Exercices de révisions : Les angles particuliers Exercice 1

(1)

3^ème [Type text] Angles particuliers

Exercices de révisions : Les angles particuliers

Exercice 1

Observe bien la figure et détermine l’amplitude de l’angle 𝐷𝐵𝐶̂ (la figure ne respecte pas l’amplitude des angles).

ABC est un triangle isocèle de base [𝐵𝐶]

BCD est un triangle isocèle de base [𝐶𝐷]

𝐵𝐴𝐷̂ = 40°

B

A D

C

Exercice 2

ABC est un triangle quelconque. AH ┴ BC,

AD est la bissectrice de Â, L’amplitude de 𝐵̂ = 50° 𝑒𝑡 𝑑𝑒 𝐶̂ = 30°

Calcule l’amplitude de 𝐻𝐴𝐷̂

A

B H D C

Exercice 3

Sur un cercle de centre O et de rayon r, on place les points A et B tels que 𝐴𝐵 = 𝑟.

a) Quelle est la nature du triangle OAB ?

b) M est un point quelconque du segment[𝑂𝐵]. La demi-droite

[AM coupe le cercle en un point P. Détermine l^′amplitude de l^′angle APB.̂

(2)

Exercice 4

EFG est un triangle isocèle de base [𝐺𝐹] 𝑡𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒 |𝐹𝐸𝐺̂| = 80° .

𝑇𝑟𝑎𝑐𝑒 𝑙𝑒 𝑐𝑒𝑟𝑐𝑙𝑒 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑜𝑛𝑠𝑐𝑟𝑖𝑡 à 𝑐𝑒 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒 𝑒𝑡 𝑛𝑜𝑚𝑚𝑒 𝐾 𝑙𝑒 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑒 𝑐𝑒𝑟𝑐𝑙𝑒 𝐷é𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒 𝑙𝑒𝑠 𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑠 𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒𝑠 𝐹𝐾𝐺 ̂ 𝑒𝑡 𝐸𝐾𝐹̂ .

Exercice 5

AB et CD sont deux diamètres perpendiculaires d’un cercle de centre O. M est un point quelconque de l’arc AC. Détermine l’amplitude des angles suivants :

a) 𝐴𝑀𝐷̂ 𝑏) 𝐵𝑀𝐶̂ 𝑐) 𝐵𝑀𝐷̂ 𝑑) 𝐶𝑀𝐷̂ 𝑒)𝐴𝑀𝐵̂ 𝑓) 𝐴𝑀𝐶̂

Exercice 6

a) Construit un cercle circonscrit au triangle équilatéral ABC.

b) Place le point M de ce cercle si M ∈ 𝐴𝑟𝑐 𝐴𝐵.

c) Détermine les amplitudes des angles suivants : 𝐴𝑀𝐶̂, 𝐵𝑀𝐶̂ et 𝐴𝑀𝐵̂.

Exercice 7

Détermine l’amplitude des angles colorés en utilisant les propriétés relatives aux angles (les figures ne respectent pas les amplitudes des angles).

a) ABDE est un rectangle et 𝐸𝑂𝐷̂ = 140°

A

E O

B

D

(3)

b)

A

E B

⁹⁰° 30°

O D

c) AB // DE

A

O

^70° E B

D

Question 8 :

M, O et T sont trois points du cercle de centre F tels que |𝑂𝑀𝑇̂ | = 70° 𝑒𝑡|𝑀𝑇𝑂̂ | = 35° . a) Compare l’amplitude des angles 𝑀𝐹𝑂̂ 𝑒𝑡 𝑂𝑀𝑇̂ .

b) Détermine l’amplitude de l’angle 𝑀𝐹𝑇̂ . M

O F

T

(4)

Exercices de révisions : Puissances

Exercice 1

Rends les exposants positifs et simplifie les expressions suivantes en appliquant les propriétés des puissances (les lettres représentent des réels non nuls).

