Polynômes de Lagrange sur les entiers d'un corps quadratique imaginaire

M. A

BLY

M. M’Z

ARI

Polynômes de Lagrange sur les entiers d’un corps

quadratique imaginaire

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome

10, n

o

_{1 (1998),}

p. 85-105

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Polynômes

de

_Lagrange

sur

les entiers d’un

_corps

quadratique

imaginaire

par M. ABLY et M. M’ZARI

RÉSUMÉ.

_L’objet

de ce texte est de donner une estimation

arith-métique

des valeurs

_prises

_par les

_polynômes

de

_Lagrange

sur

les entiers d’un _corps

_quadratique

_imaginaire

en des

_points

de ce

corps. Ces

polynômes

interviennent dans l’étude des fonctions

entières

_{arithmétiques}

et dans les minorations de formes linéaires de

_Logarithmes.

ABSTRACT. The aim of this _paper is to

_give

an arithmetic

esti-mate of the values of

_Lagrange

_polynomials

over the

_integers

of an

_{imaginary quadratic}

number field at the

_points

of this field. This

_polynomials

are used in the

_study

of

_integer

valued entire

functions and lower bounds for linear forms in

_Logarithms.

1. INTRODUCTION

Les

_polynômes

_{d’interpolation}

sur les entiers ou les entiers de Gauss interviennent dans de nombreux

_problèmes

en

_{arithmétique.}

Les

_polynômes

binômiaux ont été utilisés par

Pôlya

[9]

pour démontrer

qu’une

fonction

entière de

_type

_exponentiel

inférieur à

_log

2 et

_envoyant

N dans Z est un

polynôme

et _par Fel’dman

_[3]

_pour les minorations de formes linéaires de

logarithmes.

Les

_polynômes

de

_Lagrange

sur

Z[i]

ont été introduits _par L. Gruman

_[7]

et F. Gramain

_[5]

pour améliorer un résultat de A. Gel’fond

[4]

qui

étend le résultat de

_Pôlya

aux fonctions entières d’ordre 2 de

_type

fini

envoyant

dans

_{Z (i~ .}

Dans

_[8],

P.

_Philippon

démontre des

_{propriétés analytiques}

et

arithmé-tiques

vérifiées _par ces

_polynômes

ainsi _que leurs dérivés.

Essentielle-ment,

ces

_polynômes

ont une croissance

plus

faible _que les monômes X’~

et les

_polynômes

de

_Lagrange

sur

Z[i]

envoient

Z[i]

dans avec un dénominateur

_"pas

_trop

_grand",

le

_logarithme

du dénominateur étant de l’ordre du

_degré

du

_{polynôme. Alors,}

par

rapport

aux monômes

_Xn,

l’utilisation de ces

_{polynômes d’interpolation}

_permet

_{de gagner} en crois-sance au niveau

analytique

sans

perdre

au niveau

arithmétique

en taille.

Pour démontrer l’estimation

_{arithmétique,}

les auteurs utilisaient le fait

que

Z[i]

est

principal.

L’objet

de ce texte est d’étendre ces estimations aux

_polynômes

d’inter-polation

de

_Lagrange

sur les entiers d’un _corps

quadratique imaginaire.

Comme

_conséquence

de ces

_estimations,

au

_paragraphe

5 nous étendons un résultat de M. Waldschmidt

(cf.

[12])

aux anneaux d’entiers de _corps

quadratiques

imaginaires.

Ce résultat

_généralise

celui de

_Pôlya,

cité

_{plus haut,}

au sens suivant : une

fonctions

_méromorphe,

avec

f

_{et g}

d’ordre 2 et de

_type

assez

"petit",

envoyant

un sous-ensemble S de l’anneau des entiers d’un _corps

quadratique imaginaire

dans un _corps de

nombres,

avec S vérifiant une

propriété

de "densité"

_{arithmétique,}

est une fraction rationnelle.

