Equations différentielles

(1)

Chapitre 3

Équations diﬀérentielles

Objectifs

– Être capable d’étudier la continuité et la dérivabilité d’une fonction. Connaître les théorèmes généraux.

– Être capable de reconnaître une équation diﬀérentielle linéaire d’ordre 1 et connaître la méthode de résolution.

– Être capable de reconnaître une équation diﬀérentielle linéaire d’ordre 2 à coeﬃcients constants et connaître la méthode de résolution.

– Connaître la méthode d’Eulerpour une résolution approchée.

Plan

3 Équations diﬀérentielles 25

I) Généralités . . . 26

1) Fonctions continues . . . 26

2) Fonctions dérivables . . . 26

3) Cas des fonctions à valeurs complexes . . . 27

4) Primitives . . . 28

II) Équations diﬀérentielles linéaires du premier ordre . . . 29

1) Déﬁnitions . . . 29

2) Étude de l’équation homogène . . . 29

3) Étude de l’équation avec second membre . . . 30

III) Équations diﬀérentielles linéaires du second ordre . . . 31

1) Étude de l’équation homogène . . . 31

2) Étude de l’équation avec second membre . . . 32

IV) Compléments . . . 32

1) Équations à variables séparées . . . 32

2) Équation de Bernoulli . . . 33

3) Méthode d’Euler . . . 33

V) Exercices . . . 34

(2)

Notations :

– I désigne un intervalle deR.

– Si f :I →Rest une fonction, on noteIm(f)l’ensemble image def, c’est l’ensemble des images parf des éléments deI :Im(f) ={y∈R/∃ x∈I, f(x) =y}.

I) Généralités

1) Fonctions continues

NDéﬁnition 3.1

Soitf :I →Rune fonction et soitt0 ∈I, on dit quef estcontinue en t0 lorsque : lim

t→t0

f(t) =f(t0).

Sif est continue en tout point de I, alors on dit que f est continue sur I. L’ensemble des fonctions continues surI est noté C⁰(I,R).

XExemple(s):

(i) Les fonctions trigonométriques, logarithmes, exponentielles, puissances, polynomiales, rationnelles, ainsi que la fonction valeur absolue sont continues sur leur ensemble de déﬁnition.

I théorème3.1 (Théorèmes généraux)

Soient f, g deux fonctions continues surI, et soitα un réel, alors : – f+g,f×get αf sont continues sur I.

– Si g ne s’annule pas surI alors f

g est continue sur I.

– Si h est une fonction continue sur un intervalle J et siIm(f) ⊂J, alors h◦f est continue surI.

2) Fonctions dérivables

NDéﬁnition 3.2

Soit f :I →Rune fonction et soitt0 ∈I, on dit que f estdérivable en t0 lorsque la fonction : t7→ f(t)−f(t0)

t−t₀

admet une limite ﬁnieen t₀. Si c’est le cas, cette limite est notée f⁰(t₀) et appelée nombre dérivé de f en t0. Lorsquef est dérivable en tout point deI on dit que f est dérivable sur I et la fonction deI versRqui à tassocief⁰(t) est appeléedérivée de f sur I, on la notef⁰ ou bien df

dt. L’ensemble des fonctions dérivables surI est noté D(I,R).

XExemple(s):

(i) Les fonctions trigonométriques, logarithmes, exponentielles, polynomiales et rationnelles sont déri- vables sur leur ensemble de déﬁnition.

Les fonctions valeur absolue et x7→x^α avec α∈]0; 1[ne sont pas dérivables en 0.

(3)

Généralités 27

I théorème3.2 (Théorèmes généraux)

– Si f est dérivable ent₀, alorsf est continue en t₀ mais la réciproque est fausse.

– Sif etgsont dérivables surI et siα∈Ralors les fonctionsf+g,f×getαf sont dérivables surI avec les formules :

– (f +g)⁰ =f⁰+g⁰.

