Chapitre n°8: Logarithme népérien Objectifs :
Niveau a eca n
C8.a
1 Savoir utiliser la définition du logarithme népérien et ses
propriétés.
C8.b
1
Savoir résoudre des équations et inéquationscomportant des exponentielles et/ou du logarithme.
C8.c
1 Savoir calculer les limites de fonctions comportant un
logarithme népérien.
C8.d
1 Savoir calculer la dérivée d'une fonction composée
comportant un logarithme népérien.
C8.e
1 Savoir transformer un logarithme décimal en un
logarithme népérien.
Activité d'approche n°1 :
1. Démontrer que, quelque soit le nombre réel strictement positif k choisi, l'équation
e
x=k admet toujours une unique solution.
...
...
...
...
...
...
2. Résoudre l'équation dans les cas suivants :
a. k = 1
...
...
...
b. k = e.
...
...
...
c. k = 1 e
...
...
...
3. Déterminer une valeur approchée au centième près de la solution pour
k=2.
...
...
...
...
...
...
4. On appelle logarithme népérien de
k , noté ln k , l'unique solution de e
x=k .
Calculer ln(1) , ln(e) , et ln( ( 1 e ) .
...
...
...
5. Soient
k
1et k
2deux réels positifs. Soient x
1=ln k
1et x
2=ln k
2les solutions respectives de e
x=k
1et de e
x=k
2. Démontrer que ln k
1+ ln k
2= ln (k
1× k
2).
...
...
...
...
...
...
...
...
6. Déduire de ce qui précède les valeur de
ln ( e
n) où n est un entier relatif non nul.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Cours n°1
Chapitre n°8: Logarithme népérien
I) Définition du logarithme.
Définition n°1
On appelle logarithme népérien du réel strictement positif k l'unique solution d'inconnue x de l'équation …... .
On note cette solution lnk .
{ y= k ln >0 k équivaut à …...
Remarque :
On dit que la fonction logarithme est la fonction réciproque de la fonction exponentielle.
2/60
Propriété n°1
1. Soit
a et b deux nombres positifs. Alors ln (a×b) = ...
2. Soit
a et b deux nombres positifs, b ≠ 0 . Alors ln ( a b ) =...
3.
ln 1 = …… ; ln e = …… ; Pour tout entier relatif n non nul, ln ( e
n) = ……
4. Soit a un nombre positif et
n un entier relatif différent de 0 , ln (a
n)=n ln a
5.Soit a un nombre positif ln √ a = 1
2 ln a . .
Démonstration :
Pour le 1 et le 3, cf activité d'approche précédente.
Pour le 2. :
ln ( a b ) =ln ( a× 1 b ) =... + …... = …... + …... = …... – …...
Pour le 4. : Par récurrence :
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...…
Pour le 5. :
ln a = ln ( ( √ a )
2) =... ln √ ( a) donc : ………...
Exemple n°1
On pose ln2=a et ln3=b . Exprimer en fonction de a et b chacun des nombres suivants :
a.
ln6 :
...
.
b.
ln9 :
...
.
c.ln 2
3 :
...
d.
ln 1 12 :
...
e.
ln72 :
...
f.
e
-n²+ln(2e) :
...
g.
ln ( 3 2 e
2) :
...
Se tester n°1 C8.1 (/7)
Objectifs :
Niveau a eca n
C8.a
1 savoir utiliser la définition du logarithme népérien et ses
propriétés.
Exercice n°1
On pose ln8=a et ln 10=b . Exprimer en fonction de a et b chacun des nombres suivants :
1.ln 80 2.ln 800 3.ln 1
640 4.ln 100 5.ln(8e) 6.ln 8
10 7.ln 10 e
28
…...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
4/60
Résultats ou indices
Dans le désordre :
a + b ; a – b ; 2b ; a+2b ; - 2a – b ; a + 1 ; b – a +2
Interrogation n°1 Objectifs :
C8.a_Niv1 : savoir utiliser la définition du logarithme népérien et ses propriétés.
Exercice n°1 Ex.20 p.145 Exercice n°2
Ex.22 p.145
Activité d'approche n°2
1. Construire page suivante dans un même repère la représentation graphique de la
fonction exponentielle et la représentation graphique de la fonction logarithme.
2. Tracer dans ce repère la droite d'équation
y = x . Que constate-t-on ?
...
...
6/60
Cours n°2
Propriété n°2
1.
La fonction ln est définie et continue sur …... .
2. Pour tout réel
x positif, e
ln x= ….. .