Dans un autre

_texte,

nous _{montrerons que} l’utilisation de ces

polynômes

de

_Lagrange

sur l’anneau des

_{endomorphismes}

d’une courbe

_elliptique

à

multiplication complexe,

permet

d’améliorer les minorations de formes liné-aires de

_{Logarithmes elliptiques}

de

_points

_algébriques

de cette courbe.

Nous tenons à remercier Patrice

_Philippon

_pour ses _remarques et sa lecture minutieuse de ce texte.

2. NOTATIONS ET

ÉNONCÉS

DES

RÉSULTATS.

Soient K un _corps

quadratique imaginaire,

K =

(où d

_{est un}

entier &#x3E;

_0,

sans facteur

carré),

n l’anneau des entiers de

K,

w =

(resp.

1+z~ )

si d -1 ou 2

(4) (resp.

si d -

3(4)) ; { 1, w~

est une Z-base de 0. Notons D le discriminant

_{de K ;}

_~D~

= 4d si d =1 ou 2

(4),

IDI

= d si

d - 3(4).

On note h l’ordre du _groupe des classes d’idéaux de K et on choisit un

système

de

_{représentants}

dans d

_{{~81,... ,}

de ce _{groupe tel que} cela est

_{possible grâce}

au lemme de Minkowski _pour un ensemble convexe

(cf.

[1],

Chap. III, §

7,

_remarque

2).

Pour un idéal fractionnaire I de K

_{et y}

E

K,

on notera

_N(I)

la norme de

I,

lyl

le module de

_Q(y)

où u est

_{l’injection canonique}

de K dans C.

Si v est une

place

de

K,

on note

_Kv

le

_complété

de K _{pour la valeur}

absolue 1

.

Iv

associée à v et normalisée de sorte

_qu’on

ait la formule du

produit :

FL

= 1 pour tout À e

_K~,

_{où dv}

=

[Kv : Qv]

est le

degré

local en v. Pour R un réel &#x3E;

_0,

notons les

_polynômes

de

_Lagrange

sur O sous la

et notons

_{8 R}

le

_degré

de

Pour R &#x3E;

_1,

on a

(cf.

_remarque 3.1 de ce

texte) .

’

Le dénominateur d’un nombre

_algébrique

_(resp.

le dénominateur com-mun d’une famille de nombres

algébriques)

sera

désigné

_par den.

(resp.

den.com).

On obtient le théorème suivant :

Théorème 2.1. Pour tout t E

_{N, 1}

E N et R &#x3E;

_1,

on a :

log

den. com ~

où

3. ESTIMATIONS ANALYTIQUES ET

ARITHMÉTIQUES.

3.1. Estimations

_analytiques.

Les estimations

_analytiques

de

_[8]

ont été

établies dans le cadre d’un _corps

_quadratique,

nous nous

_permettons

ici d’en donner les énoncés et _pour cela on

reprend

les notations de

[8].

Soient K un _corps de

nombre, v

une

_place

de

_{K, y}

e

Kv,

S un ensemble fini de 8 éléments de

_Kv

non nuls et t

_{E N ;}

- - -

-l’ensemble des suites

de t’ éléments

distincts dans

S’ et

-Nous

_appliquerons

essentiellement ces estimations

analytiques quand

S

est l’ensemble

_SR

=

~x

_E

C? B

101,

R},

les

polynômes

PSR

étant les

polynômes

de

_Lagrange

définis au

paragraphe

2 et notés

PR.