Série A 1. 𝑎⁻² 2. ^𝑎

2 𝑎⁻²

3. 2𝑎⁻⁴ 4. ^𝑎

−3 𝑎²

5. −𝑎⁻¹

6. ^𝑎_𝑎⁻⁵₋₂ 7. 𝑎²𝑎⁻⁵ 8. ^𝑎

4𝑎⁻⁵ 𝑎⁻¹

9. 𝑎⁻⁴𝑎⁵ 10. ^𝑎_𝑎⁻⁶₆

Série B 1. 𝑎⁻²𝑏³ 2. ^𝑎

−2 𝑏³

3. 𝑎⁴𝑏⁻² 4. ^𝑎

3 𝑏⁻²

5. (𝑎. 𝑏)⁻³

6. ^𝑎

−5 𝑏⁻³

7. −𝑎². (−𝑏)⁻³ 8. _𝑎^𝑎₋₅⁻³_.𝑏^𝑏²₄

9. 𝑎⁻⁵𝑏⁵ 10. ^𝑎_2𝑎⁻⁵₅_.𝑏^.𝑏⁻⁵₋₅

Série C

1. (𝑎⁻²𝑏³)^-4 2. (_3𝑎^2𝑎₋₂⁶)⁻³ 3. (3𝑎⁻³)⁻² 4. ^(−8𝑎

2)⁻¹ (2𝑎⁻²)³

5. −4𝑎 (2𝑎²)⁻⁴

6. _(2𝑎^−4𝑎₂_𝑏⁻³₋₃^𝑏₎⁵₋₃ 7. −𝑏⁻⁴. (4𝑏²)⁻³ 8. ^(2𝑎

−3𝑏⁻²)⁻⁵ 𝑎.𝑏⁻²

9. 3𝑎⁻²(−2𝑎⁻³)⁻² 10. _{(−3𝑎.𝑏}^5𝑎⁵^.𝑏−3⁻⁵)⁻²

(5)

Exercice 2

Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Retrouve-la.

a) b) c) d)

1)

−𝟓^−𝟑 15 125 𝟏

𝟏𝟐𝟓

−𝟏 𝟏𝟐𝟓 2)

(−𝟐)^−𝟔 12 64 𝟏

𝟔𝟒

−𝟏 𝟔𝟒 3)

𝟑, 𝟐. 𝟏𝟎^−𝟓 320 000 0,000 032 0,000 32 -0,000 32 4)

(𝟐 𝟑)

−𝟑 𝟖

𝟐𝟕

−𝟖 𝟐𝟕

𝟐𝟕 𝟖

−𝟐𝟕 𝟖 5)

− 𝟏

𝟏𝟔 (𝟏

𝟐)

−𝟒 −𝟐^𝟒 −𝟐^−𝟒 𝟐^𝟒

6)

𝟑^−𝟐

𝟑^𝟐 1 𝟑^𝟒 𝟑^−𝟒 −𝟑^𝟒

7)

𝟐^−𝟑. 𝟐^𝟐 𝟐^−𝟔 𝟐^−𝟏 𝟐^−𝟓

-2 8)

𝟐𝒂^−𝟑

𝟏 𝟖𝒂^𝟑

−𝟏 𝟐𝒂^𝟑

−𝟐 𝒂^𝟑

𝟐 𝒂^𝟑 9)

(√𝟐)^−𝟐 𝟏

𝟐

√𝟐

𝟐 𝟎 −𝟏

𝟐

10) (−𝟐^−𝟑)^−𝟐 −𝟐^𝟔 𝟐^𝟔 (𝟏

𝟖)

𝟐 (−𝟐)^−𝟓

11)

𝟑𝒂𝒃^−𝟐 𝟑𝒂

𝒃^𝟐

𝟏 𝟑𝒂𝒃^𝟐

𝟏 𝟗𝒂^𝟐𝒃^𝟐

𝟗𝒂^𝟐 𝒃^𝟐 12)

𝟐 − 𝟑^−𝟏 𝟐

𝟑

𝟓

𝟑 -1 𝟏

𝟑

(6)

Exercice 3 :

Calcule la valeur des expressions numériques suivantes. Tu exprimeras ta réponse soit sous la forme d’un nombre entier soit sous la forme d’une fraction irréductible, soit avec des radicaux simplifiés au maximum.

a) 3⁻² b) 5⁻⁴ c) 12⁻¹ d) (¹₉)⁻² e) (⁻²₃ )⁻⁴ f) (¹₇)⁻² g) (−4)⁻³ h) (√2)⁻² i) (2√3)⁻² j) (1 − √2)⁻¹

k) −5.2⁻⁵ l) (−2⁻²)⁻³ m) (0,02)⁻³ n) 5⁻¹. 5

o) 10⁻⁴. 0,01.10⁶ p) (⁻²₃)⁻³

q) (^√2₂)⁻² r) (^0,01_0,3)⁻³ s) ²₂⁻⁶₋₅^{. 3}_{. 3}⁷₉ t) ⁵₂⁻²₋₅

Exercice 4 :

