Quelques remarques à propos d’un théorème de Checcoli

Hugues BAUCHÈRE

Quelques remarques à propos d’un théorème de Checcoli Tome 28, no_{3 (2016), p. 725-734.}

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Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux 28 (2016), 725–734

Quelques remarques à propos d’un théorème de

Checcoli

par Hugues BAUCHÈRE

Résumé. Dans [1], S. Checcoli montre, entre autres résultats, que si K est un corps de nombres et si L/K est une extension galoisienne infinie de groupe de Galois G d’exposant fini, alors les degrés locaux de L sont uniformément bornés en toutes les places de K. Dans cet article nous rassemblons deux remarques à propos d’un analogue du résultat de S. Checcoli pour les corps de fonctions de caractéristique positive p. D’une part nous montrons un analogue de son théorème dans ce cadre, sous l’hypothèse que l’exposant du groupe de Galois soit premier à p. D’autre part, nous montrons à l’aide d’un exemple que cette hypothèse est en fait nécessaire.

Abstract. Some remarks about a theorem of Checcoli.

In [1], S. Checcoli shows that, among other results, if K is a num-ber field and if L/K is an infinite Galois extension with Galois group G of finite exponent, then L has uniformly bounded local degrees at every prime of K. In this article we gather two remarks about an analogue of S. Checcoli’s result to function fields of pos-itive characteristic p. We first show an analogue of her theorem in this context, under the hypothesis that the Galois group ex-ponent is prime to p. Using an example, we then show that this hypothesis is in fact necesary.

Introduction

Soient p un nombre premier et q une puissance de p. On note Fq le corps

fini à q éléments et on pose k := Fq(T ).

Soient K un corps global1 et v une place de K. On note K_v le complété de K en v. On dit qu’une extension galoisienne L/K a ses degrés locaux uniformément bornés en v s’il existe un entier d_vtel que pour toute place w de L au-dessus de v, le degré de l’extension local Lw/Kv soit au plus dv.

De manière plus générale, on dit que l’extension L/K a ses degrés locaux

Manuscrit reçu le 27 juillet 2015, révisé le 29 avril 2015, accepté le 12 octobre 2015. Mathematics Subject Classification. 11S15, 11R32, 11R37.

Mots-clefs. Théorie de Galois, théorie du corps de classe local, ramification, extension abélienne.

uniformément bornés en toutes (resp. en presque toutes2) les places de K s’il existe un entier d0 tel que dv ≤ d0 pour toutes (resp. presque toutes)

les places v de K.

En 2013, S. Checcoli démontre (cf. [1]) que si K est un corps de nombres et si L/K est une extension galoisienne (éventuellement infinie) de groupe de Galois G, alors l’extension L/K a ses degrés locaux uniformément bornés en toutes les places de K si et seulement si G est d’exposant fini (i.e. s’il existe un entier m tel que tout élément de G soit d’ordre au plus m). Plus précisément, S. Checcoli prouve le résultat suivant :

Théorème A. Soit K un corps de nombres et L/K une extension

galoi-sienne infinie. Alors les assertions suivantes sont équivalentes :

(1) l’extension L/K a ses degrés locaux uniformément bornés en toutes

les places de K ;

(2) l’extension L/K a ses degrés locaux uniformément bornés en presque

toutes les places de K ;

(3) le groupe de Galois de l’extension L/K est d’exposant fini.

Ce résultat a ensuite été généralisé à certaines classes de corps de fonc-tions par S. Checcoli et P. Dèbes dans [2].

Une question naturelle est de savoir s’il existe un analogue du théorème A dans le cadre des corps de fonctions en caractéristique positive p. Dans cet article, on montre (partie 1) l’analogue partiel suivant du résultat de Checcoli.

Théorème B. Soient K/k une extension finie et L/K une extension

galoi-sienne infinie. Si les degrés locaux de l’extension L/K sont uniformément bornés en presque toutes les places de K, alors Gal(L/K) est d’exposant fini.

Réciproquement, si Gal(L/K) est d’exposant fini premier à la caractéris-tique de K, alors les degrés locaux de l’extension L/K sont uniformément bornés en toutes les places de K.

