). Il est affine ssi chacune des fonctions X, Y, Z est de classe C² et a ses six dérivées partielles secondes nulles, ou encore sa matrice hessienne nulle. En tout, 18 vérifications.

Plus généralement, si E E E E et E sont de dimension n, il faudra 2

) 1

²(n+

n vérifications.

Si A est une partie de EEEE, un champ de vecteurs f sur A est dit affine s’il est la restriction à A d’un champ affine sur EEEE. Lorsque A engendre affinement EEEE, ce prolongement est unique.

2. Champs équiprojectifs.

2.1. Un exemple introductif.

Considérons dans l’espace euclidien usuel de dimension 3 un solide indéformable SSSS en mouvement, mouvement supposé de classe C¹. Soient M et N deux points quelconques de SSSS_.

A l’instant t, le solide occupe la position SSSS(t), les points M(t) et N(t).

La fonction D : t →||M(t)N(t)||² est constante, donc de dérivée nulle : D’(t) = 2 (M(t)N(t) |

dt t N d () ₋

dt t M d ()

) = 0.

On dit qu’à l’instant t, le champ des vitesses V : M(t) → dt

t M d ()

est « équiprojectif ».

2.2. Champs équiprojectifs.

Dans ce §, E est un espace euclidien de dimension n, EEEE un espace affine euclidien associé.

On note (

x

|y) le produit scalaire des vecteurs

x

ety.

Définition 1 : Le champ de vecteurs f : EEEE_→ E est dit équiprojectif s’il vérifie : ∀ M, N ∈EEEE(

MN

| f(M) − f(N)) = 0.

Signification géométrique de cette propriété :

Supposons les points M et N distincts. Notons f(M) = MP et f(N) = NQ. Soient H et K les orthoprojections de P et Q sur la droite MN.

La condition (

MN

| f(M)) = (

MN

| f(N)) se traduit par : MH =

NK

. En effet (

MN

| f(M)) = (

MN

|MP) = (

MN

|MH) =

MN

.MH Et (

MN

| f(N)) = (

MN

|NQ) = (

MN

|

NK

) =

MN

.

NK

Autrement dit, comme son nom l’indique, un champ est équiprojectif si et seulement si, pour tout couple (M, N) de points distincts, les vecteurs f(M) et f(N) ont même orthoprojection sur la droite (MN).

Proposition 1 : Images d’un champ équiprojectif par une similitude.

Soit f un champ équiprojectif.

(5)

a) Si s est une similitude quelconque de EEEE , f o s est un champ équiprojectif sur E.E. E.E.

b) Si σ est une similitude quelconque de E , σ o f est un champ équiprojectif sur E.E.E.E.

Preuve facile, laissée au lecteur.

L’interprétation physique de ce résultat est que la notion de champ équiprojectif n’est pas altérée si l’on change d’unité de longueur : après un changement arbitraire de cette unité, un champ équiprojectif reste équiprojectif.

Théorème 2 : Pour que le champ de vecteurs f : EEEE_→ E soit équiprojectif, il faut et il suffit qu’il soit affine et que l’endomorphisme associé ϕ soit antisymétrique.

Preuve : Nous supposons connue la notion d’endomorphisme antisymétrique, définie et étudiée dans le chapitre sur les Espaces euclidiens, § 5.

a) Supposons que le champ f est affine, et que l’endomorphisme associé ϕ est antisymétrique.

Alors ∀ M, N ∈EEEE(

MN

| f(M) − f(N)) = (

MN

|_ϕ(

MN

)) = 0.

b) Réciproquement, soit f un champ équiprojectif.

Fixons un point A ∈EEEE et définissons l’application ϕ : E → E par : ∀

x

∈ E ϕ(

x

) = f(A +

x

) – f(A).

L’équiprojectivité de f implique :

∀

x

,y_∈ E (

x

| ϕ(

x

)) = (y | ϕ(y)) = 0.

Puis : ( y−

x

| ϕ(y) − ϕ(

x

)) = (y−

x

| f( A + y) − f( A +

x

)) = 0.

Comme ( y₋

x

| ϕ(y) −ϕ(

x

)) = ( y| ϕ(y)) + (

x

| ϕ(

x

)) − (

x

| ϕ(y)) ₋ (y | ϕ(

x

))

il vient : (

x

| ϕ(y)) + (y | ϕ(

x

)) = 0. Il reste à conclure via le lemme suivant laissé au lecteur : Lemme : Toute application ϕ : E → E vérifiant

∀

x

,y_∈ E (

x

| ϕ(y)) + (y | ϕ(

x

)) = 0.

est linéaire.

Proposition 3 : L’ensemble des champs équiprojectifs sur EEEE est un sous-espace vectoriel de dimen- sion n +

2 ) 1 (n− n =

2 ) 1 (n+

n de l’espace vectoriel des champs affines.

Preuve : La première assertion est laissée au lecteur.

Fixons un point O. L’application P_O : f → ( f(O), ϕ ) est un isomorphisme de l’espace vectoriel des champs équiprojectifs sur E×A(E), où A(E) est l’espace vectoriel des endomorphismes antisymé- triques. On conclut aussitôt.