Avec ces

_notations,

_d’après

~8~,

on a le lemme suivant : Lemme 3.1. Pour tout R &#x3E; 1 et tout t E N ort a :

Dans le cas oic v est la valeur absolue archimédienne et S =

SR,

on a :

avec

Preuve. Pour les

_inégalités

_(3.1.1)

et

_(3.1.2),

voir la _preuve du lemme 1 de

[8]

et _pour

_{l’inégalité}

_(3.1.3)

voir celle du lemme 3 de

_[8]

en tenant

_compte

de la

_{majoration :}

3.2. Estimations

_{arithmétiques.}

Si I est un idéal fractionnaire non nul de

_K,

_y E .K et R un réel &#x3E;

_0,

on note

_AI(y,

_{R) =}

_{x

e

_1~,

_R}

et

card

_{AI (y, R)}

le nombre d’éléments de

_{AI (y, R).}

Lemme 3.2. Pour tout y E

_K,

tout réel R &#x3E; 0 et tout idéal

_{fractionnaire}

non nul I de K

vérifiant

N(I)

R2,

@ on a :

ou _{c6 = zcs .}

Preuve. Soit I un idéal fractionnaire non nul

_{de K ;}

il existe ~3 E

_{~~il, ... , ~3h~}

et b E .K* tel _{que :} bI = ~i.

Or,

X‘ est

quadratique imaginaire

donc on a

~b~

= _{comme :}

N(b)

=

N(B)

on obtient .

Notons

_Le

le réseau de

R2

_image

de ~3 par le

plongement canonique

où

_{Re(x), (resp. Im(x»}

_désigne

la

_partie

réelle

_{(resp. imaginaire)}

de _x, B le

_disque

de

R2

de centre

_a(bv)

et de _rayon et aB son bord.

On a _{évidemment card}

_A~

by,

card LB n

B.

Il existe ai E

Z, i

=1, 2, 3

avec al &#x3E;

_0,

_{a3 &#x3E;} 0 tel _que + soit une Z-base de

B ;

on a évidemment = _ala3.

Si

_{(el, e2)}

_désigne

la base

_canonique

de

_R2,

(a2

+

_a,3Re(w»el

+ est une base du réseau

L~.

Posons

₍₁

= _alel,

(2

=

(a2

₊

a3Re(w))ei

₊

a3Im(w)e2

et notons P la

matrice de passage de

((1,~2)

à

_{(el, e2),}

F le domaine fondamental de

_LB

relatif à la base

_{(Çi , ~2),}

le translaté de F par x,

D’autre

_part,

on a ; «

on en déduit _{que :}

Pour terminer la preuve du

lemme,

nous allons

_majorer

m.

Soit x =: +

_{x2~2 E}

Le,

tel _que

_{Fx n}

_{aB =1 0 ;}

il existe z = ₊

~2?

z E 8B tel

_{que xi}

=

[Z’]

et

x2

=

~z2~,

où

[.]

désigne

la

partie

entière.

On a

_alors,

la

majoration :

Ecrivons le centre

_u(by)

de B dans les bases

_(el,

_e2)

et

_{(~1, (2) ;}

Remarquons

que

quitte

à faire une translation _par un élément du réseau

LB,

on

_peut

_{supposer que}

0~~z==l,2.

Soit z E

aB ; z

= _{ziei + z2e2.} Par définition de

B,

on a :

Les coordonnées

_{zl, z2}

de z dans la base

_«l,

₍₂₎

vérifient :

On a donc , comme

, on en déduit que

Remarque

3.1: Pour l’estimation de card

_{Ao (y, R),}

il suffit de remarquer,

en suivant la preuve du lemme

3.2. (i),

que

où B est le

_disque

de centre

_Q(y)

et de _rayon R et F le domaine fondamental de 0 relatif à la base

_{{Q(1), Q(w)},}

et _que

On a donc l’estimation :

Remarque

3.2 : Si O est un anneau

_principal,

le groupe des classes d’idéaux de K est

_trivial,

la constante _c5 du lemme 3.2

_(i)

_peut

être

rem-placée

dans ce cas °

L’anneau 0 est un anneau de

Dedekind ;

soit v une

place ultramétrique

de l’idéal

_premier

de 0 associé à v.

Rappelons

_que la valeur absolue

1.lv

associée à v est normalisée _par

_Iplv

_{= 1 ;}

_p étant le nombre

_premier

tel

que P n z =

(p).