– (f ×g)⁰ =f⁰×g+f ×g⁰. – (αf)⁰ =αf⁰.

– Si f est dérivable sur I etne s’annule pasalors 1

f est dérivable sur et (1

f )₀

= −f⁰ f² . – Si f est dérivable surI et si g est dérivable sur J avec Im(f) ⊂J, alors g◦f est dérivable

surI et(g◦f)⁰ =f⁰×[g⁰◦f].

Du quatrième point découlent les formules de dérivation usuelles :

Fonction Dérivée

sin(u) u⁰cos(u) cos(u) −u⁰sin(u) tan(u) u⁰(1 + tan(u)²) = u⁰

cos(u)²

e^u u⁰e^u

ln(|u|) u⁰ u u^α αu⁰u^α⁻¹

3) Cas des fonctions à valeurs complexes

Soit f : I → C une fonction à valeurs complexes, pour t ∈ I, posons u(t) = Re(f(t)) et v(t) = Im(f(t)), on déﬁnit ainsi deux fonctionsu etv àvaleurs réelles telles que :

∀t∈I, f(t) =u(t) +iv(t).

La fonction u est appelée partie réelle de f (notée Re(f)) et la fonction v est appelée partie imaginaire de f (notée Im(f)). Par exemple, pour la fonction f déﬁnie sur R par f(t) =e^it, on a Re(f) = coset Im(f) = sin.

NDéﬁnition 3.3

Soit f :I →Cune fonction, soit u sa partie réelle etv sa partie imaginaire, on dit que : – f est continue en t₀∈I lorsque les fonctionsu etv sont continues en t₀.

– f est dérivable en t0 lorsque les fonctions u et v sont dérivables en t0. Si c’est le cas, alors on posef⁰(t0) =u⁰(t0) +iv⁰(t0). On remarquera que sif est dérivable surI, alorsRe(f⁰) = [Re(f)]⁰ etIm(f⁰) = [Im(f)]⁰.

(4)

I théorème3.3

Soit u : I 7→ C une fonction dérivable, alors la fonction f : t → eû(t) est dérivable sur I et [eû(t)]⁰=u⁰(t)eû(t).

On a les mêmes règles de calcul de dérivation que pour les fonctions à valeurs réelles :

[f+g]⁰ =f⁰+g⁰, [f ×g]⁰ =f⁰g+f g⁰ et[f

g]⁰ = f⁰g−f g⁰ g² .

4) Primitives

NDéﬁnition 3.4

Soit F, f :I →C deux fonctions, on dit queF est une primitive de f sur I lorsqueF est dérivable surI etF⁰ =f.

I théorème3.4

Si F etG sont deux primitives de la fonctionf sur l’intervalle I, alors il existe une constante α∈Ctelle que : ∀ t∈I, F(t) =G(t) +α.

Notation: sif :I →Cest continue avec f =u+iv oùu etvsont les parties réelle et imaginaire de f, alors pour aetbdans I, on note :

∫ _b

a

f(t)dt=

∫ _b

a

u(t)dt+i

∫ _b

a

v(t)dt.

I théorème3.5

Soit f :I → Cune fonction continue, soit t0 ∈ I et soit y0 ∈C, alors f admet une unique primitiveF surI qui vauty₀ en t₀, celle - ci est déﬁnie par :

∀ t∈I, F(t) =y₀+

∫ _t

t0

f(s)ds.

Conséquence : on déduit du théorème précédent que si F est une primitive de f sur I et sia et b sont dansI, alors∀t∈I, F(t) =F(a) +

∫ _t

a

f(s)ds, et donc :

∫ _b

a

f(s)ds= [F(s)]^b_a=F(b)−F(a), comme pour les fonctions à valeurs réelles.

Dans la suite,Kdésigne Rou C.

