O. Emorine Notion de vecteurs
Des flèches un peu particulières
On a vu l’an dernier que la force qu’exerçait la pesanteur sur un objet appelé poids d’un objet pouvait se représenter par une flèche notée
→
P qui possédait quatre propriétés qui permettaient de la décrire sans avoir à la dessiner pour se faire comprendre :
Notation :
Point d'application : Droite d'action : Sens :
Valeur :
→→
→→
P
centre de gravité G verticale
Vers le bas
dépend de la masse de l’objet
I. Pourquoi parler de poids, on fait pas maths aujourd’hui ? Cette flèche
→
P porte le doux nom de vecteurs :
Un vecteur est défini par trois caractéristiques :
• Sa direction (qui est une droite comme la droite d’action d’une force)
• Son sens
• Sa longueur qui est appelée norme, elle sera noté ||nom du vecteur|| (ex : ||
→ P||
Le point de départ de la flèche s’appelle l’origine du vecteur et la pointe de la flèche s’appelle l’extrémité du vecteur.
Un vecteur peut être nommé par une lettre fléchée (ex :
→ P ou
→
u ou…) mais aussi par la donnée de son origine et de son extrémité :
Si on donne origine A et extrémité B alors le vecteur sera noté
→
→
→
→
AB et aura pour caractéristique : Droite d’action : la droite (AB)
Sens : de A vers B Norme : ||
→→
→→
AB ||=AB (longueur du segment [AB]
Des vecteurs particuliers :
• Le vecteur nul, noté
→
→
→
→
0 , est le vecteur de longueur 0.
• Si u est un vecteur donné, -
→→→
→
u est appelé vecteur opposé de
→→
→→
uses caractéristiques sont les mêmes que celle de
→→
→→
usauf que le sens de –
→→→
→
uest le sens contraire de
→→
→→
u
O. Emorine Notion de vecteurs
II. Et sinon comment on compte avec les vecteurs ? A. Addition de deux vecteurs
La détermination de la somme
→→→
→
u +
→→→
→
v de deux vecteurs
→→
→→
u et
→→→
→
v se fait géométriquement en mettant « bout à bout » les vecteurs :
Cas particulier des vecteurs défini par deux points : Si
→→
→→
u =
→→→
→
AB et
→→→
→
b =
→→
→→
BC alors
→→
→→
AB +
→→→
→
BC =
→→
→→
AC (relation de Chasles)
Exercice A1, A2 p115 Exercice 3, 4 p116 B. Multiplication par un nombre
Si
→→
→→
u est un vecteur et k un nombre alors on défini le vecteur k××××
→→
→→
u a pour caractéristique : Direction : même direction que
→→
→→
u Sens : si k>0 alors même sens que
→
→
→
→
u
Si k<0 alors sens contraire à celui de
→
→
→
→
u Norme : ||k
→
→
→
→
u ||=|k|××××||
→
→
→
→
u ||
Deux vecteurs
→
→→
→
u et
→
→
→
→
v sont colinéaires si il existe un nombre k tel que
→
→
→
→
v =k××××
→
→
→
→
u
C. Coordonnées dans un repère
Dans un repère (O, i, j), si A(xA ;yA) et B(xB ;yB) alors le vecteur
→→
→→
AB a pour coordonnées :
→→→
→
AB (xB – xA ; yB – yA)
Propriétés :
• ||
→→
→→
AB ||= (xB – xA)2+ (yB – yA)2
• si
→→
→→
u (x ; y) ,
→→
→→
v (x’ ; y’) et k un nombre alors :
→→→
→
u +
→→
→→
v (x+x’ ; y+y’) et k××××
→→
→→
u (k××××x ; k××××y)
Exercice A3, A4 p115
Exercices 1, 2,6, 8 p116 Exercices 9, 12 p117 Exercice 17 et 15 p118 Devoir maison : exercice 19 p119
O. Emorine Notion de vecteurs
Exercices vecteurs
Exercice 1
Déterminer les coordonnées du vecteur
→
AB tel que A(-2 ; 5) et B(2 ;-3).
En déduire la norme de
→
AB Exercice 2
Les vecteurs
→
u et
→
v ont pour coordonnées
→
u (-1 ; 2) et
→
v (2 ; 4) Déterminer les coordonnées de :
→
u +
→
v -2
→
v
→
u - 2
→
v 2
→
u + 3
→
v Exercice 3
Construire un triangle ABC tel que :
AB=5 cm AC=6 cm BC=7 cm
Placer le point D tel que
→
CD =
→
AB . Montrer que
→
BD =
→
AC
Exercice 4
Le triangle OAB est rectangle en O :
Dans le plan muni du repère (O ;
→
OA ;
→
OB).
Donner les coordonnées des points A, B et I milieu de [AB]
En déduire les coordonnées de
→
AB et
→
AI
Problème
Un solide est placé sur un plan incliné de 30° sur l’horizontale.
Il est maintenu en équilibre sous l’action de trois forces : son poids
→
Pd’intensité 5N.
la tension
→
Tdu fil parallèle au plan incliné la réaction
→
Rde la table sur le solide.
La condition d’équilibre s’écrit :
→
P +
→
R +
→
T =
→
0
Déterminer les intensités de
→
T et
→
R