Proposition 4 : Soient f un champ affine sur EEEE_{, (A}₀_{, A}₁_{, …, A}_n) un repère affine de EEEE_,.

Pour que f soit un champ équiprojectif, il faut et il suffit qu’il vérifie la condition suivante : Pour tout 0 ≤ i < j ≤ n , (AiAj| f(A_j) − f(A_i)) = 0.

Preuve : Seule la condition suffisante est à vérifier.

Soient donc f un champ affine sur EEEE, de partie linéaire ϕ, et (A0, A₁, …, A_n) un repère affine tel que : Pour tout 0 ≤ i < j ≤ n , (AiAj| f(A_j) − f(Ai)) = 0.

On en déduit que, pour tout 0 ≤ i < j ≤ n , (AiAj| ϕ(AiAj)) = 0.

1^ère conséquence : pour tout 1 ≤ k ≤ n , (

A

0

A

k| ϕ(

A

0

A

k)) = 0. (*) 2^ème conséquence : pour tout 1 ≤ i < j ≤ n ,

(AiAj| ϕ(AiAj)) = (A0Aj −

A

0

A

i | ϕ(A0Aj) − ϕ(

A

0

A

i )) = 0.

Si l’on développe, il vient :

(6)

(A₀Aj| ϕ(A₀Aj)) + (

A

₀

A

i | ϕ(

A

₀

A

i ))₋ (

A

₀

A

i | ϕ(A₀Aj))₋ (A₀Aj| ϕ(

A

₀

A

i )) = 0.

Compte tenu de (*), cela implique : (

A

0

A

i | ϕ(A0Aj)) + (A0Aj| ϕ(

A

0

A

i )) = 0.

Par bilinéarité, on en déduit : ∀

x

,y∈ E (

x

| ϕ(y)) + (y | ϕ(

x

)) = 0.

ϕ est antisymétrique. Cqfd.

Remarque : Soit (A₀, A₁, …, A_n) un repère affine de EEEE_{, Aff(}EEEE, E) l’espace vectoriel des champs affines sur EEEE, qui, rappelons-le, est de dimension n² + n, et Equip(EEEE, E) le sous-espace des champs équiprojectifs, qui est de dimension moitié, n(n + 1)/2.

Pour tout 0 ≤ i < j ≤ n , considérons la forme linéaire εij : f ∈ Aff(EEEE_{, E)}_→(AiAj| f(A_j) − f(A_i)) . Il résulte de la prop 4 que Equip(EEEE, E) est l’intersection des noyaux de ces n(n + 1)/2 formes linéaires. Par conséquent, ces formes linéaires εij sont indépendantes.

Théorème 5 : prolongement des champs équiprojectifs.

Soient SSSS une partie de EEEE, telle que EEEE soit la variété affine engendrée par SSSS_{, et f :}SSSS → E un champ équiprojectif sur SSSS , c’est-à-dire vérifiant :

∀ M, N ∈SSSS(

MN

| f(M) − f(N)) = 0.

Alors f est la restriction à SSSS d’un champ équiprojectif g sur EEEE, et g est défini de manière unique.

Preuve :

Soit (A₀, A₁, …, A_n) un repère affine de EEEE formée de points de SSSS. Nous savons qu’il existe une application affine unique g : EEEE_→ E vérifiant g(A_i) = f(A_i) pour 0 ≤ i ≤ n.

Cela montre déjà l’unicité du prolongement cherché. Ce champ g vérifie : Pour tout 0 ≤ i < j ≤ n , (AiAj| g(A_j) − g(A_i)) = (AiAj| f(A_j) − f(A_i)) = 0.

En vertu de la prop 4, ce champ g est équiprojectif. Cqfd.

3. Torseurs.

Dans toute la suite de ce chapitre, E désigne un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3, EEEE un espace affine euclidien orienté associé. Nous supposons connues les définitions et les propriétés du produit vectoriel

x

_∧∧∧∧y et du produit mixte [

x

,y,z].

3.0. Rappels.

Formule du double produit vectoriel :

x

∧∧∧∧ (y∧∧∧∧z) = (

x

|z).y − (

x

|y).z.

Pour vérifier élégamment cette formule, on peut observer que, si

x

est fixé, les deux membres sont des formes bilinéaires alternées de (y,z). Dès lors, il suffit de vérifier leur égalité pour

(y,z) = (

i

, j), ( j,

k

) et (

k

,

i

), où (

i

, j,

k

) est une base orthonormée directe de E, Formule de Jacobi :

x

∧∧∧∧ ( y∧∧∧∧z) + y ∧∧∧∧ (z∧∧∧∧

x

) + z ∧∧∧∧ (

x

∧∧∧∧y) = 0

Cette formule découle aisément de la formule du double produit vectoriel Endomorphismes antisymétriques.

Pour tout vecteur

a

, l’application ϕ :

x

_→

a

_∧∧∧∧

x

est un endomorphisme antisymétrique de E, c’est-à-dire tel que ∀

x

(ϕ(

x

) |

x

) = 0, ou encore ∀(

x

,y) (ϕ(

x

) |y) = − (ϕ(y) |

x

) . Réciproquement, tout endomorphisme antisymétrique ϕ de E est de la forme ϕ :

x

_→

a

_∧∧∧∧

x

.