, ,

Pour de x.

où

_désigne

la valuation

_P-adique

Rappelons

les notations

_SR

=

{x

_E

0 B

101,

~~~

R},

_{pour y} E K et

parcourt l’ensemble des suites de t’ éléments distincts de

_SR’

Lemme 3.3. Soient v une

place ultramétrique,

P l’idéal

premier

associé

et y E (’J.

Alors,

on a :

Preuve. On a :

Rappelons

que

A~k ( y, R)

désigne

de on a : 1

Vue la définition

On a donc :

le lemme 3.2

_(ii)

entraîne que :

D’où,

et

Lemme 3.4. Pour toute

_{place ultramétrique v}

de K d’idéal associé P et

pour tout réel R &#x3E;

1,

on a les deux

_types

d’estimation suivantes :

avec 1

Preuve. On a : Soit _so un élément de

SR

réalisant ce minimum. Comme ~ l’estimation

_(3.4.1).

Pour démontrer l’estimation

_(3.4.2),

_remarquons que :

(IlsEs’ R

s)

E(O,

t’,

SR)

est un entier de K. Donc _{pour toute}

place

ul-tramétrique v

de

_K,

on a :

Or,

et le lemme

_{3.2. ~i~}

montre _que, si

On en

déduit

_{que :}

d’où l’estimation

_(3.4.2).

D

Pour les

_polynômes

de

_Lagrange

_PR,

nous avons les estimations

suiv-antes :

Lemme 3.5. Pour toute

_{pdace uttramétrique v}

d’idéal associé

_P,

tout R &#x3E;

_1,

Preuve.

_{L’inégalité}

_(3.5.1)

résulte de l’estimation

_(3.1.2)

du lemme 3.1 avec S =

SR jointe

_au lemme 3.3 _et à

l’inégalité (3.4.1)

du lemme 3.4.

Quant

à

_{l’inégalité}

_(3.5.2),

elle résulte de l’estimation

_(3.1.2)

du lemme

_3.1,

avec S’ =

S’R, jointe

_au lemme 3.3 _et à

l’inégalité

(3.4.2).

D

Enfin,

un lemme sur l’estimation de certaines sommes

_portant

sur les nombres

_premiers.

Lemme 3.6. Soient X et Y deux nombres réels &#x3E;

_2,

on a :

Preuve.

_{L’inégalité}

_(3.6.1)

est

_classique

_(cf.

_[10],

corollaire 1 du théorème

_2).

Par

_ailleurs,

en

_posant

log p,

on _a,

d’après

la formule sommatoire d’Abel

_(cf.

_{[2], §}

_5,

théorème

_1.6)

_pour toute fonction

_f

con-tinûment dérivable sur

] 1, + oo [ :

Les estimations

_{(3.6.2), (3.6.3)}

et

_(3.6.4)

s’en déduisent en utilisant

l’iné-galité

classique :

B(X )

1, 02X

(cf.

[10],

théorème

₉₎

et l’estimation de

l’intégrale

dans les cas

4. PREUVE DU

THÉORÈME.

On _a,

_d’après

la formule de Leibniz

En

_majorant

_chaque

terme de cette somme à l’aide de

l’inégalité (3.1.3)

du lemme

_3.1,

on obtient dans le cas archimédien :

Montrons maintenant l’estimation

_{arithmétique.}

Rappelons

que pour a E

_K,

on a :

où la somme

_porte

sur toutes les

places

ultramétriques

de K.

Soit

_{(yr, ..., y)}

E

_on,pour

estimer le dénominateur commum de

1

0,...,t;A: =

0, ..., l; p

R; i

=

_{1, ..., n,}

_{nous sommes}

amenés à estimer

i-! dzr

p

)I

pour les

places ultramétriques v

de K.

On déduit de la formule de Leibniz

_précédente

que, pour toute

place

ultramétrique

v de K

_{et yi}

E

0,

on a :

Cette

_inégalité

_jointe

aux estimations du lemme 3.5 entraînent en no-tant P l’idéal