Détermine la valeur de x dans les cas suivants : a) 𝑎⁻⁵𝑎^𝑥= 𝑎⁻¹⁰

b) 𝑎^𝑥a² = a⁻³. c) (𝑎^𝑥)⁻⁵= 𝑎¹⁰ d) (𝑎⁻²)^𝑥 = 𝑎⁻⁶ e) 2𝑎. (3𝑎)^𝑥= 18𝑎³ f) (2𝑎^𝑥)⁻⁶ = (4𝑎²)⁻³ g) (𝑎⁻²)⁴ . 𝑎⁻³= 𝑎^𝑥 h) 𝑎^𝑥. 𝑎⁻²= 1 i) 𝑎^𝑥. 𝑎^2+𝑥 = 𝑎⁻⁶ j) 𝑎^𝑥−1. 𝑎^𝑥+1= 𝑎⁻² k) 𝑎^−𝑥. (𝑎^𝑥)⁻³= 𝑎⁻⁸

(7)

Exercices de révisions : Pythagore

Exercice 1

Un poteau d’une longueur de 19m est enfoncé verticalement dans le sol à une profondeur de 2m.

Pour le stabiliser, on l’arrime avec quatre cordes (attachées à 1m du sommet et à 12m de l’endroit où le poteau a été planté dans le sol).

Quelle longueur de corde faudra-t-il employer ? (Il n’y a que 2 cordes représentées sur le dessin).

Exercice 2

Quelle longueur entière minimale, exprimée en m, doit avoir une échelle pour atteindre une hauteur de 7m, si on la place à 2m du mur.

7m 2m

Exercice 3

A) On construit la figure qui respecte le programme suivant.

a. Trace un cercle de centre O et de rayon 2,5cm b. Place un point A tel que 𝑂𝐴 ̅̅̅̅̅= 6,5cm

c. Construis la tangent t au cercle tel que A ∈ t et appelle B le point de contact de cette tangente avec le cercle.

d. Trace [𝐴𝐵]

B) Détermine 𝐴𝐵̅̅̅̅.

(8)

Exercice 4

En traversant la route en diagonale, le piéton (P) commet une infraction. Quelle distance, au cm près par défaut, parcourt-il en moins ?

12m

8m

Exercice 5

La diagonale d’un carré mesure 6cm. Détermine la valeur approchée par défaut au centième près de la longueur du côté de ce carré

Exercice 6

Le triangle ABC est rectangle A tel que 𝐴𝐵̅̅̅̅ = 6𝑐𝑚 𝑒𝑡 𝐴𝐶̅̅̅̅ = 5𝑐𝑚. Détermine la valeur approchée par défaut de l’hypoténuse de ce triangle rectangle.

Exercice 7

ABC est un triangle équilatéral tel que 𝐴𝐵̅̅̅̅ = 4𝑐𝑚. Détermine la valeur approchée (par défaut au mm près) de la longueur de la hauteur issue de A.

Exercice 8

Un panneau de porte de 180cm sur 80cm est décoré d’un motif en forme de losange. Les sommets du losange sont les milieux des côtés de la porte. On désire placer une moulure sur les côtés du losange. Détermine la longueur de cette moulure au cm près par excès.

(9)

Exercice 9

ABCDEFGH est un cube de 4 cm d’arête. Détermine 𝐵𝐸̅̅̅̅, 𝐵𝐺̅̅̅̅, 𝐵𝐻̅̅̅̅ 𝑒𝑡 𝐵𝐹̅̅̅̅ au centimètre près par défaut.

B C

A D

F G

E H

Exercice 10

Les triangles dont on donne les longueurs des côtés (dans une même unité) sont-ils rectangles ? Triangle 1 Triangle 2 Triangle 3 Triangle 4 Triangle 5

𝐴𝐵̅̅̅̅ 11 12 24 6,3 23

𝐵𝐶̅̅̅̅ 15,5 20 18 8,4 40

𝐴𝐶̅̅̅̅ 19 16 30 10,5 31

Justifie au moyen de calculs.