(7)

Ce vecteur

a

est unique, et donné par :

a

=

2

1

[ i

_∧∧∧∧ϕ(i)⁺^j∧∧∧∧ϕ( j)⁺

k

_∧∧∧∧ϕ(k)

]

où (

i

, j,

k

) est une base orthonormée directe de E, Preuve : On sait bien que (

a

_∧∧∧∧

x

|

x

) = 0.

(

a

∧∧∧∧

x

|y ) = − (

a

∧∧∧∧ y|

x

) s’en déduit par dédoublement des variables.

Du reste, cela s’écrit [

a

,

x

,y ] = −[

a

,y,

x

].

La formule du double produit vectoriel donne, pour tout vecteur unitaire

x

:

x

_∧∧∧∧ϕ(x)⁼

x

_∧∧∧∧ (R_∧∧∧∧

x

) = (

x

|

x

).R ₋ (

x

|R).

x

= R ₋ (

x

|R).

x

. Il suffit d’appliquer cette relation à

i

, j,

k

, et d’additionner.

Division vectorielle. Soient

a

et

b

deux vecteurs tels que

a

_≠ 0.

On a l’équivalence : l’équation

a

_∧∧∧∧

x

=

b

(E) a au moins une solution ⇔ (

a

|

b

) = 0.

Si cette condition est remplie, les solutions de l’équation (E) sont données par

x

= −

² a

a∧b + λ

a

, où λ décrit R.

En particulier, lorsque

x

décrit E,

a

∧∧∧∧

x

décrit le plan

a

^⊥.

Enfin, l’identité (

a

∧∧∧∧

b

|

c

∧∧∧∧

d

) = (

a

|

c

).(

b

|

d

) − (

a

|

d

).(

b

|

c

).

Pour vérifier élégamment cette formule, fixons

a

et

b

. Les deux membres sont des formes bilinéaires alternées de (

c

,

d

). Dès lors, il suffit de vérifier leur égalité pour

(

c

,

d

) = (

i

, j), ( j,

k

) et (

k

,

i

), où (

i

, j,

k

) est une base orthonormée directe de E, 3.1. Définitions.

Définition 1 : Un champ équiprojectif TTTT_surEEEE est aussi appelé un torseur. Pour tout point M de E E E E_{, le} vecteur TTTT(M) est appelé moment (ou valeur) du torseur TTTT_{en M.}

Il découle de ce qui précède que les torseurs forment un espace vectoriel de dimension 6. Grâces en soient rendues à M. l’Inspecteur général Jean B*** et bon courage aux professeurs de seconde ! Soient TTTT un torseur sur E E E E_,_ϕ l’endomorphisme antisymétrique tel que :

∀ P, Q ∈ EEEETTTT_{(Q) =}TTTT_{(P) + ϕ(}PQ).

La matrice de ϕ relativement à une base orthonormée directe étant antisymétrique, il existe un vecteur unique R∈ E tel que ∀

x

∈ E ϕ(

x

) = R∧∧∧∧

x

.

Ainsi : ∀ P, Q ∈EEEETTTT_{(Q) =}TTTT_{(P) +}R_∧∧∧∧PQ ( formule de Varignon ).

Théorème 2 : Pour qu’un champ sur l’espace euclidien orienté EEEE soit un torseur, il faut et il suffit qu’il existe un vecteur R_∈ E tel que :

∀ P, Q ∈ EEEETTTT_{(Q) =}TTTT_{(P) +}R∧∧∧∧PQ.

Définition 2 : Le vecteur R est appelé résultante, ou plus simplement vecteur, du torseur TTTT_. Proposition 3 : Pour que le torseur TTTT soit constant, il faut et il suffit que sa résultante R soit nulle.

(8)

Proposition 4 : Soit TTTT un torseur non constant de résultante R. Les moments de TTTT décrivent un plan affine P perpendiculaire à R dans E. Les antécédents de chacun des vecteurs de P forment une droite de direction R.

Preuve : Fixons le point O. On a : ∀M ∈ EEEETTTT_{(M) =}TTTT_{(O) +}R∧∧∧∧

OM

. Lorsque M décrit E E E E_,

OM

décrit E et R_∧∧∧∧

OM

décrit le plan vectoriel R^⊥.

Par conséquent, TTTT(M) décrit le plan affine translaté P = TTTT_{(O) +}R^⊥, plan qui a pour équation : ( R | TTTT_(M)) = ( R | T T T T_(O)).

Soit

h

un vecteur de P. TTTT_{(M) =}

h

⇔ TTTT_{(O) +}R∧∧∧∧

OM

=

h

⇔ R∧∧∧∧

OM

=

h

− TTTT_{(O) .}

La division vectorielle montre qu’il y a une infinité de vecteurs

OM

vérifiant cette propriété ; ils forment une droite affine de direction R.

3.2. Représentations d’un torseur.

Proposition 4 : Pour tout triplet (A,R,

G

)_∈EEEE_×_E_×E, il existe un unique torseur TTTT, de résultante R, tel que TTTT_{(A) =}

G

.

Preuve : Si ce torseur existe, il est donné par

∀M ∈EEEETTTT_{(M) =}

G

+ R_∧∧∧∧AM .