_premier

associé à _{v, que pour} tout

_(k,

_T,

_{p, i); k}

=

0, ... , l ;

Remarquons

que si

N(P)

&#x3E;

R2

alors _pour tout k E

_N,

tout

_{p, p R,}

et

D’autre

_part,

si t &#x3E;

_15R,

on a _pour tout i

Posons alors :

_Ro

= min

En tenant

_compte

de ces _remarques et en utilisant

l’inégalité

(4.1.1),

si

.Rô

(resp. (4.1.2)

si &#x3E; on obtient:

K étant un _corps

_quadratique,

on a : = _p ou

p2

si _p est le nombre

premier

tel

_{que P}

n Z

_{= (p)}

et il existe au

plus

deux idéaux

_premiers

au-dessus d’un nombre

_premier

_p.

D’où,

l’estimation

_(3.6.1)

du lemme 3.6 entraîne que :

Comme

_{N(~) &#x3E;}

2

_{pour P}

E

_{Spec(O) ,}

cette somme est évidemment nulle D’autre

_part,

en notant

_(-)

le

_symbole

de

_Legendre,

on a :

En utilisant l’estimation

_(3.6.2)

du lemme

_3.6,

on obtient :

Des

_inégalités

_(3.6.3)

et

_(3.6.4)

du lemme

_3.6,

on tire les

majorations :

On en déduit _que si

Ro &#x3E;

v’2,

on a :

et si

_Ro

a la

_{majoration plus}

_{simple :}

log

den. corn .

Vue la définition de

_Ra,

on a :

, on en déduit que :

log

den. com ~

5. APPLICATION DU

THÉORÈME

1.

Le théorème suivant est une extension du théorème de

Pôlya

dans le sens suivant : étant donnée une fonction

f / 9

méromorphe

non

_rationnelle,

avec

f

_{et g}

d’ordre

2,

qui

envoie un sous-ensemble S de l’anneau des entiers d’un _corps

_quadratique

_imaginaire

dans un _corps de

_nombres,

avec

S vérifiant une

propriété

de "densité"

arithmétique ;

alors le

_type

de

f

ou

g est minoré. Pour l’estimation de ce

_minorant,

on utilise la méthode de M. Waldschmidt

_(cf.

_[11])

basée sur les

techniques

des alternants de M.

Laurent.

Ce théorème

_répond

à une

_{question posée}

_par M. Waldschmidt dans

[11].

Notons _pour R &#x3E; 0 et

_f

une fonction

entière,

B(O, R) =

Iz

E

_R}

et

_{If IR =}

_SUPlzl=R

On note h la hauteur

_{logarithmique}

absolue de

_{Weil, h}

est définie sur de la

_façon

suivante : _pour P =

(xo, ... , XN)

_E où K

où v décrit l’ensemble des

_places

de

_K,

normalisées de telle sorte

_qu’on

ait

la formule du

_{produit :}

_pour tout x E

_0,

_llv

=1.

Si a est un nombre

_algébrique,

on

_désigne

_par

h(a)

la hauteur du

point

(1, a)

Théorème 5.1. Soient k un _corps

quadratique imaginaire

de discriminant

D,

Ok

l’anneau des entiers de

_k,

K une extension

finie

de k de

_degré

d sur

Q

que l’on considère

plongé

dans

C,

,0 deux réels

positif s.

Soient S un sous-ensemble de

f

deux f onctions

entières d’ordre

~

2,

vérifiant :

et _{pour tout} R

_suffisamment

_grand,

et

Alors il existe un réel 0 &#x3E; 0 calculable en

f onction

de _{’YO, ’Y1,} D et d tel

que si

(5.4)

max{log

f

IR,

log

OR 2

pour tout R

suffisamment grand,

alors f

est une

f onction

rationnelle.

9