La démonstration de ce résultat suit exactement la même stratégie que celle de [1] pour les corps de nombres. Ce qui rend l’analogue partiel est l’introduction, dans la réciproque, de l’hypothèse sur l’exposant du groupe de Galois qui doit être premier à la caractéristique. En effet, on illustre (cf. partie 2) la nécéssité de cette hypothèse supplémentaire en exibant deux contre-exemples. Le premier (cf. théorème 2.1) étant celui d’une extension abélienne de k := Fq(T ) dont le groupe de Galois est d’exposant p et

dont tous les degrés locaux sont infinis au-dessus de toutes les places de k. Et le second (cf. proposition 2.2) est l’exemple d’une extension abélienne de k dont le groupe de Galois est d’exposant p et dont tous les degrés

Quelques remarques à propos d’un théorème de Checcoli 727 locaux sur L sont uniformément bornés en toutes les places de k. Ces deux contre-exemples sont construits de façon explicite comme des compositum d’extensions d’Artin-Schreier i.e. de corps de décomposition de polynômes du type Xp− X − a−i où a parcourt l’ensemble des polynômes irrédutibles et unitaires de k et i parcourt l’ensemble des entiers non divisibles par p.

1. Analogue du théorème A en caractéristique positive Afin de démontrer le théorème B, on rappelle tout d’abord la définition suivante.

Définition. Soit G un groupe. On dit que G est un groupe métacyclique s’il existe un sous-groupe normal H de G tel que H et G/H soient cycliques. Remarque. Si G est un groupe métacyclique fini d’exposant b, alors G est d’ordre un diviseur de b2.

On démontre maintenant le théorème B en reprenant la preuve exposé par S. Checcoli dans [1] et en lui apportant les modifications nécessaires dans notre cadre : celui d’une extension finie K de k := Fq(T ).

Démonstration du théorème B. Supposons que presque toutes les places

de K aient leurs degrés locaux sur L bornés par d_{0∈ N. Soit S l’ensemble} des places de K dont le degré local sur L n’est par borné par d0. Alors, par

hypothèse, S est un ensemble fini. Soient E/K une extension galoisienne finie incluse dans L et σ ∈ Gal(E/K). D’après le théorème de densité de Tchebotarev (cf. théorème 9.13A de [5]), il existe une place finie p ∈ M_K\ S non ramifiée sur E telle que σ appartient à la classe de conjugaison d’Artin de p dans Gal(E/K) (rappelons que d’après le corollaire 3.5.5 de [6], comme l’extension E/K est séparable finie, presque toutes les places de K sont non ramifiées dans E). Ainsi, si q est une place de E au-dessus de p, il existe un conjugué η ∈ Gal(E/K) de σ qui engendre le groupe de décomposition de q sur p qui est cyclique (d’après le théorème 3.8.2 de [6]) et isomorphe à Gal(Eq/Kp), où Eq et Kp sont respectivement les complétés des corps E

et K en q et p. Or, par hypothèse, l’ordre de Gal(E_q/Kp) est au plus d0,

ainsi σd0! = ηdo! _{= id et donc Gal(E/K) est d’exposant borné par d}

0!.

Comme Gal(L/K) est la limite projective de la famille {Gal(E/K)}_E in-dexée par les extensions galoisiennes finies de K contenues dans L, le groupe Gal(L/K) est d’exposant borné par d₀!.

Réciproquement, supposons que Gal(L/K) soit d’exposant fini b ∈ N premier à p, la caractéristique de K. écrivons L comme une réunion crois-sante d’extensions galoisiennes finies L_j/K de groupe de Galois Gj. Soit w

une place de L, pour chaque j on note vj l’unique place de Lj en-dessous

de w et L_j,vj le complété de L_j en la place v_j. De même, on note v l’unique place de K en-dessous de w et Kv le complété de K en la place v. On

rappelle que pour tout j, le quotient du groupe de décomposition par le groupe d’inertie de vj sur v est isomorphe au groupe de Galois des corps

résiduels et qu’il est donc cyclique (engendré par le Frobenius). On rappelle également que le groupe Gal(Lj,vj/Kv) est isomorphe au groupe de

décom-position de vj sur v qui est un sous-groupe de Gj. Donc Gal(Lj,vj/Kv)

est d’exposant un diviseur de b. De plus, comme b est premier à p, il ne peut y avoir de ramification sauvage. Il y a donc deux cas possibles pour l’extension Lj,vj/Kv :

(1) si l’extension Lj,vj/Kv est non ramifiée, alors, Gal(Lj,vj/Kv) est

cyclique d’ordre un diviseur de b ;

(2) si l’extension Lj,vj/Kv est modérément ramifiée, alors d’après la

proposition 3.8.5 de [6], le groupe d’inertie de vj sur v est cyclique,

tout comme le quotient du groupe de décomposition par le groupe d’inertie, ainsi Gal(L_j,vj/Kv) est métacyclique et donc d’ordre un

diviseur de b2.

Pour tout j, le degré de l’extension L_j,vj/Kv est donc un diviseur de b2.

