F. Laroche - 2008

F. Laroche - 2008

On peut découper l’aire sous la courbe, ici y=f(x)=x², en n rectangles de largeur 1/n, de hauteur f(k/n)=(k/n)².

La somme de ces n rectangles est :

  

2 3

2

3 3 3

1 1

1 2 1

1 1 1 2 ...

6 6

n n

k k

n n n

k k n

n n n n n

 

    

      

   

   

 

Qui tend lorsque n tend vers l’infini vers ¹

3

Cette méthode est difficile à utiliser quand la fonction devient trop compliquée mais est (très) pratique à utiliser avec un ordinateur.

Prenons deux points M(x) et M(x+h) sur (C) ; A(x) et A(x+h) sont les aires comprises entre (C), l’axe (Ox), la droite x=a (ici x=0) et les droites verticales passant par M(x) et M(x+h).

La différence entre ces deux aires est A(x+h) – A(x) qui représente l’aire du trapèze curviligne entre M(x) et M(x+h).

On encadre cette aire par celles des deux rectangles A_S et A_I de largeur h et de hauteurs respec-

tives f(x) et f(x+h) : h f x. ( ) A x h A x(  ) ( ) h f x h. (  )

Divisons ces inégalités par h (on suppose ici que h>0) et passons à la limite quand h tend vers 0 :

( ) ( )

( ) A x h A x ( )

f x f x h

h

    

0 0

( ) ( )

( ) lim '( ) lim ( ) ( )

h h

A x h A x

f x A x f x h f x

h

 

      

La fonction A est donc une primitive de f

   

'

A x  f x

. ( ) ( ) ( ) . ( )

h f x  A x h A x   h f x h

Attention au sens de variation de f quand même…

En général on a donc F une primitive de f, alors A(x)= F(x)+K.

Comme A(a)=0, K= – F(a), d’où

A(x)=F(x) – F(a) et l’aire cherchée est

A(b) = F(b) – F(a).

On note

On lit « intégrale de f entre a et b »

 

A b 



 

( ) ( ) ( ) ( )

b b

f x dx F x a  F b F a



 

 

     

   

2 3

1 1

2

0 0

1 1

2 3

0 0

Un exemple

1 3

1 1 0 1

3 1

1 1

3 3

f x x

F x x

A F F

A f t dt t dt

t dt t





  

 

 

  

 



 Choisir une belle fonction f bien mûre.

 Mettre dans le saladier une primitive F quelconque de f.

 Calculer F(b)−F(a) et saupoudrer d’épices.

 Multiplier éventuellement par l’unité d’aire pour faire bon poids.

 Secouer violemment et servir froid.

 Pour l’aire entre deux courbes, enlever celle de dessous, puis suivre les

instructions précédentes.

 Si la courbe est sous l’axe ou coupe l’axe, se débrouiller…

i  j

 

 Evident :

 Moins évident :

 Encore moins évident :

     

   

b b b b b

a f g t dt  a f t dt a g t dt a kf t dt k a f t dt

    

   

si et ^{b b}

a a

a t b  f  g





 

 

si ^b

m f t M m a f t dt M

    b a 





1 ^b  

a f t dt b a



 Le nombre est la valeur moyenne de f sur [a, b].

 La formule ne marche pas lorsque n=−1.

 La fonction 1/x est continue sur , elle a donc une primitive.

 On définit une nouvelle fonction comme la primitive de 1/x qui s’annule pour x=1.

 On a même le tableau de variations de cette fonction :

1 1

' ⁿ 1 ⁿ

u u u

n

 



^{0 ;}

x 0 1 e

f’(x) +



f(x)





0

1

 La fonction définie par est donc appelée logarithme néperien.

 Evidemment et grâce au théorème sur la dérivée des fonctions composées, on a .

  1

ln x ^x1dt





^lnu^{' u}_u^'

  ¹

ln x '

   x

 

 La tangente au point L a pour équation

La distance BC vaut donc

Cette propriété suffit à caractériser ln.

 

1 ln 1 1 ln

y x a a x a

a a

     

 

ln 1 ln 1

C B

y y  a   a 

 Si on dérive uv et que l’on divise par uv, on a

 Intégrons cette relation (en pensant à la constante d’intégration K) :

 Prenons par exemple u=v=1, on a alors 0=0+0+K donc K=0 et la relation qui a fait le succès des logarithmes dès leur plus tendre enfance :

 Prenons pour v l’inverse de u :

 Par récurrence on a pour n entier :

 Puis en posant , on obtient

 uv ^' u v uv' ' u v uv' ' u v' '

uv uv uv uv u v

     

 

ln uv lnulnv

 ^{uv ' u' v' K ln} ^{uv lnu lnv K}

uv  u  v     

  

1 ln ln1 ln 1 ln1 0 ln1 ln

v u u u

u u u u

 

          

 

ln uⁿ n uln

n 1n

u   U u U

1 1

ln ln ln ln

p

n q p

u u u u

n q

 

 

 

     

 

   

 La relation est donc valable pour x rationnel (quotient de deux entiers relatifs).