Preuve. Soient

_Lo

et B des entiers &#x3E; 1. On pose :

On a : card

(cf.

remarque

3.1)

On considère les L fonctions : C - C définies par :

où

On note ces L fonctions :

_{~pa (z),}

1 À L.

(a

(resp. M )

est l’indice de

_ligne

_{(resp. colonne)).}

0

est une fonction entière sur

CL.

On ordonne les éléments de S par

module, puis

argument

croissant. On

notera "" cette relation d’ordre.

1er pas : On suppose que

l’hypothèse

(H)

suivante est vérifiée.

(H):

Pour tout

_Lo

assez

_grand

il existe L éléments de S : _{si s2} ... sL,

tels _{que :}

_{s~) ~}

0.

On choisit le

_L-uplet

_{(Sl,... , sL)}

minimal _pour l’ordre

_{lexicographique}

dans

_SL,

vérifiant :

_{~(s1, ... , ~L) 7~}

_0,

et on note

Remarquons

que pour tout

1 c L,

1

&#x3E;

1 ;

en

_effet,

comme _pour

tout

_Ào

E

_I,

_{= 0,}

s’il existe _J.L dans l’ensemble

_{{1, ... , L}}

tel _que

Sm =

_0,

alors

O(Sl, - -

sL)

= 0. Donc _pour tout

1 ~c L,

su E

{O},

d’où

_[

&#x3E; 1. Pour donner une

_majoration

de nous allons utiliser le lemme de Schwarz.

On pose no = 0 et

n~ =

card{s

_E

Sls

S,1

pour M

=1, ... ,

L.

On note

_ÇO,Ç1,...

_,ÇnL

les éléments de l’ensemble

_{s

_{SL 1}

ordonnés

de manière à avoir

_eo

_el

...

enL’

Soit A un réel &#x3E; 1. On _{pose :}

_Ru

= et E =

A2+1,

2A

alors,

on a :

_{0 nl}

_{n2 ... nL} et _pour tout

_{1 /}

_L;

= s.t,

maxo et

D’autre

_part,

on a _pour tout

_{0 ~c L et n~ z}

_r~~+1, la matrice

est _{de rang y,} sinon il existe ~;

0 - li

L,

des éléments ...,

sL

de S et

un

_{entier j}

_{avec M + 1}

_j

L tels

_{que s.}

_Sj

et

§(s i , ... ,

_{s~+2, ... , s~) ~}

0 ;

cela contredit la minimalité du

L-uplet

(sl, ...,

sL).

Par

_conséquent,

_{pour tout} 0 v

_L,

la fonction

ables _{Zv+1,... , ZL} est

_{analytique ;}

cela _permet d’écrire

_(cf.

_proposition

2

car

Majoration

de

_{1 ~C L.}

D’après

le théorème

_2.1,

pour tout

Ào

E

_I,

on a :

D’autre

_part,

_d’après

_{l’hypothèse}

_(5.4),

il existe un réel

.R2

&#x3E; 0 tel que :

191RI

e6R2,

pour tout R &#x3E;

R2.

On en déduit _{que pour tout} 0

Ai

B,

on a :

Grâce à ces

_majorations,

on obtient :

Minoration de ·

Notons Q le dénominateur commun des .

pour 1

::; fL

L,

A~

le dénominateur de

On pose :

-

-ona:

D’aprés l’hypothèse

(5.1)

G1’

E

_K,

comme

par suite

l’inégalité

de Liouville entraîne :

d étant le

_degré

de K sur

Q.

Comme est un entier

algébrique

de K _{pour 1} L on a:

où

_désigne

l’ensemble des

_places

archimédiennes de

_K,

or

_d,

=

d,on

en déduit _que:

D’où:

Comme

_{f2PLo ( S J.L}

+

_{Ào) (1}

_{A, 11}

_L)

est un entier d’un _corps

quadra-tique

imaginaire,

on a : +

_{Ao» :5}

+

_{Ao)1 1}

et

_grâce

au théorème

_2.1,

on obtient :

D’autre

_part,

_d’après

_{l’hypothèse}

_(5.3),

il existe

_RI

&#x3E; 0 tel que :

1 - , , ,