Ainsi, les degrés locaux [Lj,vj : Kv] forment une suite croissante d’entiers

majorées par b2. Cette suite est donc constante à partir d’un certain rang. Il en résulte qu’il existe i tel que Lj,vj = Li,vi pour j ≥ i. Et alors Lw est

inclus dans Li,vi d’où le résultat. 

2. Un contre-exemple en caractéristique positive

Dans le théorème B, on a vu que si Gal(L/K) est d’exposant fini pre-mier à la caractéristique de K, alors les degrés locaux de l’extension L/K sont uniformément bornés en toutes les places de K. Dans cette partie nous allons donner un contre-exemple dans le cas où l’exposant du groupe Gal(L/K) est divisible par p. Soit P l’ensemble des polynômes irréduc-tibles et unitaires de Fq[T ]. Alors l’ensemble P ∪

n

1 T

o

est en bijection avec l’ensemble M_{k des places de k := Fq}(T ). Si a ∈ P ∪n_T1o, on note

va: k −→ Z ∪ {∞} la valuation associée à a et kva le complété de k en va.

Si w est une place de K qui prolonge va, on normalise w par la formule

w(α) = va(α) pour tout α ∈ k. On a donc :

w(K) = 1

eZ ∪ {∞},

où e := e(w/va) est l’indice de ramification de w sur va.

Lemme 2.1. Soient a ∈ P ∪n_T1oet i ∈ N \ pN. On pose : Pa,i(X) := Xp− X − a−i.

Soit θ_a,i∈ k une racine de P_a,i. On a les propriétés suivantes :

Quelques remarques à propos d’un théorème de Checcoli 729 (2) w(θa,i) = −_pi ∈ Z pour toute place w|v/ a de k(θa,i) ;

(3) le polynôme P_a,i est irréductible sur k ;

(4) l’extension k(θa,i)/k est totalement ramifiée au-dessus de a ;

(5) l’extension k(θ_a,i)/k est cyclique de degré p ; (6) w(θa,i) = 0 pour tout b ∈ P ∪

n

1 T

o

\{a} et toute place w|v_b de k(θa,i) ;

(7) l’extension k(θ_a,i)/k est non ramifiée au-dessus de toutes les places

de k différentes de a.

Démonstration. La propriété 1 est évidente. Vérifions la propriété 2. Soit w|va une place de k(θa,i). On a :

wθp_a,i− θ_a,i= v_aa−i= −i et

wθ_a,ip − θa,i



≥ min{p w(θa,i), w(θa,i)},

ainsi w(θ_a,i) < 0. Donc la dernière inégalité est en fait une égalité et on en déduit que w(θa,i) = −_pi. Or p - i donc w(θa,i) /∈ Z d’où la propriété 2.

Maintenant, on a w(θa,i) = −_pi ∈ 1_eZ, où e := e(w/va) est l’indice de

ramification de w sur va. On en déduit donc que p|e. Or, le polynôme Pa,i

étant de degré p, l’extension k(θa,i)/k est au plus de degré p. Donc e = p, ce

qui prouve que l’extension k(θ_a,i)/k est totalement ramifiée au-dessus de a, d’où la propriété 4. Les propriétés 3 et 5 s’en déduisent naturellement. Il ne nous reste donc plus qu’à montrer les propriétés 6 et 7.

wθp_a,i− θa,i  = vb  a−i= 0 et wθ_a,ip − θa,i 

≥ min{p w(θa,i), w(θa,i)},

ainsi w(θa,i) = 0 et donc l’extension k(θa,i)/k est non ramifiée au-dessus

de b. _

Dorénavant, pour alléger les notations, pour tous a, b ∈ P ∪n_T1o et tout i ∈ N \ pN, nous noterons encore vaune extension arbitraire de va

à k(θb,i). Ainsi, nous aurons toujours :

va(θb,i) =

(

−_pi ∈ Z si b = a/

0 si b 6= a .

Nous allons maintenant construire une p-extension abélienne élémen-taire3 _{dont le degré local est infini au-dessus d’une place quelconque a de}

k. Pour cela, nous aurons besoin de montrer que certaines extensions sont

linéairement disjointes (cf. §2.5 de [4] pour ce qui concerne ces dernières) :

Lemme 2.2. Soit a ∈ P ∪n_T1o. Alors, l’ensemble : Λ_a,va := kva(θa,i)  i ∈ N \ pN

forme une famille d’extensions deux à deux linéairement disjointes sur k_va. Démonstration. L’élément a de P ∪n_T1oétant fixé, on simplifie les notations en posant v := va et θi := θa,i pour tout i ∈ N \ pN.