3. Pour tout réelx , ln (e
x) = ….. .
Démonstration :
Ces propriétés découlent de la définition.
Propriété n°3
La fonction ln est dérivable sur ]0;+∞[ et (ln x)'= ...
...
Démonstration :
1. Rappeler quelle est la dérivée de
f(u(x)) si f est une fonction dérivable quelconque :
...
...
2. En dérivant la relation
e
ln x=... par rapport à x , exprimer (lnx)' en fonction de
x :
...
...
...
...
II) Variations du logarithme et conséquences.
Propriété n°4
La fonction ln est strictement …... sur ]0;+∞[.
Démonstration :
Conséquence du signe de la dérivée.
Propriété n°5
Pour tous réels a et b strictement positifs :
1. Les deux égalités suivantes sont équivalentes :
a = b et lna = lnb
2. Les deux inégalités suivantes sont équivalentes :a < b et lna < lnb
Démonstration :
La fonction ln est une bijection (l'antécédent d'un nombre y par ln est un
nombre unique x ) , et est croissante.
Exemple n°2
Résoudre l'équation suivante :
ln x + ln(x + 8) = 2 ln3
...
...
...
...
...
Exemple n°3
Résoudre
0,7
n 10
-3pour n ∈ N
....
...
...
...
...
...
Exemple n°4
Résoudre 4e
x– 7 = 5 .
...
...
...
... ...
...
Exemple n°5
Résoudre
e
2x-1= 3 .
...
...
...
... ...
...
Exemple n°6
Résoudre
ln(1 – x) = 2 .
...
...
...
... ...
...
Exemple n°7
Résoudre
2ln²x + 5lnx – 18 = 0 .
...
...
...
... ...
...
Exemple n°8
8/60
Résoudre
ln(5 – x) –2 .
...
...
...
... ...
...
Exemple n°9
Résoudre
ln(1 + x) ln(3 – 2x) .
...
...
...
... ...
...
Exemple n°10
Résoudre
ln(1 + e
x) > 0 .
...
...
...
... ...
...
Se tester n°2 C8.2 (/9)
Objectifs :
Niveau a eca n
C8.b
1
savoir résoudre des équations et inéquationscomportant des exponentielles et/ou du logarithme.
Exercice n°1
Résoudre l'équation suivante :
ln x + ln(x + 8) = 3 ln3
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Exercice n°2
Résoudre
0,9
n 10
-3pour n ∈ N
....
...
...
... ...
...
Exercice n°3
Résoudre 2e
x– 3 = 9 .
...
...
...
... ...
...
Exercice n°4
Résoudre
e
8x-1= 2 .
...
...
...
... ...
...
Exercice n°5
Résoudre
ln(2 – x) = 8 .
...
...
...
... ...
...
Exercice n°6
Résoudre
7ln²x + 6lnx + 5 7 = 0 .
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
... ...
...
Exercice n°7
Résoudre
ln(2 – x)
–5 .
...
...
...
10/60
... ...
...
Exercice n°8
Résoudre
ln(8 + x)
ln(1 – 8x) .
...
...
...
...
...
...
...
...
... ...
...
Exercice n°9
Résoudre
ln(-8 + e
x) > 0 .
...
...
...
... ...
...
Résultats et indices
Ex.1 :
−8+ √ 172
2
Ex.2 : Le premier entier qui suit
−3 ln ( 10 ) ln ( 0,9 )
Ex.3 :
ln ( 6 )
Ex.4 :
ln ( 2 ) +1 8
Ex.5 :
8 – e
2Ex.6 :
e (
−6+14√16)
Ex.7 :
[ 5−e
−2; 5 [
Ex.8 :
] − 9 7 ; 1 8 [
Ex.9 :
] ln ( 8 ) ;+ ∞ [
Interrogation n°2 Objectifs :
C8.b_Niv1 : savoir résoudre des équations et inéquations comportant des
exponentielles et/ou du logarithme.
Exercice n°3*
Ex.6 p.144 Exercice n°4*
Ex.26 p.145 Exercice n°5*
Ex.15 p.144
Cours n°3
III) Limites de la fonction logarithme.
Propriété n°6
1.
lim
x → +∞
ln ( x ) =.. .
2.
lim
x →0 x>0
ln ( x ) =.. .
Démonstration :
1. Soit
A un nombre positif quelconque. Alors, si x>e
A, lnx>... . Donc lim
x → +∞
ln ( x ) =.. .