Réciproquement, le champ de vecteur ainsi défini est un torseur, de résultante R, tel que TTTT_{(A) =}

G

. Notant T(EEEE) l’espace vectoriel des torseurs sur EEEE, l’application

Φ : (A, R,

G

)_∈EEEE_×_E_×_E_→T T T T _∈_∈_∈_∈T(EEEE₎ ainsi définie est surjective. Mais elle n’est pas injective.

Proposition 5 : Pour que les triplets (A,R,

G

) et (B,

S

,H) de EEEE×E×E définissent le même torseur, il faut et il suffit qu’ils vérifient : R =

S

et H =

G

+ R∧∧∧∧AB.

Preuve : a) Si les triplets (A,R,

G

) et (B,

S

,H) définissent le même torseur TTTT_{, alors :}

R =

S

comme résultante de TTTT_{, et}H= TTTT(B) ==== T T T T_{(A) +}

S

_∧∧∧∧AB = TTTT_{(A) +}R_∧∧∧∧AB =

G

+ R_∧∧∧∧AB. b) Réciproquement, supposons R =

S

et H =

G

+ R_∧∧∧∧AB. Soit TTTT₌_Φ(B,

S

,H).

Alors ∀M ∈EEEETTTT_{(M) =}H +

S

_∧∧∧∧BM =

G

+ R_∧∧∧∧AB + R_∧∧∧∧BM =

G

+ R_∧∧∧∧AM. Donc T = T = T = T = _Φ(A,R,

G

). Cqfd.

On peut ainsi identifier T(EEEE) à l’ensemble quotient (EEEE_×_E_×_E)/RRRR_{, où}RRRR est la relation d’équivalence sur EEEE×E×E définie par (A, R,

G

)RRRR(B,

S

,H) ⇔ [ R =

S

et H =

G

+ R∧AB ]. Nous dirons que le triplet (A, R,

G

)_∈EEEE_×_E_×E est un représentant du torseur T T T T _si_Φ_(A,R,

G

) = T.T. T.T.

Proposition 6 : Fixons un point A de EEEE. L’application ΦA : (R,

G

) ∈ E×E → Φ(A,R,

G

) ∈ T(EEEE₎ est une bijection, et un isomorphisme d’espaces vectoriels.

L’application P_A : T T T T _∈ T(EEEE₎ _→ ( R, TTTT_(A))_∈_E_×E est un isomorphisme d’espaces vectoriels, réciproque de ΦA. R et TTTT(A) sont appelés éléments de réduction du torseur TTTT au point A, ou encore coordonnées vectorielles de TTTT_{en A.}

(9)

3.3. Equations du champ.

Rapportons EEEEà un repère orthonormé direct (O,

i

,j,

k

) .

Notons (a, b, c) les composantes de R. Et (X₀, Y₀, Z₀) celles de TTTT(O) dans la base (

i

,j,

k

). Si le point P a pour coordonnées (x, y, z), le vecteur TTTT(P) a pour composantes :

 X = X₀ + bz – cy  Y = Y₀ + cx – az  Z = Z₀ + ay – bx

Si A a pour coordonnées (x_A, y_A, z_A), si (X_A, Y_A, Z_A) sont les composantes de TTTT(A) dans la base (

i

, j,

k

) et (a, b, c) celles de R, si enfin le point P a pour coordonnées (x, y, z), le vecteur TTTT_{(P) aura} pour composantes :

 X = X_A + b ( z – z_A) – c ( y – y_A)  Y = Y_A + c ( x – x_A) – a ( z – z_A)  Z = Z_A + a ( y – y_A) – b ( x – x_A) 3.4. Critères d’égalité de deux torseurs.

Proposition 7 : Pour que deux torseurs soient égaux, il faut et il suffit qu’ils aient même résultante, et qu’il existe un point en lequel leurs moments soient égaux.

Preuve : cela découle aussitôt de ce qui précède.

Proposition 8 : Pour que deux torseurs soient égaux, il faut et il suffit qu’il existe trois points non alignés A, B et C en lesquels leurs moments soient égaux.

Preuve : Cela revient à dire que l’application linéaire

φ : T T T T _∈_∈_∈_∈T(EEEE₎ _→ (TTTT_(A),TTTT_(B),TTTT_(C)) ∈ E×E×E.

est injective, autrement dit que son noyau est réduit au torseur nul.

SiTTTT_(A)₌TTTT_(B)₌TTTT_{(C) =} 0, R ∧∧∧∧ AB = R ∧∧∧∧

AC

= 0.

Le vecteur R est colinéaire à AB et à

AC

, vecteurs non nuls et non colinéaires.

Cela implique que R = 0. Le torseur TTTTest constant, et nul en un point, donc nul. cqfd.

Remarque : L’application φ est injective, mais n’est pas bijective, puisque dim T(EEEE₎ _{= 6 et} dim(E×E×E) = 9. En d’autres termes, les valeurs TTTT_(A),TTTT_{(B) et}TTTT(C) ne sont pas quelconques. Nous reviendrons sur ce point en exercice.

3.5. Exemples de torseurs.

1) Les « couples ».

On désigne sous ce terme les torseurs constants. On note CCCC_{= c(}

u

) le couple de moment

u

. Ils forment un sous-espace vectoriel de dimension 3 de T(EEEE), car isomorphe à E.