Soit i, j ∈ N \ pN tels que i 6= j. Les extensions kv(θi)/kv et kv(θj)/kv

étants galoisiennes, elles sont linéairement disjointes si kv(θi) ∩ kv(θj) =

kv (cf. remarque suivant le corollaire 2.5.2 de [4]). De plus, comme ces

extensions sont de degré p premier, il suffit de montrer que θ_j ∈ k/ _v(θ_i). Supposons que θj ∈ kv(θi). Il existe alors α0, . . . , αp−1∈ kv non tous nuls

tels que : θj = α0+ α1θi+ · · · + αp−1θip−1. Or, θp_j = θj+ a−j et :  α0+ α1θi+ · · · + αp−1θip−1 p = αp₀+ αp₁θi+ a−i  + · · · + αp_p−1θi+ a−i p−1 . D’où a−j+ α₀+ α₁θi+ · · · + αp−1θp−1i = αp₀+ αp₁θi+ a−i  + · · · + αp_p−1θi+ a−i p−1 . Comme les éléments 1, θi, . . . , θp−1i sont kv-linéairement indépendants, les

coefficients des puissances de θ_isont égaux dans l’égalité précédente. Ainsi, en comparant les coefficients des monômes en θ_ip−1, on obtient :

αp−1= αpp−1,

d’où on déduit αp−1 ∈ Fp. En comparant les coefficients des monômes

en θ_ip−2, on obtient : αp−2= αpp−2+ α p p−1(p − 1) a−i = αp_p−2− αp−1a−i. Ainsi, αp_p−2− α_p−2− α_p−1a−i = 0.

On a donc deux possibilités : soit αp−1= 0 et αp−2 ∈ Fp, soit αp−16= 0 et

αp−2 = αp−1θi+ ζ avec ζ ∈ Fp. Or, θi ∈ k/ v, donc αp−1= 0 et αp−2∈ Fp.

De la même façon, on montre de proche en proche que αp−1= · · · = α2 = 0

et α_{1 ∈ Fp}. Il ne reste donc plus qu’à comparer les termes constants, i.e. :

α0+ a−j = αp0+ α p 1a

−i

Quelques remarques à propos d’un théorème de Checcoli 731 D’où

αp₀− α0− a−j+ α1a−i = 0.

Deux cas s’offrent à nous :

(1) α₁= 0 et α₀= θ_{j + ζ avec ζ ∈ Fp}; (2) α16= 0 et α0= θj − α1θi+ ζ avec ζ ∈ Fp.

Dans le premier cas, on obtient θj ∈ kv(α0). Ce qui est absurde car α0 ∈ kv

et θ_j ∈ k/ _v.

Supposons que nous soyons dans le deuxième cas. Alors, comme α1 ∈ Fp

et ζ ∈ Fp, on a : v(α0) = min{v(θi); v(θj)} = min _−i p ; −j p  .

Or, i, j ∈ Z/pZ donc v(α0) /∈ Z ce qui contredit le fait que α0 ∈ kv. Ainsi,

pour tout i ∈ Z/pZ, les extensions kv(θi) sont deux à deux linéairement

disjointes. _

La proposition suivante nous donne un premier contre-exemple d’exten-sion galoisienne infinie d’exposant fini ayant une place au-dessus de laquelle tous les degrés locaux sont infinis.

Proposition 2.1. Soient a ∈ P ∪n_T1o et La le compositum des corps de

la famille

Λa:=k(θa,i)i ∈ N \ pN

.

Alors l’extension L_aest une p-extension abélienne infinie de k telle que pour toute place w|va de La, l’extension La,w/kva est une p-extension abélienne

infinie.

Démonstration. Les extensions k(θ_a,i)/k étant abéliennes de groupe de Ga-lois isomorphe à Z/pZ, on en déduit que l’extension Laest une p-extension

abélienne de k. Il ne reste donc plus qu’à montrer que pour toute place w|v_a de La, l’extension La,w/kva est infinie. En effet, la non finitude du degré de

l’extension L_a/k découle directement de celle des degrés locaux au-dessus

de a.

L’élément a de P ∪n_T1o étant fixé, on simplifie les notations en posant

v := va et θi := θa,i pour tout i ∈ N \ pN.

Soit (ij)j>0 la suite d’entiers définie par i0= 1 et :

in+1 =

(

in+ 1 si in+ 1 /∈ pN

in+ 2 si in+ 1 ∈ pN

Soit n > 0 un entier. Si pour tout entier m > n on avait :

alors on aurait, comme [kv(θim) : kv] = p :

kv(θi1, . . . θin) ∩ kv(θim) = kv(θim).