2.
lnx = (-1)×(-1)×ln(x) = (-1)×ln ( 1 x ) .
lim
x →0 x>0
1
x =.. . et lim
X → +∞
ln ( X ) =.. . , donc lim
x →0 x>0
ln ( 1 x ) =.. . , donc lim
x →0x>0
−1× ln ( 1 x ) =.. . ,
donc lim
x →0 x>0
ln ( x ) =.. . .
Propriété n°7
1.
lim
x → +∞
ln ( x ) x =.. .
2.
lim
x →0 x>0
x ln ( x ) =.. .
3.
lim
x →0 x>0
ln ( 1+ x ) x =.. .
Démonstration :
1.ln x
x = ln x
e
...= 1 ...
...
. Or, lim
x →+∞
ln ( x ) =.. . et lim
X →+∞
e
XX =.. . donc lim
X →+∞
1 e
XX
=.. .
12/60
lim
x → +∞
ln ( x ) x =.. .
2.
lim
x →0 x>0
x ln ( x ) = lim
X → +∞
1
X ln ( X 1 ) = –
Xlim
→ + ∞
ln ( X )
X =....
3.
ln ( 1+ x )
x = ln ( 1+ x ) −...
1+ x − ... et la fonction ln est dérivable en 1 . Donc
lim
x →0 x>0
ln ( 1+ x )
x =... ' ( 1 ) =.. .
Exemple n°11
Déterminer les limites aux bornes de l'ensemble de définition des fonctions suivantes :
a. La fonction
f définie sur ]0;1[ par f ( x ) = x+3 ln x .
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
b. La fonction f définie sur ]0;+∞[ par f ( x ) = x − ln x .
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Se tester n°3 C8.3 (/4 )
Objectifs :
Niveau a eca n
C8.c
1 Savoir calculer les limites de fonctions comportant un
logarithme népérien.
Exercice n°1
Déterminer les limites aux bornes de l'ensemble de définition des fonctions
suivantes :
a. La fonction
f définie sur ]0;1[ par f(x) = − 9 : 2 x +9
lnx .
...
...
...
...
...
...
...
...
b. La fonction
f définie sur ]0;+∞[ par f(x)=7 x – ln x .
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Interrogation n°3 Objectifs :
C8.c_Niv1 : Savoir calculer les limites de fonctions comportant un logarithme népérien.
Exercice n°6*
Ex.14 p.144 Exercice n°7**
Ex.17 p.144 Exercice n°8*
Ex.33 p.145 Exercice n°9*
Ex.56 p.147 Exercice n°10*
Ex.59 p.147 Exercice n°11*
Ex.81 p.149 Exercice n°12***
Sujet C p.157 Exercice n°13***
Sujet B p.157
Cours n°4
IV) Fonctions ln(u( x ))
14/60
Propriété n°8
Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I . On considère la fontion g définie par g(x)=ln(u(x)).
Alors g est dérivable et g'(x)= ...
...
Exemple n°12
Soit
g la fonction définie par g(x)=ln(2x² – 1)
Calculer
g'(x)
...
...
...
...
...
...
...
Définition n°2
On appelle fonction logarithme décimal la fonction notée log, définie sur ]0;+∞[ par log(x)= ln x
ln 10 . Remarque :
Cette fonction possède les mêmes propriétés que le logarithme népérien (seule différence : log(e)≠1 ).
Exemple n°13
Calculer
log(10
n) :
...
...
...
Se tester n°4 C8.4 (/4)
Objectifs :
Niveau a eca n
C8.d
1 Savoir calculer la dérivée d'une fonction composée
comportant un logarithme népérien.
C8.e
1 Savoir transformer un logarithme décimal en un
logarithme népérien.
Exercice n°1
Soit
g la fonction définie par g(x)=ln(6x² +7x – 2)
Calculer
g'(x)
...
...
...
...
...
Exercice n°2
Calculer
log ( 4
n) :
...
...…
Interrogation n°4 Objectifs :
C8.d_Niv1 : Savoir calculer la dérivée d'une fonction composée comportant un logarithme népérien.
C8.e_Niv1:Savoir transformer un logarithme décimal en un logarithme népérien.
Exercice n°14*
Ex.84 p.149 Exercice n°15*
Ex.91 p.149 Exercice n°16*
Ex.95 p.149 Exercice n°17***
Sujet A p.157 Exercice n°18***
Ex.128 p.159 Exercice n°19***
Ex.135 p.161
16/60
Résultats ou indices
Ex.1 (20 p.145) : Dans le désordre :
–ln2 ; 6ln2 + 3 ; 5ln2 + 1 ; 4ln2 ; 5
2 ln2 ; 1 – ln2 ; 2 – 2ln2 ; 3ln2 .