On en déduit _{que pour tout}

Rappelons

que J donc

Comme

_{l’inégalité}

_{(5.5) jointe}

aux estimations

_{précédentes}

entraînent _{que :}

Rappelons

que E =

A;11

(A

étant un réel &#x3E;

1).

De la

_majoration

et la minoration de il résulte :

Dans cette

_inégalité,

pour 1 li

L,

on va

majorer

Is,1

(

en fonction de _ntt.

D’après l’hypothèse

(5.2),

il existe un réel

Ro

&#x3E; 0 tel _{que :}

il en résulte _{que pour} tout R &#x3E;

_1,

Rappelons

que pour

1 ~,

L,

ISJLI

&#x3E; 1 et n, =

card{s

_E

Sis

card

_{s

E &#x3E;

_’YoR5.

En

_{prenant Lo}

suffisamment

_grand,

on

_peut

_{supposer que}

Lo,

_par

conséquent,

on a la

majoration :

En

_reportant

cette

_majoration

dans

_{l’inégalité}

obtenue à

_partir

de la

majoration

et la minoration de

_{JAI, et}

en

_{posant :}

on obtient :

Nous allons montrer que si 0 est "assez

petit"

en fonction de

d, D, ’Yo

et ~y1 alors

l’inégalité

précédente

ne

_peut

avoir lieu.

On _{suppose que :}

On va donner une

majoration

de T :

Considérons la fonction :

Rappelons

quel

En étudiant la fonction

_{f ,}

on vérifie

qu’il

existe

un réel _xo &#x3E;

_-’YoLo

tel _que

f

est croissante

_{sur ] -}

_-yolo,

_xo]

et décroissante sur

[xo, +oo[,

et comme

pour

1 :s; ~ ~

L les entiers

_positifs

_n, sont

_distincts,

on en déduit :

Soit la fonction _g définie par :

Rappelons

que L =

BâL.

=

BaLô.

On vérifie facilement _{que si}

1=,

alors g

est décroissante sur

(o, +oo (.

- ₂ 1 9

On _{suppose que :}

Par

_conséquent,

on a

_{l’inégalité :}

En

_prenant

le

_logarithme

de

chaque

membre de cette

_inégalité,

en divisant

par

L2,

et en faisant tendre

Lo

vers

_l’infini,

on obtient :

Par

_conséquent,

en

_supposant

_que

l’hypothèse

(H)

ne

_peut

se

produire ;

en

effet, l’inégalité

(5.8)

entraîne

(5.7)

et

_(5.6)

par

suite,

on a une contradiction.

En conclusion du

_premier

pas, sous les

hypothèses

du théorème

(5.1)

et

l’inégalité

(5.8),il

existe un entier L assez

_grand

tel _que la

_{fonction 0}

s’annule sur

S~ .

2ème _{pas :} On suppose alors

qu’il

existe L assez

_grand

tel _que la

fonction §

s’annule sur l’ensemble

S’L.

Par

conséquent,

il existe des nombres

complexes

aa, a =

l, ... ,

L,

non tous

_nuls,

tels que la fonction :

s’annule sur S.

Si T est

_{identiquement nulle,}

_puisque

les

_polynômes

+

_AD),

Lo

sont linéairement

indépendants, $

est une fonction

_algébrique,

9

et comme elle est

_méromorphe

dans

_C,

il en résulte

que 1-

est une fonction 9

rationnelle.

Si T est non

identiquement

nulle,

en utilisant le théorème 2 et

_{l’hypothèse}

et

Donc _pour tout R suSisamment

_grand,

On en déduit _{que pour e} &#x3E;

_0,

il existe un réel

Ro

&#x3E;

_0,

tel _que si R &#x3E;

_Ra,

on a:

Comme T est non

identiquement

nulle et

qu’elle

s’annule sur

