Exercice 1 - Résoudre les équations différentielles suivantes : a.

(1)

GMP - Maths S2- Séance 5. ED du 1^er ordre : cas général.

Page 1

Exercice 1 -

Résoudre les équations différentielles suivantes :

a. y′′ −4y= +t 1 b. y′′−2y′+5y=x c. ^y^′′⁺²^y^′⁺²^y⁼¹⁰^cos

( )

²^x

Exercice 2 -

1. Résoudre l'équation différentielle : ⁴^y^′′⁺⁵^y^′^{+ =}^y

(

¹⁴^x⁻^{22 e}

)

⁻²^x^(E)

2. Parmi les fonctions solutions de (E), déterminer celle, notée f, dont la courbe représentative (C) contient le point O et admet comme tangente en ce point la droite (T) d'équation y = 2x.

Exercice 3 -

Reprenons le circuit RLC présenté en TD4 : un condensateur préa- lablement chargé (charge totale contenue : Q, en coulombs), de capacité C, une résistance (R, en ohms) et une bobine (inductance L, en henry).

Lorsqu’on ferme le circuit, les électrons représentant la charge du condensateur circulent dans la boucle (donc : courant électrique) et la charge du condensateur est variable, notée ^{q t}

( )

, avec la condition initiale ^q

( )

⁰ ⁼^Q. On montre que ^{q t}

( )

obéit alors à l’équation

différentielle : q 0

Lq Rq

′′+ ′+ =C .

1) Cette équation linéaire est homogène : l’écriture de sa solution dépend du discriminant de son poly- nôme caractéristique. Discuter des trois situations différentes conduisant soit à un régime où ^{q t}

( )

ne change pas de signe et tend vers 0, soit à un régime où ^{q t}

( )

est sinusoïdal amorti (on discutera généralement, sans tenir compte de conditions initiales pour fixer les constantes, on admettra que ces dernières sont de même signe, au moins dans le premier cas).

2) On force la périodicité du courant circulant dans ce circuit en plaçant un générateur de courant alter- natif entre la bobine et le condensateur, qui délivre une tension ^{u t}

( )

⁼^U^sin

(

^{ω ϕ}^t⁺

)

. L’équation dif- férentielle devient alors ^Lq ^Rq ^q ^U^sin

(

^t

)

C ω ϕ

′′+ ′+ = + .

Considérant L=2 henrys ; C=0,125 coulomb ; R=10 ohms ; U =15 volts ; ω=0,02 s ; ^-1 ϕ=0 rad, donner la forme générale des solutions de cette équation.

Exercice 4 -

Une masse m est posée sur le sol à l’aide d’une suspension amortie comme le montre le schéma ci-contre.

On désigne par x(t) la longueur du ressort, en fonction de la variable t (temps), avec ^t^∈

[

⁰^;^+∞

[

^.

On établit en mécanique que la fonction x(t) est solution de l’équation différentielle : x′′+kx′+25x=20 (E)

Où k désigne une constante réelle positive qui dépend des caractéristiques de l’amortisseur.

1) On considère l’équation différentielle homogène (EH) associée à l’équation (E).

a) Résoudre l’équation (EH) et, en fonction de k, donner les différentes formes de solutions.

(2)

GMP - Maths S2- Séance 5. ED du 1^er ordre : cas général.

Page 2

b) En déduire l’intervalle dans lequel il faut choisir la constante k de telle façon que l’équation (EH) n’admette pas de solutions faisant intervenir des fonctions trigonométriques, donc que le système ne soit pas soumis à des oscillations.

2) Dans la suite, on prendra la valeur k = 10. Donner la solution générale x(t) de l’équation (E), qui devient donc : x′′+10x′+25x=20

3) Déterminer l'unique solution de l’équation (E) qui vérifie les conditions initiales suivantes : à l’instant t = 0, la longueur du ressort est 0,4 et la masse M est au repos.

Exercice 5 -

On donne l’équation différentielle (E), que l’on ne résoudra pas directement : ^f^′

( )

^x ^{= +}¹ ^f

( )

⁻^x ^.

1) Dériver l’équation (E), puis montrer qu’elle conduit à l’équation (F) : ^f^′′

( ) ( )

^x ⁺ ^{f x} ^{= −}^{1 .}

2) Résoudre l’équation différentielle (F) : ^f^′′

( ) ( )

^x ⁺ ^{f x} ^{= −}^{1 .}

(on pourra aussi l’écrire y′′ + = −y 1 si on le souhaite) 3) Si u(x) = v(x), alors u’(x) = v’(x).

a. La réciproque est-elle vraie ?

b. L’affirmation [Si u(x) = v(x), alors u’(x) = v’(x)] montre que l’équation (E) implique l’équation (F) et donc que les solutions de (E) sont toutes des solutions de (F).

A quelle condition une solution de l’équation (F) vérifie-t-elle l’équation (E) ?

Exercice 6 -

1) Résoudre l’équation différentielle y′′−2y′+ =y x² (E).

2) On se propose de résoudre l’équation différentielle ^xy^′′⁺^{2 1}

(

⁻^{x y}

)

^′^{+ −}

(

^x ²

)

^y^{= −}^x² ⁶^(E¹^).

a. Résolution de l’équation homogène associée : en posant le changement de variable u = xy, déter- miner l’équation différentielle à coefficients constants sur u, découlant de l’équation homogène (E1H) associée à (E1), donner alors les fonctions u solutions de cette équation et en déduire les fonctions yH solutions de (E1H).

b. Déterminer une solution particulière yP de l’équation (E1), par identification à un polynôme du premier degré.

c. Conclure sur la forme générale des solutions de (E).