Exercice 11

Compare les aires des figures suivantes :

a) Un carré dont la diagonale mesure√2 𝑐𝑚 avec un carré dont la longueur du côté est 1cm.

b) Un rectangle dont les dimensions sont 2√3 𝑐𝑚 𝑒𝑡 4√3 𝑐𝑚 avec un carré dont la longueur du côté est 2√6 𝑐𝑚

c) Un triangle dont la base mesure 2√15 𝑐𝑚 et la hauteur mesure √10 𝑐𝑚 avec un carré dont la longueur d’un côté est 5√6 𝑐𝑚

(10)

Exercices de révisions : Racines carrées

Exercice 1

Pour chaque situation, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Trouve la bonne réponse sans utiliser la calculatrice.

1 2 3 4

a) Les nombres dont le carré est 16 sont…

16 et -16 256 et -256 4 et -4 2 et -2 b)

Tout nombre positif…

a deux racines carrées

a une racine unique

n’a pas toujours de racine carrée

n’a jamais de racine

carrée

c) √𝟏𝟎𝟎… N’existe pas = -10 = 10 = 10.000

d) √−𝟐𝟓… = -5 = 5 = 25 N’existe

pas

e) √𝟑^𝟐=

2 3 4 9

f) √𝟒𝟗= 7 7√𝟕 -7 7²

g) √𝟐 … = 1,4 < 𝟏, 𝟒 > 𝟏, 𝟒 = 2

h) √𝟗. √𝟕= √𝟗 + 𝟕 √𝟗. 𝟕 √𝟗 − 𝟕 𝟗√𝟕

i)

√𝟓

𝟒= (𝟓

𝟒)

𝟐 √𝟓

𝟒

√𝟓

𝟐 𝟐√𝟓

j) (𝟕√𝟐)^𝟐=

14 28 98 196

k) √𝟐^𝟐+ 𝟑^𝟐+ 𝟒^𝟐+ 𝟏𝟒^𝟐= √(𝟐 + 𝟑 + 𝟒 + 𝟏𝟒)^𝟐 15 23 √𝟒𝟔

l) √𝟏𝟖 + √𝟑𝟐 + √𝟓𝟎 = √𝟏𝟎𝟎 12√𝟐 𝟏𝟐√𝟔 𝟏𝟐𝟎√𝟐

(11)

Exercice 2

Simplifie les radicaux suivants (les lettres représentent des nombres positifs non nuls).

Série a)

1)√360 2) √32 3)√128 4)√192 5)√200

6) √126 7)√98 8)√96 9)√550 10)√24 11)√9². 11⁴ 12)√3². 10⁵ 13) √150 14) √504 15)√250 16) √216 17) √228 18) √396 19) √288 20) √243 21) √392 22) √392 23) √2³. 4². 5⁴ 24)√2⁵. 7

Série b)

1) √1

4 2) √3

16 3) √24

3 4) √50

49 5) √2

9

6) √25

16 7) √36

4 8) √300

147 9) √180

81 10) √7

36

Exercice 3

Réduis les sommes et les différences suivantes (les lettres représentent des nombres positifs) 1) 4√5 + 5√5

2) 7√3 − 8√3 3) − √2 + 6√2 4) 3√7 + 5√7 − 4√7 5) 4√6 − 3√6 + √6 6) √8 + 5√2 7) √18 − √50 8)√27 + √48 9) √45 − √125 10) √54 + √24

11) √12 + 2√27 − 3√75 12) 4√20 + 6√45 − √80 13) 5√48 − 2√108 + 4√147 14) 2√32 − 7√50 − √200 15) − 2√54 − √150 + √96 16) √175 + 5√63 − 6√252 17) 2√242 − 3√288 − √338 18) − 3√162 − 2√98 + 4√128 19) 7√275 − 2√44 + 2√396 20) − √294 − 2√216 + √384

(12)

Exercice 4

Calcule. Attention, respecte toujours bien les priorités opératoires a) √48 + 16

b) √3.12

c) √34 − 3.3 d) √13²− 12² e) √13²− √12² f) 3 + 4√25

g) 7 + 4√100 h) (5√2)²

i) √13². (√144 − √25) j) √60²− √61² k) (2√3 + 3√2). 2√6

l) (√14)²+ 2√36 m) √4 + 5.4 − 2√54 n) (√5 − 2)(√2 + 5) o) (√6 + √8)(√24 − √2) p) √12 + 13. (√2)²

q) −√30. (√6 + √54)

r) (3√2 + 2√5)(√18 − √20) s) √2. √2 + (2√2)²

t) (−5√5)² + (3√3)²

Exercice 5

Calcule en employant les produits remarquables 1) (√6 + √2)²

2) (√5 + 2)² 3) (2√3 + 3√2)² 4) (3 + √3)² 5) (√20 + √25)² 6) (√3 − √2)² 7) (√7 − 7)² 8) (3√5 − 2√15)² 9) (√18 − √12)²