Avec les notations précédentes, c(

u

) = Φ(A, 0,

u

), quel que soit le point A.

2) Les « glisseurs ».

Soit (A, R) ∈ EEEE×E. Le champ de vecteurs GGGG_{: P →}R∧∧∧∧AP est un torseur de résultante R. En effet, GGGG_{(Q) =}GGGG_{(P) +}R_∧∧∧∧AP. Les torseurs de ce type sont appelés « glisseurs ».

Ce glisseur est noté GGGG_{= g(A,}R).

Avec les notations précédentes, g(A, R) = Φ(A, R, 0).

Nous étudierons et caractériserons les glisseurs dans la suite.

(10)

3) Généralisation.

Soit (A_i, Ri ) ∈ EEEE_×_{E (1}_≤_i_≤ k). Le champ de vecteurs TTTT_{: P}_→

∑

=^k ∧

i

i AP

R

1

est un torseur de résultante R =

∑

= k

i

Ri 1

(comme somme de glisseurs).

Soient I = [0, 1], s ∈ I → A(s) ∈ EEEE un arc paramétré continu et s ∈ I → R(s) ∈ E une fonction vectorielle continue. Considérons le champ défini sur EEEE_{par :}

T T T

T_{(P) =}

∫

₀¹

^R

⁽

^s

⁾^∧

^A

⁽

^s

⁾

^P

^.

^ds

^.

Ce champ est un torseur, car : T

T T

T_{(Q) =}TTTT_{(P) +}

∫

₀¹

^R

⁽

^s

⁾^∧

^PQ

^.

^ds

⁼

∫

₀¹

^R

^{( ds}

^s

⁾^. ^∧^PQ^.

Ce torseur a pour résultante R =

∫

₀¹

^R

^{( ds}

^s

⁾^. ^(version intégrale de l’exemple précédent).

4. Axe central d’un torseur.

Théorème et définition : Soient T T T T un torseur non constant sur EEEE, de résultante R. L’ensemble des points P tels que TTTT_{(P) et}R soient colinéaires est une droite affine ∆ de EEEE, de vecteur directeur R. Cette droite est donnée par ∆ = { P ;

OP

=

² ) ( R

O

R∧T ₊_λR, λ∈ R }, le point O étant quelconque.

Elle est appelée axe central du torseur.

Preuve : Comme R ≠ 0, TTTT_{(P) et}R sont colinéaires ⇔ ∃α∈ R TTTT_{(P) =}_αR. Fixons un point O de EEEE_{. On a}TTTT_{(P) =}TTTT_{(O) +}R ∧∧∧∧

OP

= αR.

Il vient : (TTTT_{(O) |}R ) = α ||R ||², donc α =

² ) ) ( (

R R O

T

, ce qui fixe la valeur de α.

Le vecteur

OP

doit vérifier R ∧∧∧∧

OP

= αR ₋TTTT_(O), c’est-à-dire, en vertu de la division vectorielle :

OP

=

² ) ( R

O

R∧T ₊_λR, λ∈ R .

Réciproquement, si

OP

=

² ) ( R

O

R∧T ₊_λR, par division vectorielle, on obtient :

TT

TT_{(P) =}TTTT_{(O) +}R ∧∧∧∧

OP

= T T T T_{(O) +}R ∧∧∧∧

² ) ( R

O R∧T _{= α}

R, où α =

² ) ) ( (

R R O T

.

Autre preuve : Fixons un point O de EEEE_. T

T T

T_{(P) et}R colinéaires ⇔ R∧∧∧∧TTTT_{(P) =}0 ⇔ R ∧∧∧∧(TTTT_{(O) +}R ∧∧∧∧

OP

) = 0 ⇔ R ∧∧∧∧( R ∧∧∧∧

OP

) = − R∧∧∧∧TTTT(O) (*)

C’est une équation linéaire, d’inconnue

OP

, de la forme F(

OP

) = − R∧ TTTT_{(O) ,} où F(

x

) = R _∧∧∧∧( R _∧∧∧∧

x

).

F est un endomorphisme symétrique, comme composé de deux endomorphismes antisymétriques.

Je dis que Ker F = {_λR ; λ∈ R }.

En effet F(

x

) = 0 ⇔ R ∧∧∧∧

x

est colinéaire à R

⇔ R ∧∧∧∧

x

= 0 , car R ∧∧∧∧

x

est orthogonal à R.

(11)

⇔

x

est colinéaire à R. Du coup, Im F = ( Ker F )^⊥ = {_λR ; λ∈ R }^⊥.

Comme − R∧∧∧∧TTTT(O) est orthogonal à R, − R∧∧∧∧TTTT_(O)_∈_{Im F.}

Il existe donc un point P₀ tel que F(

OP

₀ ) = − R∧∧∧∧TTTT(O), et les solutions de (*) forment la droite affine ∆ passant par P₀ et dirigée par R.

Reste à trouver un tel point P₀. Cherchons-le de sorte que ( R |

OP

0 ) = 0, autrement dit cherchons l’orthoprojection de O sur ∆.

Il vient

OP

0 =

² ) ( R

O T

R∧ , qui satisfait bien ( R |

OP

0 ) = 0, donc (*).

