Polynômes d’interpolation de Lagrange

Université d’Orléans Année 2009-2010

Devoir à la maison 2

2MA01-Licence de Mathématiques

Polynômes d’interpolation de Lagrange

SoitK=RouCetn>2. Soient x₁, x₂, . . . , x_n néléments distincts deK. Pour toutj∈ {1, . . . , n}, on pose

L_j =

n

Q

k=1,k6=j

(X−xk)

n

Q

k=1,k6=j

(xj−xk) .

On dit queLj est lej-èmepolynôme d’interpolation de Lagrangeassocié àx1, x2, . . . , xn. 1. Déterminer le degré deLj pour toutj∈ {1, . . . , n}.

2. CalculerLj(xl)pour tout(j, l)∈ {1, . . . , n}².

3. Soient P, Q ∈ K[X] de degré strictement inférieur à n. On suppose que P(xj) = Q(xj) pour tout j ∈ {1, . . . , n}.

Montrer queP =Q.

4. SoitP ∈K[X]. On définit le polynômeL=Pn

j=1P(xj)Lj. Montrer que Lest le reste dans la division euclidienne de P par

n

Q

k=1

(X−x_k).

5. SoitP∈K[X]de degré strictement inférieur àn. Montrer queP s’écrit d’une manière et d’une seule sous la forme

P =

n

X

j=1

λjLj avec λj∈K.

6. Soient(x₁, y₁),(x₂, y₂), . . . ,(x_n, y_n)npoints du planR²avecx₁, x₂, . . . , x_ndistincts. Montrer qu’il existe un polynôme P ∈R[X]de degré strictement inférieur à net un seul tel queP(x_j) =y_j pour toutj ∈ {1, . . . , n}.

7. Pour toutj∈ {0, . . . , n−1}on pose z_j=e^i2πnj.

(a) Quelle relation existe-t-il entre les z_j et le polynômeXⁿ−1? (b) Montrer que

n−1

Q

j=1

(X−zj) =Pn−1

j=0 X^j et en déduire la valeur de

n−1

Q

j=1

(1−zj).

(c) Calculer les polynômes d’interpolation de LagrangeL_j∈C[X](oùj = 0,1, . . . , n−1) associés àz₀, z₁, . . . , z_n−1. (d) Montrer que pour toutj = 0,1, . . . , n−1 et toutz∈C,|Lj(z)|6(|z|+ 1)ⁿ⁻¹.

(e) SoitP ∈C[X]de degré strictement inférieur àn. Montrer que

∀z∈C, |P(z)|6max

|a|=1|P(a)|(|z|+ 1)ⁿ⁻¹.