(5)

Équations diﬀérentielles linéaires du premier ordre 29

II) Équations diﬀérentielles linéaires du premier ordre

1) Déﬁnitions

NDéﬁnition 3.5

Une équation diﬀérentielle scalaire linéaire d’ordre 1 est une équation diﬀérentielle de la forme :

a(t)y⁰(t) +b(t)y(t) =c(t) (notée plus simplement :a(t)y⁰+b(t)y=c),

où a, b, c : I → K sont trois fonctions déﬁnies continues sur un intervalle I de R et y : I → K une fonction dérivable inconnue. On suppose de plus que la fonctionan’est pas la fonction nulle.

NDéﬁnition 3.6

Soit (E) :a(t)y⁰+b(t)y = c(t) une équation diﬀérentielle linéaire, on appelle équation homogène associéeà (E) l’équation diﬀérentielle :

(H) :a(t)y⁰+b(t)y= 0.

La fonctioncest souvent appelée second membre de l’équation (E).

Dans la pratique on a souvent en plus une condition sur la fonction inconnueydu type :y(t0) =α oùt0 etαsont des données. Cette condition est appelée condition initiale, et on appelleproblème deCauchy¹ le système : 





a(t)y⁰+b(t)y = c(t) y(t₀) = α

.

2) Étude de l’équation homogène

I théorème3.6

SoitS_I(H)l’ensemble des solutions surI de l’équation homogène(H), alors on a les propriétés : – 0∈SI(H) (fonction nulle).

– ∀f, g∈S_I(H), f+g∈S_I(H).

– ∀α∈K,∀f ∈SI(E), αf ∈SI(H).

Résolution de (H) : on se place sur un intervalle I où la fonction a ne s’annule pas, on a alors

∀ t∈I, y⁰=−b

ay. Soit F une primitive de la fonction−b

a surI, on a alors : y∈SI(H)⇐⇒y⁰ =F⁰y⇐⇒ d

dt[ye⁻^F] = 0⇐⇒ ∃λ∈K,∀t∈I, y(t) =λe^F^(t). On peut donc énoncer :

1CAUCHY Augustin-Louis(1789 – 1857) : un des plus grands mathématiciens français.

(6)

I théorème3.7

Lorsque la fonctiona ne s’annule pas sur l’intervalleI alors :

S_I(H) =





y: I → K t 7→ λe^F(t)

/λ∈K



,

où F désigne une primitive de la fonction −b a sur I.

Conséquences : si la fonction ane s’annule pas surI :

– Le problème de Cauchy pour l’équation (H) a une unique solution. Car la condition initiale détermine complètement la constante λ.

– L’unique solution sur I qui s’annule en un point donné est la fonction nulle. Par conséquent toutes les autres solutions ne s’annulent jamais sur I, lorsque K= R elles ont toutes un signe constant (car elles sont continues).

3) Étude de l’équation avec second membre

On revient au cas général : (E) :a(t)y⁰+b(t)y=c(t).

I théorème3.8

Soit S_I(E) l’ensemble des solutions de(E) sur l’intervalle I etS_I(H)l’ensemble des solutions de l’équation homogène associée. SiSI(E)n’est pas vide et si y1 est une solution de(E), alors les solutions de(E)sont les fonctions s’écrivant comme somme dey₁ avec une solution de(H), c’est à dire :

SI(E) ={ y : I → K /∃ f ∈SI(H), y =y1+f}, ce que l’on note : SI(E) =y1+SI(H).

Pour déterminer toutes les solutions de (E) on est donc ramené à résoudre l’équation homogène puis à trouver une solution particulière de(E).

Recherche d’une solution particulière : on se place de nouveau sur un intervalleI où la fonction ane s’annule pas et on applique la méthode de la variation des constantes:

Soit F une primitive de−b

a surI, on cherche une solution particulière sous la formey=λe^F oùλ estune fonction dérivable sur I. La fonctiony est solution de(E) ssia[λ⁰e^F+λF⁰e^F] +bλe^F =c, ce qui équivaut à aλ⁰e^F +λ[aF⁰e^F +be^F] = c ou encore λ⁰ = c

ae⁻^F, car e^F est solution de (H).