Par conséquent la solution générale de (*) est

OP

=

² ) ( R

O T

R∧ ₊_λR, où λ décrit R . L’ensemble cherché est la droite affine ∆ passant par P0 et dirigée par R. Cqfd.

Soient P et Q deux points de l’axe central ∆. T

T T

T_(Q)₋TTTT_{(P) =}R ∧∧∧∧ PQ = 0 puisque PQ est colinéaire à R. Par conséquent le torseur TTTT est constant le long de l’axe central.

Il existe une constante réelle h telle que ∀A ∈ ∆ TTTT_{(A) = h}R.

Que vaut cette constante h ? Nous connaissons un point de ∆, le point P₀ trouvé ci-dessus.

T T T

T_(P₀_{) =}TTTT_{(O) +}R_∧∧∧∧

OP

₀ = TTTT_{(O) +}R_∧∧∧∧

² ) ( R

O

R∧T ₌

)

² ) ( (

R O T

R R .

En résumé :

Proposition 2 : Soient T T T T un torseur non constant sur EEEE, de résultante R et d’axe central ∆.

Le torseur TTTT prend des valeurs constantes le long de l’axe central ∆, et cette valeur vaut

)

² ) ( (

R O T

R R. Ce vecteur, indépendant du point O choisi, est appelé invariant vectoriel du torseur.

Exemple : Soient (A, R) ∈ EEEE_×E,GGGG_{: P →}R ∧∧∧∧ AP le glisseur associé.

Si R ≠ 0, l’axe central de GGGG est la droite A + R.R.

Proposition 3 : Soient T T T T un torseur non constant sur EEEE, de résultante R et d’axe central ∆. L’axe central est le lieu des points P en lesquels le moment est de norme minimum.

Preuve : Soient O un point de l’axe central, P un point quelconque.

La relation T T T T_{(P) =}TTTT_{(O) +}R∧∧∧∧

OP

implique

||TTTT_(P)||² = ||TTTT_(O)||² + || R_∧∧∧∧

OP

||² + 2 ( TTTT_{(O) |}R_∧∧∧∧

OP

).

Or ce dernier terme est nul, car TTTT(O) est colinéaire à R. Par conséquent ||TTTT_(P)||² = ||TTTT_(O)||² + || R_∧∧∧∧

OP

||²

Ainsi ||TTTT_(P)||²_≥||TTTT_(O)||² , avec égalité ssi

OP

est colinéaire à R, i.e. ssi P ∈∆. cqfd

Remarque : pour l’instant, seuls les torseurs de résultante non nulle ont un axe central ; les torseurs de résultante nulle, c’est-à-dire les couples, n’en ont pas. On remédie à cette situation en adoptant les conventions suivantes :

On convient d’appeler axe central du torseur nul toute droite de EEEE_.

On convient d’appeler axe central d’un couple non nul toute droite parallèle à son moment.

(12)

Proposition 4 : Soit ∆ une droite affine. Les torseurs admettant ∆ comme axe central forment un plan vectoriel.

Preuve : Soient O un point de ∆,

u

un vecteur unitaire parallèle à ∆.

Pour qu’un torseur de résultante non nulle TTTT_admette_∆ comme axe central, il faut et il suffit que P_O(TTTT) = ( R, TTTT(O)) soit de la forme (λ

u

, µ

u

), où λ ≠ 0.

Pour qu’un torseur de résultante nulle TTTT admette ∆ comme axe central, il faut et il suffit que P_O(TTTT) = ( R, TTTT(O)) soit de la forme (0, µ

u

).

Donc, pour qu’un torseur quelconque TTTT_admette_∆ comme axe central, il faut et il suffit que P_O(TTTT) = ( R, TTTT(O)) soit de la forme (λ

u

, µ

u

), où λ et µ sont quelconques.

Les couples de la forme (λ

u

, µ

u

) forment un plan vectoriel de E×E, Equations cartésiennes de l’axe central.

Reprenant les notations de 3.2, le point P(x, y, z) appartient à l’axe central ssi a X ₌

b Y ₌

c Z _, autrement dit :

a bz cy X

0− +

=

b

az cx Y

0+ − =

c bx ay Z

0+ −

,

en convenant que si l’un des dénominateurs est nul, le numérateur correspondant doit être nul.

Simplification des équations du champ.

Soit T T T T un torseur non constant, de résultante R et d’axe central ∆. Choisissons un repère orthonormé direct (O,

i

, j,

k

) tel que R

k

= ∆. Soient (0, 0, Z₀) les composantes de TTTT(O) dans la base (

i

, j,

k

) et (0, 0, c) celles de R. Si P a pour coordonnées (x, y, z), TTTT(P) a pour composantes :

X = – cy , Y = cx , Z = Z₀

||TTTT_(P)||² = X² + Y² + Z² = c²( x² + y² ) + Z₀² est minimum ssi x = y = 0, autrement dit ssi P ∈ ∆.

L’invariant vectoriel de TTTT_{est Z}₀_.

k

, son invariant scalaire cZ₀. 5. Invariant scalaire, comoment de deux torseurs.

