Produit scalaire dans l’espace.

(1)

1 L’espace est muni d’une repère orthonormé direct

(

^O^,ⁱ^,^j^,^k

)

^.

Produit scalaire dans l’espace.

Définition

Soit u et v deux vecteurs et les point O , M , N tels que u=OA et v=OB.

On appelle produit scalaire des vecteurs u et v le réel noté vu. et défini comme suit :

♦Si u=0ou v=0 alors u.v=0.

♦Si u≠0 et v≠0 alors ^u^.^v⁼ ^u ^× ^v^cos

( )

^A^O^ˆ^B

Conséquence

1°)OA.OB=OA.OH où H est le projeté orthogonal de B sur (OA).

2°) 



 



 + − −

= u² v² u v² 2

v 1 . u

3°) 







 + − −

= u² v² u v² 2

v 1 . u

4) u⊥v⇔u.v=0

Propriétés :

Soit u , v et w trois vecteurs et a et b deux réels.

Déterminant

Soit B=

( )

ⁱ^,^j^,^k est une base

Pour tout vecteur u , il existe un unique triplet (x,y,z) de réels tel que u=xi+yj+zk M(x,yz) ^OM =^xⁱ+^y^j+^z^k

Soit















 c b a u ,















 ' c ' b ' a v et















 ' ' c ' ' b ' ' a w

On appelle déterminant de

( )

^u^,^v^,^w dans la base B, et on note detB

( )

"

c ' c c

"

b ' b b

"

a ' a a w , v ,

u = le réel :

"

b ' b

"

a ' ca

"

c ' c

"

a ' ba

"

c ' c

"

b '

ab − +

Produit vectoriel dans l’espace.

Définition :

Soit u=AB^etv=ACdeux vecteurs .

On appelle produit vectoriel de u par v, le vecteur défini comme suite :

▪Si uetv sont colinéaires alors u∧v=0

▪Si uetv ne sont pas colinéaires alors : i. u⊥u∧v^etv_⊥u_∧v.

ii.

(

^u^,^v^,^u^∧^v

)

est une base direct.

2 2

u

u = u.v=v.u (au).(bv)=ab(u.v) v

. u 2 v u v

u+ ²= ²+ ²+ u+v²= u² + v² −2u.v



 



 +

=

− +

+v² u v 2 u ² v²

u u(v+w)=u.v+u.w

Fiche de cours ₄

^ème

_sciences Geometrie dans l’Espace Geometrie dans l’Espace Geometrie dans l’Espace Geometrie dans l’Espace

Maths au lycee Maths au lycee Maths au lycee Maths au lycee ***

Site Web :

AFIF BEN ISMAIL http://afimath.jimdo.com/

http://afimath.jimdo.com/

(2)

2 iii. ^u^∧^v ⁼ ^u ^× ^v^sin

( )

^B^A^ˆ^C

Conséquences et propriétés 0 u

u∧ = u∧v=0, si et seulement si , u et v sont

colinéaires

(

^AB^,^AC

)

^k

sin AC AB AC

AB∧ = × × ^oùk unitaire et

normale au plan (ABC)

( )

^v ^u

v

u∧ =− ∧ âû^∧^b^v⁼âb

( )

^u^∧^v

( ) ( ) ( )

û^∧^v^.^w⁼ ^v^∧^w^.û⁼ ^w^∧û^.^v⁼^det

( )

^u^,^v^,^w ^u^∧

( )

^v⁺^w ⁼^u^∧^v⁺^u^∧^w

Soit















 c b a u et















 ' c ' b ' a

v alors : k

' b b

' a j a ' c c

' a i a ' c c

' b v b

u∧ = − +

Propriétés

Soit u , v et w des vecteurs de l’espace.

L’aire du parallélogramme ABCD est égale à : AD

AB∧ L’aire du triangle ABD est égale à : AB AD

2

1 ∧

Le volume d’un tétraèdre ABCD est égale à :

(

^BC ^BD

)

^.^BA

6

1 ∧

Le volume d’un parallélépipède ABCDEFGH est égale à :

(

^AB^∧^AD

)

^.^AE ⁼^det

(

ÂB^,ÂD^,ÂE

)

La distance d’un point M de l’espace à la droite ^∆

( )

^A^,^u est le réel : u

u MA )

∆ , M (

d ∧

=

AB MB MA∧

= avec B∈∆

Droites et plans de l’espace

Soit A(x₀,y₀,z₀),















 c b a u et















 ' c ' b ' a v

Droite:

L'ensemble des points M tels que AM et u soient colinéaires est une droite, appelé droite passant par A et de vecteur directeur u .

