L'algèbre a été créée et développée par des mathématiciens de langue arabe pour résoudre des équations.
Elle fut reprise par des mathématiciens en Italie au XVIe siècle. A la fin du XVIIIe siècle, il fallait un seul livre à Lagrange pour faire le point des connaissances acquises en algèbre, et aujourd'hui plusieurs livres sont nécessaires. Les mathématiciens sont passés d'un problème comme " trouver un nombre dont le double du carré diminué de 5 fois lui-même fait 20 " à " résoudre l'équation 2x² − 5x = 20 ".
L'objectif de ce chapitre est de pouvoir résoudre un problème du type : Pour transporter des meubles entre mon domicile et Paris, je me suis adressé à deux loueurs de véhicules utilitaires. L'un m'a proposé un " Master " pour 70 € par jour, et 0,10 euro par kilomètre parcouru, l'autre, un " Daly " pour 30 € par jour, et 0,20 euro par kilomètre parcouru. Quelle formule dois-je choisir si j'ai un trajet de 350 km à effectuer ? Et si j'effectue un trajet de 450 km ? 1 Définitions.
Une équation est une égalité dans laquelle figure une inconnue.
Résoudre une équation, c’est trouver les réels, s’ils existent, qui rendent vraie l’égalité.
Ces réels sont appelés solutions de l'équation.
x2 − 3x = 0 est une équation. 5 est-il solution de cette équation ? 3 est-il solution de cette équation ? Voir annexe.
A chaque fois que la consigne est " résoudre une équation " , il faut conclure à l'aide d'une phrase du type : L'ensemble des solutions est { … }. Ou bien L'équation n'a pas de solution.
E1 Savoir dire si un nombre est solution d'une équation.
N ° 1 On considère l'équation suivante : 2x² + 2x − 4 = 0 Le réel 1 est - il solution de cette équation ?
Vérifier que le réel 2 n'est pas solution de cette équation.
Démontrer que le réel - 2 est solution de cette équation.
Justifier que le réel 3 n'est pas une solution de cette équation.
Pourquoi - 4 n'est pas une solution de cette équation ? 2 Résoudre une équation du type ax + b = 0.
x + a = b ⇔ x = b – a
Lorsqu’on ajoute ou que l’on retranche un même réel aux deux membres d’une équation, on obtient une équation qui a exactement les mêmes solutions.
Autrement dit : dans une équation, on peut ajouter ou retrancher la même expression de chaque côté du signe égal.
Résoudre l'équation x + 5 = 7. Voir feuille annexe.
Si a est un nombre non nul alors a x = b ⇔ x = a b
Lorsqu’on multiplie ou que l’on divise par un même réel non nul, chaque membre d’une équation, on obtient une équation qui a exactement les mêmes solutions.
Autrement dit : dans une équation, on peut multiplier ou diviser les deux membres par le même nombre.
( ce nombre ne peut pas être égal à zéro ).
Exemple : résoudre l'équation 3x = 8. Voir feuille annexe.
Cas particuliers : a = 0 on obtient 0 x = b
si b = 0 alors tout nombre réel est solution de l’équation. Donc l'ensemble des solutions est . si b ≠ 0 alors l’équation n’a pas de solution.
Exemple : résoudre l'équation 5x + 8 = 7. Voir feuille annexe.
E2 Savoir résoudre des équations du type ax + b = 0.
N ° 2 Résoudre dans les équations suivantes :
a ) x + 2 = 0 b ) - x + 3 = 0 c ) x − 4 = 0
d ) -x − 5 = 0 e ) 3x = 4 f ) - 5x = 6
g ) 5x = - 7 h ) -6x = - 8 i ) 2x + 1 = 0
j ) -3x + 2 = 0 k ) 2x + 3 = -3x + 5 m ) 2x − 1 + 3 ( 2 − x ) = 4x − 1
n ) 3x − 5 − ( x + 2 ) + 5 = 3 ( 2x − 1 ) p ) 2 − 1
3 ( x − 1 ) + 5
4 ( 3 − 2x ) = 4 3 Equation du type x² = a.
Premier cas : a < 0 x² = a.
a est un nombre négatif. Or, un carré est toujours positif.
D'où cette égalité est impossible. Donc l’équation n’a pas de solution.
Exemple : résoudre x² + 4 = 0. Voir feuille annexe.
Deuxième cas : a = 0
x² = 0 ⇔ x × x = 0 ⇔ x = 0 L'ensemble des solutions est { 0 }.
Ecrire la phrase expliquant le raisonnement ci-dessus. Voir feuille annexe.
Troisième cas : a > 0.
Alors x² = a ⇔ x = − a ou x = a. L'ensemble des solutions est {− a ; a }.
Autre notation : a = 2
1
a . Autrement dit : 2
1
a est le réel positif dont le carré est égal à a c'est à dire 2
a × 1 a = a.21
Exemple : résoudre x² = 7. Voir feuille annexe.
E3 Savoir résoudre des équations du type x² = a.
N ° 3 Résoudre dans les équations suivantes :
A ) x² − 1 = 0. B ) x² + 1 = 0. C ) x² = 9 . D ) 4x² = 1.