5.1. Comoment.

Théorème et définition 1 : Soient TTTT₁_etTTTT₂ deux torseurs sur EEEE, de résultantes respectives

R

₁ et

R

₂. La fonction numérique θ définie sur EEEE_{par :}

∀P ∈EEEE_θ_{(P) =}(

R

₁ | TTTT₂(P)) + (

R

₂| TTTT₁(P)).

est constante. Sa valeur est appelée comoment des torseurs TTTT₁_etTTTT₂_{et notée}CCCC₍TTTT₁_,TTTT₂_).

Preuve : Soient P et Q deux points quelconques deEEEE_.

θ(Q) −θ(P) = (

R

₁| TTTT₂(Q) −TTTT₂(P)) + (

R

₂| TTTT₁(Q) −TTTT₁(P)) = (

R

₁ |

R

₂_∧∧∧∧PQ) + (

R

₂|

R

₁ _∧∧∧∧PQ)

= [

R

₁ ,

R

₂,PQ] + [

R

₂,

R

₁ ,PQ] = 0 par antisymétrie du produit mixte [ , , ] .

Corollaire 1 : Si TTTT₁₌_Φ(A₁,

R

₁,

G

₁ ) et TTTT₂ = Φ(A₂,

R

₂,

G

₂) , C

C C

C₍TTTT₁_,TTTT₂_{) =}(

R

1 |

G

2) + (

R

2|

G

1 ) + [

R

1 ,

R

2,

A

2

A

1]

= (

R

1| TTTT₂_(A₂)) + (

R

2| TTTT₁_(A₁)) + [

R

1 ,

R

2,

A

2

A

1] .

(13)

Preuve : CCCC₍TTTT₁_,TTTT₂_{) =}(

R

₁ | TTTT₂(P)) + (

R

₂| TTTT₁(P)) = (

R

₁ | TTTT₂_(A₁)) + (

R

₂| TTTT₁_(A₁))

= (

R

1 | TTTT₂_(A₂)) + (

R

1 |

R

2_∧∧∧∧

A

2

A

1) + (

R

2| TTTT₁_(A₁)) = (

R

₁| TTTT₂_(A₂)) + [

R

₁,

R

₂,

A

₂

A

₁ ] + (

R

₂| TTTT₁_(A₁)) Corollaire 2 : comoment de couples et de glisseurs.

SiTTTT₁_{= c(}

u

₁ ) et TTTT₂= c(

u

₂), CCCC₍TTTT₁_,TTTT₂_{) = 0} SiTTTT₁_{= c(}

u

) et TTTT₂= g(A, R) , CCCC₍TTTT₁_,TTTT₂_{) = (}

u

|R).

Si TTTT₁= g(A₁,R1 ) et TTTT₂= g(A₂,

R

2) , CCCC₍TTTT₁_,TTTT₂_{) =}[

R

1 ,

R

2,

A

2

A

1 ]

Définition 2 : Le réel q(TTTT_{) =}( R | TTTT(P)) , indépendant du point P, est appelé invariant scalaire du torseur TTTT_.

Bien entendu, Q = 2q n’est autre que la forme quadratique associée au comoment.

Il découle du § précédent que si T T T T est un torseur non constant, de résultante R et d’axe central ∆, le torseur TTTT prend des valeurs constantes sur ∆, et cette valeur vaut

² ) ( R

T

q R, invariant vectoriel de TTTT_. Théorème 2 : L’application comoment CCCC_{: (}TTTT₁_,TTTT₂₎_∈T(EEEE) _× T(EEEE) _→CCCC₍TTTT₁_,TTTT₂₎_∈ R est une forme bilinéaire symétrique sur T(EEEE), non dégénérée, de signature (3, 3).

Preuve : Le caractère bilinéaire symétrique est immédiat.

Rapportons EEEEà un repère orthonormé direct (O,

i

, j ,

k

). Soient et (a_i, b_i, c_i) les composantes de Ri

et (X_i, Y_i, Z_i) celles de TTTT_i(O) dans la base (

i

, j ,

k

). Il vient : C

C C

C₍TTTT₁_,TTTT₂_{) = a}₁_.X₂_{+ b}₁_.Y₂_{+ c}₁_.Z₂_{+ a}₂_.X₁_{+ b}₂_.Y₁_{+ c}₂_.Z₁_. La forme quadratique associée est :

Q(TTTT_{) = 2 q(}TTTT_{) = 2}( R | TTTT(P)) = 2 ( a.X + b.Y + c.Z )

= ½ [ ( a + X )²+ ( b + Y )² + ( c + Z )² – ( a − X )²− ( b − Y )²− ( c −^{Z )}²] Il s’agit d’une décomposition en carrés de Gauss (formes linéaires indépendantes).

On en conclut aussitôt que Q, q et CCCC ont pour signature (3, 3). cqfd

Remarques : 1) La matrice de CCCC et de Q relativement à la base associée est

















0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

.

Elle a pour valeurs propres 1, 1, 1, −1, −1, −1.

2) On aurait pu présenter les choses dans un autre ordre, en notant successivement que : a) le réel q_P(TTTT_{) =}( R | TTTT(P)) est indépendant du point P ;

b) 2q est une forme quadratique sur T(EEEE), dont la forme polaire est la forme bilinéaire symétrique C

C C

C_P : ( TTTT₁_,TTTT₂_{) →}(

R

1 | TTTT₂_(P)) + (

R

2| TTTT₁_(P)) ;

c) il résulte de a) que CCCC_P( TTTT₁_,TTTT₂ ) est indépendant de P.