Comme la fonction c

ae⁻^F est continue surI, elle admet des primitives sur cet intervalle, ce qui prouve l’existence de λ. Une solution de (E) est donc :

y1 =λe^F avec λ(t) =

∫ _t

t0

c(s)

a(s)e⁻^F(s)dsetF(t) =

∫ _t

t0

−b(s) a(s)ds, et les solutions de(E) sont les fonctions :

y=y₁+αe^F avec y₀∈Kquelconque [ety(t₀) =α].

(7)

Équations diﬀérentielles linéaires du second ordre 31

Lorsque la fonctionane s’annule pas sur l’intervalleI le problème deCauchya une unique solution.

Résoudre de telles équations différentielles revient donc à calculer des intégrales, d’où les expressions que l’on rencontre parfois comme : « intégrer une équation différentielle », ou « solution intégrale d’une équation différentielle ».

III) Équations diﬀérentielles linéaires du second ordre

On s’intéressera uniquement au cas où les coeﬃcients sont des constantes, c’est à dire aux équations diﬀérentielles de la forme :y⁰⁰+ay⁰+by =f où a, b∈Ket f :I → Kune fonction continue (second membre). Pour de telles équations, le problème deCauchyest :











y⁰⁰+ay⁰+by = f y(t₀) = α y⁰(t0) = β

,oùt₀, αet

β sont des données.

1) Étude de l’équation homogène

I théorème3.9

Soit S(H) l’ensemble des solutions de l’équation homogène sur R:y⁰⁰+ay⁰+by= 0, il existe deux fonctions φ1, φ2 solutions de(H) telles que : S(H) ={αφ1+βφ2/α, β∈K}.

À retenir : solutions de l’équation homogène : soit x² +ax+b = 0 l’équation caractéristique et

∆ =a²−4b son discriminant : – Si K=C :

– Si∆6= 0, alors l’équation caractéristique à deux solutions distinctes :λ₁etλ₂, on peut prendre alors φ1 :t7→e^λ¹^t etφ2 :t7→e^λ²^t. Les solutions sont les fonctions t 7→ αe^λ¹^t+βe^λ²^t avec α, β ∈C.

– Si ∆ = 0, alors l’équation caractéristique à une solution double : λ1 =λ2, on peut prendre alors φ1:t7→e^λ¹^t etφ2:t7→te^λ¹^t. Les solutions sont les fonctions t 7→ (α+βt)e^λ¹^t avec α, β ∈C.

– Si K=R :

– Si∆>0, alors l’équation caractéristique à deux solutions distinctes :λ₁etλ₂, on peut prendre alors φ₁ :t7→e^λ¹^t etφ₂ :t7→e^λ²^t. Les solutions sont les fonctions t 7→ αe^λ¹^t+βe^λ²^t avec α, β ∈R.

– Si ∆ = 0, alors l’équation caractéristique à une solution double : λ1 =λ2, on peut prendre alors φ1:t7→e^λ¹^t etφ2:t7→te^λ¹^t. Les solutions sont les fonctions t 7→ (α+βt)e^λ¹^t avec α, β ∈R.

– Si ∆ < 0, alors l’équation caractéristique possède deux solutions complexes non réelles et conjuguées : λ et λ, en posant λ = r + iω (forme algébrique), on peut prendre alors

(8)

φ₁ :t7→cos(ωt)e^rt etφ₂:t7→sin(ωt)e^rt. Les solutions sont les fonctions t 7→ (αcos(ωt) + βsin(ωt))e^rt avec α, β ∈R.

I théorème3.10

Soient a, b∈R, les solutions réelles de l’équationy⁰⁰+ay⁰+by= 0 sont les parties réelles des solutions complexes.

2) Étude de l’équation avec second membre

I théorème3.11

Si f : I → K est une fonction continue, alors l’équation (E) : y⁰⁰+ay⁰ +by = f admet des solutions sur I. Siy₁ est une solution de (E), alorsS_I(E) =y₁+S_I(H). De plus, le problème de Cauchy a une unique solution.