 En fait si on prend un réel x, on pourra toujours trouver deux rationnels m et M tels que où m et M sont aussi proches de x qu’on le souhaite : par exemple

 On peut alors définir un nombre y tel que avec et puisque ln est continue monotone croissante.

 On peut s’en sortir plus simplement en considérant que ln est continue

monotone strictement croissante, qu’elle est « bijective » et donc qu’il existe pour tout x > 0 un unique y tel que y=lnx ; réciproquement il existe un seul x > 0 pour tout y réel tel que , fonction réciproque de ln.

 Comme on a , on doit avoir , ce qui donne

soit ainsi que

lne1

 

ln u^x  x uln

m x M 

3,14  3,15 ; 3,141  3,142 ; 3,1416  3,1417

y u x _u^m _u^x _u^M

     

ln u^m ln u^x ln u^M

 

ln 1

x ^ y

 

ln 1 1 e ^

y ln

x e  x y e^lna  a e^{x aln}  a^x

ln ln ^y ln y y e  e  x

 Les courbes de la fonction ln et de sa réciproque exp sont symétriques par rapport à la droite y=x.

 En utilisant la dérivée de la réciproque, on a

 Avec la dérivée des fonctions composées :

 Les tableaux de variation sont réciproques : x devient y et y devient x.

 

 



 

 

x 0 1 e

1/x +



ln(x)





0

1

x 0 1

exp(x) +



exp(x)



0

1

e



ln exp on pose u=e^x, v=e^y

on pose u=e^x, v=e^y on pose u=e^x

on pose x=e^X, quand xtend vers , Xaussi.

on pose Y=−X, quand Xtend vers , Ytend vers . ln est dérivable en 1, avec

la définition on a : exp dérivable en 0, avec

la définition on a :

lnxdx x x x ln 



 

ln uv lnulnv ^ln

 

 

ln u v/ lnulnv ^ln





lim ln 0

x

x

x ^

  lim ln_X^X 0 lim _X 0 lim ^X

x x x

e X e

e e X

 

        



  lim ^X lim ^Y lim ^Y 0

X Y Y

e e Ye

X Y



         



 

ln uⁿ n uln ln   e^{x n} n eln ^x nx  e^{x n} e^nx

   

0

ln 1 1

lim ln' 1 1

1

x

x x



    ⁰

0

lim ^x 1 1

x

e e

x

   

ax b 1 ax b

e dx e

a

  



 On cherche les fonctions f telles que avec

 Comme , on a

 Conclusion : les solutions sont les fonctions

 Si on a : essayons de résoudre avec une fonction du type ; on remplace dans l’équation, ce qui donne

 Il reste juste à trouver g puis f :

 Conclusion : les solutions sont les fonctions

   

'

f x af x ^{f x} ₀ ^y₀

        

' ln ^{ax K K ax K ax ax}

f x a f x ax K f x e e e f x e e Ce

f x

           

 0 0

f x y ^y₀ ^{Ceax0  C y e}₀ ^{ax0 f x} ^{y e}₀ ^{ax0eax y e}₀ ^{a x x  0}

   

'

f x af x b

    ^ax

f x  g x e





  ^{1 ax}     ^{ax ax b}

g x b e C f x g x e Ce

a a

      



 

f x Ce

 

f x Ce

 a

 Dans de nombreux cas on ne sait pas résoudre les équations différentielles, ou alors c’est trop compliqué, ou encore ça ne sert à rien…

 L’idée développée dès les débuts du calcul différentiel fut de remplacer la définition de la dérivée comme limite par une définition approchée . Plutôt que de prendre

on prend avec h petit.

 On a alors deux suites : une pour les abscisses et une pour les ordonnées :

 En traçant la suite de points on a une assez bonne représentation des courbes intégrales (solutions).

     0  0   0

0 0 0 0

' lim lim

x x h

f x f x f x h f x

f x ^ x x ^ h

  

 



  0 ⁰   ⁰  0   0  0

' f x h f x '

f x f x h f x hf x

h

 

    

1

n n

x _  x h

       

1 ' '

n n n n n n

y_ f x h f x hf x  y hf x

 x yn ^; n 

F. Laroche – 2008

http://laroche.lycee.free.fr