Corollaire : L’espace vectoriel quadratique réel (T(EEEE), CCCC, Q) est régulier, et c’est même un espace hyperbolique ou artinien.

Preuve : Voir mon chapitre d’Algèbre bilinéaire sur les Espaces vectoriels quadratiques réguliers.

(14)

Théorème 3 : Soient TTTT₁_etTTTT₂deux torseurs de résultantes non nulles

R

₁ et

R

₂, A₁ et A₂ des points situés sur leurs axes centraux respectifs ∆1 et ∆2.

CCCC₍TTTT₁_,TTTT₂₎₌

[

² ) (

1 1

R T q +

² ) (

2 2

R T

q

]

.(

R

1 |

R

2) + [

R

1 ,

R

2,

A

2

A

1] .

Preuve : C

C C

C₍TTTT₁_,TTTT₂_{) = (}

R

₁ | TTTT₂(A₂)) + (

R

2| TTTT₁(A₁)) + [

R

1 ,

R

2,

A

2

A

1 ] en vertu du corollaire 1 du th 1.

=

² ) (

2 2

R T

q (

R

1 |

R

2)+ (

R

1 |

R

2_∧∧∧∧

A

2

A

1 ) +

² ) (

1 1

R T

q (

R

1|

R

2). Cqfd.

Corollaire : Soient TTTT₁_etTTTT₂deux torseurs de résultantes non nulles

R

1 et

R

2, ∆1 et ∆2 leurs axes centraux respectifs.

C C C

C₍TTTT₁_,TTTT₂₎₌

[

² ) (

1 1

R T q +

² ) (

2 2

R T

q

]

.(

R

1 |

R

₂)_± d(_∆₁, ∆2).||

R

1 _∧∧∧∧

R

₂||.

Preuve : Supposons d’abord

R

₁ _∧∧∧∧

R

₂ _≠ 0. Les deux axes centraux ne sont pas parallèles.

Soit D leur perpendiculaire commune. Elle coupe ∆1 en A₁ et ∆2 en A₂. d(∆1, ∆2) = ||

A

1

A

2||. [

R

1,

R

2,

A

2

A

1] = [

A

2

A

1 ,

R

1 ,

R

2] = (

A

2

A

1 |

R

1 ∧∧∧∧

R

2)

= ± ||

A

2

A

1 ||.||

R

1 _∧∧∧∧

R

₂|| , car les vecteurs

A

₂

A

₁ et

R

₁ _∧∧∧∧

R

₂ sont colinéaires = ±d(∆1, ∆2).||

R

1 ∧∧∧∧

R

2|| . La formule ci-dessus est établie.

Si

R

1 ∧∧∧∧

R

2 = 0,

R

1 et

R

2 sont colinéaires, les deux axes centraux sont parallèles.

Et alors [

R

1 ,

R

₂,

A

₂

A

₁ ] = 0. La formule ci-dessus reste valable.

5.2. Orthogonalités.

Définition 3 : Deux torseursTTTT₁_etTTTT₂de résultantes

R

1 et

R

2 sont dits C

C C

C-orthogonaux (ce qu’on note TTTT₁ ⊥ TTTT₂) s’ils vérifient C C C C(TTTT₁ , TTTT₂) = 0.

orthogonaux (ce qu’on note TTTT₁ ⊥⊥ TTTT₂) s’ils vérifient : (

R

1 |

R

2) = 0 et CCCC(TTTT₁ , TTTT₂) = 0.

Si TTTT₁₌_Φ(A,

R

1,

G

₁ ) et TTTT₂ = Φ(A,

R

₂,

G

2) , T T T T₁ ⊥ TTTT₂ _⇔ (

R

1|

G

2) + (

R

₂|

G

1 ) = 0 T

T T

T₁ ⊥⊥ TTTT₂ ⇔ (

R

1|

R

2) = 0 et (

R

1|

G

2) + (

R

2|

G

1 ) = 0 Si TTTT₁₌_Φ(A₁,

R

1 ,

G

₁ ) et TTTT₂ = Φ(A₂,

R

₂,

G

2) ,

T T T

T₁ ⊥ TTTT₂ _⇔ (

R

1 |

G

2) + (

R

2|

G

1 ) + [

R

1 ,

R

2,

A

2

A

1 ] = 0 T

T T

T₁ ⊥⊥ TTTT₂ _⇔ (

R

1|

R

2) = 0 et (

R

1|

G

2) + (

R

2|

G

1 ) + [

R

1,

R

2,

A

2

A

1 ] = 0 Analytiquement :

− la CCCC -orthogonalité se traduit par une condition :

a₁.X₂ + b₁.Y₂ + c₁.Z₂ + a₂.X₁ + b₂.Y₁ + c₂.Z₁ = 0

− l’orthogonalité se traduit par deux conditions : a₁.a₂ + b₁.b₂ + c₁.c₂ = 0

a₁.X₂ + b₁.Y₂ + c₁.Z₂ + a₂.X₁ + b₂.Y₁ + c₂.Z₁ = 0