Dans le cas réel avec ∆ < 0, l’unique solution complexe au problème de Cauchy est une solution réelle.

Dans la suite on s’intéressera seulement au cas où le second membre est de la formef(t) =P(t)e^λt où P est une fonction polynomiale à coeﬃcients dansK, etλ∈K.

I théorème3.12

L’équation y⁰⁰+ay⁰+by=P(t)e^λt admet une solution particulière de la forme y(t) =Q(t)e^λt où Qest une fonction polynomiale.

IV) Compléments

1) Équations à variables séparées

NDéﬁnition 3.7

Une équation diﬀérentielle à variables séparées est une équation de la forme :y⁰b(y) =a(t) oùa, bsont deux fonctions continues données.

Méthode de résolution : Si a est continue sur un intervalle I et b sur un intervalle J, on peut considérer une primitiveA de a surI et une primitive B de bsur J, dans ce cas l’équation équivaut à : d

dt[B(y)] = A⁰(t), et donc B(y) = A(t) +λoù λ désigne une constante. On regarde ensuite si la fonctionB est localement ou globalement bĳective, auquel cas on pourra écrirey(t) =B⁻¹(A(t) +λ).

(9)

Compléments 33

2) Équation de Bernoulli

NDéﬁnition 3.8

Une équation de Bernoulli² est une équation diﬀérentielle de la formey⁰ =a(t)y^λ+b(t)y où aetb sont deux fonctions continues sur un intervalleI, etλ∈R^∗\ {1}.

Méthode de résolution: La fonction nulle est solution. S’il existe une solution ynon constamment nulle, alors il doit exister un intervalle J sur lequel y ne s’annule pas, sur un tel intervalle y est de signe constant, on peut donc faire le changement de fonction y =εz^α avec ε= ±1 suivant le signe de y, l’équation devient alors : αz⁰ = b(t)z+a(t)z^α(λ⁻¹⁾⁺¹, en prenant α = ₁₋¹_λ, on a une équation diﬀérentielle linéaire du premier ordre, on sait donc la résoudre.

3) Méthode d’Euler

On ne dispose pas de méthode générale pour résoudre n’importe quelle équation diﬀérentielle.

Même pour des équations diﬀérentielles linéaires il se peut que les solutions ne s’expriment pas à l’aide des fonctions usuelles, par exemple : y⁰ = e⁻^t²y ⇐⇒ y :t 7→ λe^F^(t) avec F une primitive de t 7→ e⁻^t², on sait qu’une telle primitive existe sur R mais on peut démontrer qu’il est impossible de l’exprimer avec les fonctions usuelles.

Pour des applications numériques (par exemple dans les sciences appliquées), la formule qui donne les solutions n’est donc pas toujours satisfaisante. On a alors imaginé des méthodes de calculs approchés des solutions d’équations diﬀérentielles, la plus simple d’entre elles étant la méthode d’Euler:

Considérons l’équation diﬀérentielle y⁰(t) = f(t, y(t)) où f est une fonction de deux variables.

On cherche une solution approchée vériﬁant la condition initiale y(t0) =α. On considère un nombre h assez proche de 0 (par exemple h = 10⁻⁶), ce nombre est appelé le pas de la méthode, puis on construit deux suites(tn) et(yn) oùyn est sensé être une valeur approchée dey(tn), dans la méthode d’Euleron pose :

y0=α, et∀n∈N,





t_n+1 = t_n+h

yn+1 = yn+h×f(tn, yn) .

On peut ensuite représenter dans un repère les points de coordonnées (t_n, y_n) ce qui donnera une approximation de la courbe représentative de la solutiony.