{

^M ^/ ^R^, ^AM ^u

}

) u , A (

D = ∈℘ ∃α∈ =α

•D(A,u)//D(B,v) si et seulement si u et v sont colinéaires . Représentation paramétrique :







+

= +

= c z z

b y y

a x x : ) u , A ( D

0 0 0

λ λ λ

; λ∈R

Plan:

Dans le cas où u et v non colinéaires:

L'ensemble des points M tels que AM soit combinaison linéaire de u et v , est un plan, appelé plan passant par A et de vecteurs directeurs u et v .

{

^M ^/ ^, ^R^, ^AM ^u ^v

}

) v , u , A (

P = ∈ξ ∃α β∈ =α +β

•D(A,u)//P(B,v,w) si et seulement si la famille

{ }

^u^,^v^,^w est liée .

•P(A,u,v)//Q(B,u',v') si et seulement si les familles

{ }

û^,^v^,û^' êt

{ }

^u^,^v^,^v^' sont liées . Représentation paramétrique :







+ +

=

+ +

=

+ +

=

' c c z z

' b b y y

' a a x x : ) v , u , A ( P

0 0 0

β λ

; λ∈R

(3)

3 Equation cartésienne d’un plan

0 d cz by ax :

P + + + = avec

(

^a^,^b^,^c

) (

≠ ⁰^,⁰^,⁰

)

*)Le vecteur















 c b a

n est le vecteur normale à P.

*)Le vecteur















 γ β α

x est un vecteur de P si et seulement si aα₊bβ₊cγ₌0

Position relatives

Soit D(A,u) , D'(A',u') , P:ax+by+cz+d=0 et P':a'x+b'y+c'z+d'=0 Leur vecteurs normaux n et 'n

*)D⊥D' si et seulement si u⊥u'

*)D//D' si et seulement si u//u'

*)P⊥P' si et seulement si n⊥n'

*) P//P' si et seulement si n//u

*)P⊥D si et seulement si n⊥n'

*) P//D si et seulement si n⊥u

La sphère

Etant donnés un point I de ξ et un réel R strictement positif. On appelle sphère de centre I et de rayon R, et on note ζ( )^I^,^R l’ensemble des points M de ξ tels que : IM = R.

Autre définition : Soit la sphère ζ de diamètre [AB]. M∈ζ ⇔MA⊥MB Equation cartésienne d’un sphère : ζ(^I⁽^a^,^b^,^c^),^R) :

(

^x−^a

) (

² + ^y−^b

) (

² + ^z−^c

)

² =^R^² Réciproquement :

Soit ^E=

{

^M⁽^x^,^y^,^z⁾∈ξ^/ ^x^²+^y^²+^z^²+α^x+β^y+γ^z+^d=⁰

}

On pose d

4

²

² h= α²+β +γ −

Si h <0 alors E=o/ Si h = 0 alors







= )

,2 ,2 (2 I

E α β γ

Si h>0 alors ^E⁼^ζ

( )

^I^, ^h

Intersection d’une sphère et d’un plan.

Soit ζ une sphère de centre I et de rayon R. Soient P un plan , H le projeté orthogonal de I sur P et ^d=

( )

^I^,^P . Si d > R alors P∩ζ =O/ , on dit que P et ζ sont extérieurs.

Si d = R alors ^P∩ζ =

{ }

^H , on dit que P et ζ sont tangents.

Si 0 < d < R alors P∩ζ est le cercle de P de centre H et de rayon R²−d² , on dit que P et ζ sont sécants.

Produit scalaire dans l’espace.

(

)

Produit scalaire dans l’espace.

( )

Propriétés :

Déterminant

( )

( )

( )

Produit vectoriel dans l’espace.

(

)

Fiche de cours 4

sciences Geometrie dans l’Espace Geometrie dans l’Espace Geometrie dans l’Espace Geometrie dans l’Espace

Maths au lycee Maths au lycee Maths au lycee Maths au lycee ***

( )

(

)

( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

Propriétés

(

)

(

)

(

)

( )

Droites et plans de l’espace

Droite:

{

}

Plan:

{

}

{ }

{ }

{ }

(

) (

)

Position relatives

La sphère

(

) (

) (

)

{

}

( )

Intersection d’une sphère et d’un plan.

( )

{ }

Fiche de cours ₄

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