On aurait donc kv(θim) ⊂ kv(θi1, . . . θin) pour tout m > n. Ainsi, tous les

corps k_v(θ_im) seraient des corps entre k_v et k_v(θ_i1, . . . θin). Mais il n’y a

qu’un nombre fini de tels corps. Ce n’est donc pas possible car d’après le lemme 2.2, les extensions k_v(θ_im) sont deux à deux disjointes. Donc pour tout entier n > 0 il existe un entier m > n tel que :

kv(θi1, . . . θin) ∩ kv(θim) = kv.

Ce qui achève la preuve. _

Nous sommes maintenant en mesure de donner le contre-exemple an-noncé i.e. celui d’une extension galoisienne d’exposant finie dont tous les degrés locaux sont infinis au-dessus de toutes les places de k :

Théorème 2.1. Soit L le compositum des corps de la famille Λ :=  k(θa,i)  a ∈ P ∪ ₁ T  , i ∈ N \ pN  .

Alors, L est une p-extension abélienne de k dont les degrés locaux sur L sont infinis au-dessus de toutes les places de k.

Démonstration. Comme L est un compositum d’extensions de degré p, c’est

clairement une p-extension abélienne de k. Le fait que tous les degrés locaux sur L soient infinis au-dessus des places de k provient de la proposition 2.1.

En effet, si a ∈ P ∪n_T1o, alors La⊂ L. 

Nous terminons cette partie en donnant un exemple d’une extension ga-loisienne infinie de k dont le groupe de Galois est d’exposant divisible par la caractéristique de k et dont néanmoins les degrés locaux sont uniformément bornés.

Proposition 2.2. Soient i ∈ N \ pN et Li le compositum des corps de la

famille Λi :=  k(θa,i)  a ∈ P ∪ ₁ T  .

Alors, Li est une p-extension abélienne infinie de k dont les degrés locaux

sont uniformément bornés par p2.

Démonstration. Les extensions k(θ_a,i)/k étant abéliennes de groupe de Ga-lois isomorphe à Z/pZ, on en déduit que l’extension Li est une p-extension

abélienne de k.

Montrons maintenant que l’extension L_i/k est infinie. Soient n > 2 un

en-tier et a1, . . . , andes places deux à deux distincts de k. D’après le lemme 2.1,

pour tout j ∈ {1, . . . , n}, l’extension k(θ_aj,i)/k est non ramifiée au-dessus de toutes les places de k différentes de aj et totalement ramifiée au-dessus

Quelques remarques à propos d’un théorème de Checcoli 733 de aj. Ainsi, l’extension k(θan,i)/k est totalement ramifiée au-dessus de an,

alors que l’extension k(θa1,i, . . . , θan−1,i)/k est non ramifiée au-dessus de an

comme composée de n − 1 extensions non ramifiées au-dessus de a_n. On en déduit ainsi que les corps de la famille Λi sont linéairement disjoints sur k,

et donc que le degré de l’extension L_i/k est infini.

Il ne nous reste donc plus qu’à montrer que les degrés locaux sont uni-formément bornés par p2. Soient a ∈ P ∪n_T1o et L_i\a le compositum des corps de la famille : Λ_i\a :=  k(θb,i)  b ∈ P ∪ ₁ T  \ {a}  .

Alors Li est le compositum de k(θa,i) et de Li\a. Soit w|vaune place de Li,

on note encore w la restriction de w à L_i\a. L’extension k(θa,i)/k étant

totalement ramifiée au-dessus de a, on a [k_va(θ_a,i) : k_va] = p. D’autre part, l’extension L_i\a/k est une p-extension abélienne infinie qui est non ramifiée

au-dessus de a. Or les extensions non ramifiées d’un corps local sont cy-cliques (cf. la proposition p. 113 de [3]) ce qui n’est pas le cas de l’extension

L_i\a,w/kva dès que

h

L_i\a,w : kva

i

> p car c’est une p-extension abélienne.

On obtient donc : [Li,w : kva] ≤ h Li\a,w : kva i [kva(θa,i) : kva] ≤ p 2_.

D’où le résultat annoncé. _

Remerciements

Je souhaite remercier Francesco Amoroso et Vincent Bosser mes direc-teurs de thèse ainsi que Bruno Anglès pour toutes les discussions que nous avons eus à propos de ce travail.

Bibliographie

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Hugues Bauchère LMNO, CNRS UMR 6139,

Université de Caen - Campus Côte de Nacre Boulevard Maréchal Juin,

B.P. 5186,

14032 Caen Cedex 5, France. E-mail: hugues.bauchere@unicaen.fr