Cette méthode repose sur le principe suivant : lorsque h est proche de 0, on peut approcher la fonction y sur l’intervalle [tn, tn +h] par la tangente à Cy au point d’abscisse tn, c’est à dire y(t) ≈ y⁰(t_n)[t−t_n] +y(t_n). Par conséquent y(t_n+h) ≈ y(t_n) +h×y⁰(t_n), or y(t_n) est approché

2BERNOULLI Jakob(1654 – 1705) : c’est le plus illustre d’une grande famille de mathématiciens suisses.

(10)

par y_n et y⁰(t_n) = f(t_n, y(t_n)) donc y⁰(t_n) peut être approché par f(t_n, y_n) et ﬁnalement y(t_n+1) ≈ y_n+h×f(t_n, y_n) on pose donc y_n+1 =y_n+h×f(t_n, y_n) et c’est une valeur approchée dey(t_n+1).

...

..

...

....

...

....

...

. ....

...

..

....

...

....

...

y0

y1

y₂

y3

y₄ y5

y₆

y(t0)

y(t1)

y(t2)

y(t3) y(t₄) y(t₅) y(t₆) t₀ t₁ t₂ t₃ t₄ t₅ t₆

Fig. 3.1 – Avec y(t) =e^−t,t₀= 0,y₀= 1 eth= 0.25.

V) Exercices

FExercice 3.1

Étudier la continuité et la dérivabilité des fonctions suivantes : a) f(x) =





x²sin(1

x) si x6= 0 0 si x= 0

. b) g(x) =|xln(|x|)|.

c) h(x) = cos(√ x).

FExercice 3.2

Résoudre les équations diﬀérentielles suivantes :

a)|x|y⁰+ (x−1)y =x² b) y⁰sin(x)−2ycos(x) = 1 + cos(x)²

c)x³y⁰−(3x²+ 2)y=x³ d) x(x−1)y⁰+ 2y=x

e)xy⁰−(x+ 1)y+e^x(1 +x²) = 0 f)(1−x²)y⁰−2xy =x²

(11)

Exercices 35

FExercice 3.3

a)y⁰⁰−y⁰−6y =e⁻^x b) y⁰⁰−y⁰−6y= 10e^3x+xe⁻^2x

c)y⁰⁰+y = 2(cos(x)−sin(x)) d)y⁰⁰+ 4y⁰+ 4y= sin(x)e⁻^2x

e)y⁰⁰−2y⁰+ 2y= 2(cos(x)−sin(x))e^x f) y⁰⁰−2y⁰+y= sh(x) +e^xcos(x).

F Exercice 3.4

a)2xyy⁰=x²+y² avec y(1) =−2 b) y⁰⁰ =√ y⁰²+ 1

c)y⁰=xe⁻^y d) y⁰ =x(1−y²) avec y(0) = ¹₂

e)y⁰=xy²+y avec y(0) = 1 f)2x²y⁰+y² = 1avec y(1) = 2, poserz=y−1

g)x²y⁰⁰+xy⁰+y= ln(x), poserg(x) =y(e^x).

F Exercice 3.5

Soitf :]0; +∞[→Rune fonction dérivable telle que ∀x >0, f(_4x¹ ) =f⁰(x).

a) Montrer que f est deux fois dérivable.

b) Montrer que f est solution d’une équation diﬀérentielle d’ordre 2.

c) On pose pourt∈R,g(t) =f(e^t), montrer quegest solution d’une équation diﬀérentielle.

Résoudre cette équation et en déduiref. F Exercice 3.6

On considère l’équation diﬀérentielle(E) : 4xy⁰⁰+ 2y⁰−y= 0.

a) En posant pour t∈R, g(t) =y(t²), résoudre l’équation (E) sur]0; +∞[.

b) En faisant une démarche analogue, résoudre (E) sur]− ∞; 0[.

FExercice 3.7

Soit f :R→Cune fonction dérivable telle que ∀x∈R, f(1−x) =f⁰(x).

a) Montrer que f est deux fois dérivable.

b) Montrer que f est solution d’une équation diﬀérentielle d’ordre2.

c) En déduire f. Quelles sont les solutions réelles ?