(13)

10) (4√3 − √5)² 11) (1 − √2)(1 + √2)

12) (2√2 − 3√3)(2√2 + 3√3) 13) (√6 − 2√5)( √6 + 2√5) 14) (√48 − √32)( 4√3 + 4√2) 15) (6√15 − 2√21)( 6√15 − 2√21)

Exercice 6

Réduis les expressions suivantes et écris la réponse sous la forme d’une fraction dont le dénominateur est un entier (les lettres représentent des nombres positifs non nuls).

1.

^√75

√3

2.

^√72

√80

3.

^√300

√288

4.

^√243

√1200

5.

^√50

√72

6.

^√480

√120

7.

^√84

√189

8.

^√0,45

√1,25

(14)

Exercices de révisions : Polynômes

Attention, seuls les correctifs des 3 premières questions sont disponibles sur le site internet

Exercice 1 Soit

( ) ( ) ( )

1. Réduis, si nécessaire, les termes semblables et ordonne les polynômes par rapport aux puissances décroissantes de la variable.

2. Les polynômes précédents sont-ils complets? Justifie.

3. Entoure le terme du troisième degré dans R(x) réduit et le terme de degré 0 dans Q(x) réduit.

4. Calcule 2P(x)-Q(x)+R(x)

5. Calcule la valeur numérique de Q(x) pour x= - 2

6. Calcule R(√ )

(15)

Exercice 2

( )

Calcule

1. 2P(x)+3Q(x)

2. ( ) ( )

3. la valeur numérique de Q(x) pour x= - 2

4. la valeur numérique de R(x) pour √

Exercice 3

Détermine le quotient et le reste des divisions suivantes par la division euclidienne 1)

2) 3)

4)

(16)

Exercice 4

Parmi les expressions suivantes, reconnais les monômes en x : 1)

2) 3) 4)

5) √

6) 7 7) √

8) ( )

Exercice 5

monôme variable coefficient degré

a 7 3

y 2/3 1

x -3 4

Exercice 6

a) Réduis et ordonne les polynômes suivants : 1) ( )

2) ( ( ( ) ( )) )

3) ⁵ [ ( ( ) ) ] [ ( ⁵) ] b) Calcule la valeur numérique de chacun de ces polynômes en :

0 ; -2 ; 1 ; -2/3 ; √ ; ; √

Exercice 7

Elève au carré en utilisant un produit remarquable 1. 𝑦

2. 𝑦 3. 3 𝑦

(17)

Exercices de révision : Les triangles semblables

Les figures ne sont pas réalisées en vraie grandeur.

Exercice 1

Si c // DE, donne tous les rapports équivalents que tu peux trouver par les triangles semblables :

A

B C c

D E

Exercice 2

Si AB // DE, donne tous les rapports équivalents que tu peux trouver par les triangles semblables :

A B

C

D E

Exercice 3

Dans la figure ci-dessous, les droites AB et CD sont parallèles.

Les droites AD et BC se coupent en E.

On donne ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅

(18)

C D E

A B

Calcule ̅̅̅̅, ̅̅̅̅

Exercice 4

On précisera pour chacune des deux questions de cet exercice la propriété de cours utilisée.

La figure ci-dessous n’est pas représentée en vraie grandeur.

Les droites BC et MN sont parallèles.

On donne : ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅

Calculer les longueurs ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅

P

M B A R

C N

Exercice 5

1. Construis le triangle EFG tel que ̅̅̅̅ = 12 cm, ̅̅̅̅ = 5 cm et ̅̅̅̅= 13 cm.

2. Prouve que le triangle EFG est rectangle en E.

3. Place le point B sur le segment [EF] tel que ̅̅̅̅ = 7 cm.

4. Trace la droite passant par B et parallèle au côté [FG]. Elle coupe le côté [EG] en M . 5. Calcule la valeur exacte de ̅̅̅̅̅, puis en arrondis-là au mm près.

Exercice 6

On t’informe que les triangles ABC et A’B’C’ sont semblables. Si ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅

̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅.

(19)

Exercice 7

Calcule l’aire de la surface DEFG si tu sais que l’aire du triangle ABC égale 8cm². A

B C

D E

G F

Exercice 8

Démontre que les triangles ABC et FDE sont semblables.

A

B C

D E F