N ° 4 Soit x la longueur du côté d'un carré. Soit f ( x ) l'aire de ce carré.
1 ) Exprimer f ( x ) en fonction de x.
2 ) Déterminer la longueur du carré lorsque l'aire vaut 15 cm²
La réponse sera donnée sous forme de valeur exacte puis de valeur approchée à 0,01 près.
4 Equation produit.
Une équation produit est une équation se ramenant à A ( x ) × B ( x ) = 0.
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des deux facteurs est nul.
A ( x ) × B ( x ) = 0 ⇔ A ( x ) = 0 ou B ( x ) = 0.
Exemple : résoudre dans l’équation ( 2x + 1 ) ( x − 2 ) = 0. Voir feuille annexe.
E4 Savoir résoudre des équations produit.
N ° 5 A ) ( x − 1 ) ( x + 2 ) = 0 B ) - 2 ( 3x + 2 ) ( x − 3 ) = 0 C ) ( x + 2 ) ( x − 1 ) ( 4x − 5 ) = 0 D ) 3 ( x + 1 ) − ( x + 1 ) ² = 0
5 Méthode pour résoudre d'autres types d'équations produit.
1 ) Ecrire l'équation à résoudre.
2 ) Obtenir un membre nul.
3 ) Ecrire le membre non nul sous la forme d’un produit de facteurs ( cad factoriser le membre non nul ) 4 ) Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des deux facteurs est nul.
5 ) Ecrire la phrase conclusion.
Exemple : résoudre dans l'équation ( -x + 5 )² = ( 4x + 1 )². Voir feuille annexe.
E5 Savoir résoudre des équations en factorisant.
N ° 6 A ) 3x² = 9x
B ) ( x − 1 ) ( 2x + 3 ) = ( x − 1 ) ( x − 2 ) C ) ( 3x + 2 )² = ( 5 − 2x )²
D ) ( x + 2 )² = x² − 4 6 Equation quotient.
Une équation quotient est une équation se ramenant à ) x ( B
) x ( A = 0 .
Un quotient de facteurs est nul si et seulement si son numérateur est nul et son dénominateur est non nul.
) x ( B
) x (
A = 0 ⇔ A ( x ) = 0 et B ( x ) ≠ 0.
Exemple : résoudre dans l'équation 1 x 4
2 x
3 −+ = 0. Voir feuille annexe.
E6 Savoir résoudre des équations quotient.
N ° 7 Résoudre dans les trois équations suivantes :
3 x 2
x 2 5−+ = 0
) x 2 10 )(
1 x 7 (
x 5 +
− + = 0
8 x
) 1 x 3 )(
7 x 2
( − + + = 0
7 Méthode pour résoudre d'autres types d'équations quotient.
1 ) Ecrire l'équation à résoudre.
2 ) Obtenir un membre nul en écrivant que le ou les dénominateurs doivent être non nuls.
3 ) Ecrire le membre non nul sous la forme d'un quotient de facteurs. ( Mettre au même dénominateur ).
4 ) Un quotient de facteurs est nul si et seulement si son numérateur est nul et si son dénominateur est non nul.
5 ) Ecrire la phrase conclusion.
Exemple : résoudre l’équation : 3 2 x
1 x
2 =
−
+ . Voir feuille annexe.
E7 Savoir résoudre des équations quotient en les réduisant au même dénominateur.
N ° 8 A ) 1 x
3 x
2+− = 4 B )
x 2
x 2 1−− =
x 2
x 2
3++ C ) x 1
+1 = x 1
−1 D ) x − 2 = 2 x
5+
8 Mise en équation d’un problème.
1 ) Lire l’énoncé.
2 ) Choix de l’inconnue et des contraintes liées à ce choix.
3 ) Mise en équation 4 ) Résolution de l’équation
5 ) Conclusion en cohérence avec l'énoncé.
Exemple : un problème d'Euler ( 1707-1783 ). Un père de trois enfants laisse en héritage 1 600 couronnes.
Le testament précise que l’aîné doit recevoir 200 couronnes de plus que le deuxième, et le deuxième 100 couronnes de plus que le dernier. De quelle somme hérite chacun des enfants ? Voir feuille annexe.
E8 Savoir mettre un problème en équation.
N ° 9 Les 2
3 de l'impôt sur le revenu d'un contribuable s'élèvent à 4 800 €. Calculer le montant total de l'impôt.
N ° 10 Marion a acheté 5 Kg de pommes, 2 Kg d'abricots et 2,5 Kg d'ananas. Le kilogramme d'abricots coûte 1 € de plus que le Kg de pommes et le Kg d'ananas coûte 2 fois plus cher que le Kg de pommes.
Sachant que Marion a dépensé 26,60 € déterminer le prix du Kg de chaque fruit.
N ° 11 Trois personnes se partagent un capital de la façon suivante : La première a pris exactement la moitié du capital moins 7 500 € ; La deuxième a pris exactement le tiers du capital ;
La troisième a eu les 2
5 du capital moins 5 800 €.
1 ) Quel est le montant du capital à partager ? 2 ) Quelles sont les parts de chacun ?