S’,

elle est

non constante et

_{puisqu’elle}

est

_entière,

elle n’est pas bornée.

Alors,

il

existe un réel

Ra

tel _{que :} &#x3E;

M,

où M =

I:L 1

BIf étant nulle sur

_s,

le lemme de Schwarz en une variable

(cf.

_proposition

2

_[11]),

entraîne :

Comme card

_{d’après l’hypothèse}

_(5.2),

on en déduit

en

_prenant

le

logarithme

de

chaque

membre et en faisant tendre - vers

_0,

on obtient :

ce

_qui

contredit

_{l’inégalité}

(5.8).

En

_conclusion,

sous les

hypothèses

du théorème

5.1,

si

alors 1-

est une fonction rationnelle. 9

On vérifie _que ce maximum est strictement

_{positif ;}

il suffit de

_prendre

Remarques :

1. Dans

_~12J,

M. Waldschmidt a démontré un résultat

_analogue

au théo-rème

_5.1,

dans le cas où S C

_Z,

en utilisant la méthode de Schneider.

2. En

_prenant

une fonction entière non

polynômiale

_qui

envoie

Ok

dans

_Ok

et

vérifiant

log

’Y1R2,alors

le théorème 5.1 montre _{que qi} est minoré en fonction du discriminant de k.

Signalons

que dans ce cas

_particulier

F. Gramain

_{(cf. [6])}

a obtenu la mino-ration

_optimale

~

.

BIBLIOGRAPHIE

[1] Z.I. _{Borevitch, I.R.Chafarevitch,} Théorie des _nombres, Ed. _{Gauthier-Villars,} Paris.

[2] W. _Ellison, M. Mendès France, Les nombres _premiers, Pub. de l’Institut de Math. de l’Univ. de _{Nancago, IX,} Ed. _Hermann, 1975.

[3] N.I. _{Fel’dman, Improved} estimate for a linear form of the _logarithms of algebraic numbers,

Math. Sbornik _{77, (119), 1968 ;} 423-436 = Math. USSR Sbornik _{6, 1968, pp. 393-406.} [4] A. Gel’fond, Sur les propriétés arithmétiques des fonctions _entières, Tôhoku Math. _J., t.

30 ; 1929, pp. 280-285.

[5] F. Gramain, Polynômes d’interpolation sur _{Z[i], Groupe} d’Etude d’Analyse Ultramétrique,

no _{16, 1978/79, 13p.}

[6] F. _Gramain, Sur le théorème de Fukasawa-Gel’fond, Invent. Math. 63 _(1981), 495-506.

[7] L. Gruman, Propriétés arithmétiques des fonctions _entières, Bull. Soc. Math. de France 108

(1980), 421-440.

[8] P. Philippon, Polynômes d’interpolation sur Z et _Z[i], dans Lecture Notes in Mathematics

no _{1415, cinquante} ans de polynômes,

Proceedings, Paris, 1988, eds M. Langevin, M. Waldschmidt, Springer-Verlag.

[9] G. Pôlya, Über ganzwertige ganze Funktionen, Rend. Circ. Math. _Palermo, t. 40 _(1915), 1-16.

[10] J.B. Rosser, L.Schoenfeld, Approximate formulas for some functions of _{prime numbers,}

Illinois J. Math. 6 (1962), 64-94.

[11] M. Waldschmidt, Extrapolation et _Alternants, Pub. Math. de l’Univ. Pierre et Marie Curie

no _{108, groupe d’étude} sur les _{problèmes diophantiens, 92-93, exposé} no 11.

[12] M. _{Waldschmidt, Pòlya’s} theorem _by Schneider’s method, Acta Mathematica Acad. Scien.

Hung. 31 _{(1-2) (1978),} 21-25.

UFR de Mathématiques - URA CNRS 751, Bât. M2 Université des Sciences et _Technologies de Lille F-59655 Villeneuve _d’Ascq Cedex _(France)