Ex.2 (22 p.145) : Dans le désordre :
ln5 ; ln4 ; ln (3e
2) ; ln2.
Ex.3* (6 p.144) : Dans le désordre :
S= { 7 1 e } ; S= { √ e } ; S= { e 5
3} ; S={1}
Ex.4* (26 p.145) : a.
S={(2;2)}
b.S={(2;3);(3;2)}
Ex.5* ( 15 p.144) : 1. R 2. x ∈ ]-1;1[ et S= ] −1 ; − 1 2 [
3.x ∈ ]-7;7[ et S=]-5;5[
4.x ∈ ] − 1 2 ; 3 [ et S= [ 2 3 ; 3 [
Ex.6* ( 14 p.144) : 1. x ∈ ]0;+ ∞[ et S= ] 0 ; e 3 ] 2. S=[3;4[ 3. S= [ 2 3 ; 3 2 [
4.S=] – ∞ ; – 3] U [3;+ ∞[.
Ex.7** (17 p.144) :
f est décroissante sur ]0;1] et croissante sur [1;+∞[ . g est croissante sur ]0;+∞[ . h est décroissante sur ] 0 ; e 1 ] et croissante sur ] e 1 ; +∞ ] .
Ex.8* (33 p.145) : a.
–∞ b. +∞ c. +∞ d. +∞ .
Ex.9* (56 p.147) : 1.
u(x)<0 si 0<x<e , u(x)>0 si x>e . 2.b. f est décroissante si 0<x<e , f
est croissante si x>e .
Ex.10* (59 p.147) : / Ex.11* (81 p.149) :lim
x→0+
f ( x ) =0 et lim
x→e-
f ( x ) = –∞ . La deuxième égalité donne une asymptote verticale d'équation x=e .
Ex.12*** (Sujet C p.157) : 1.
f est strictement croissante sur ]1;+∞[ 2. –∞ et +∞.
Ex.13*** (Sujet B p.157) : 1. V 2. F 3. F 4. F 5. V 6. V . Ex.14* (84 p.149) : …. u prend pour valeur 2+log(u)...
Ex.15* (
91 p.149) : 1. +∞ 2. f est décroissante sur ] −∞ ; − 3 2 ] et croissante sur
] − 3 2 ; +∞ ] minimum= −11 4 .
Ex.16* (95 p.149) : Dans le désordre :
2x – 2
1+ 2 x ; 1+ 2 x
x
2+1 ; 2 x – 3 x
2− 3 x + 1 ;
6 x + 2 x
Ex.17*** (Sujet A p.157) : 1.
f est strictement croissante sur [0;+ ∞[ 2.a. g est strictement décroissante sur ]0;+ ∞[ 3.b. .
Ex.18*** (128 p.159) : 1.a.
f '(x)=2a(lnx)
2+ 2(2a+b)lnx + 2(b + c) . b. 0;0;4 2.b et c.
Ex.19*** ( 135 p.161) : 1. –∞ 2.b. –∞ 5. Si k > e
2 , l'équation f
k(x)=0 n'a pas de solution. Si k = e
2 , l'équation f
k(x)=0 n'a une solution x= 1
√ 2 k . Si k <
e
2 , l'équation
f
k(x)=0 a deux solutions. 6. k = 1 2
.18/60
Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)
Date d’aujourd’hui : ...
Nom, prénom et classe :
…...
* Je veux repasser les interrogations :
C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__
* Travail personnel (4 travaux min., sf exception ou mot daté et signé) pour la prochaine fois :
Se tester C__.__ : ex.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__
Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__
Activ. n°__ : Quest.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Cours n°__ : Exempl.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
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Date d’aujourd’hui : ...
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* Travail personnel (4 travaux min., sf exception ou mot daté et signé) pour la prochaine fois :
Se tester C__.__ : ex.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__
Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__
Activ. n°__ : Quest.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Cours n°__ : Exempl.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
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Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__
Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__
Activ. n°__ : Quest.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Cours n°__ : Exempl.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
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20/60
Chapitre n°8: Logarithme népérien Objectifs :
Niveau a eca n
C8.a
1 Savoir utiliser la définition du logarithme népérien et ses
propriétés.
C8.b
1
Savoir résoudre des équations et inéquationscomportant des exponentielles et/ou du logarithme.
C8.c
1 Savoir calculer les limites de fonctions comportant un
logarithme népérien.
C8.d
1 Savoir calculer la dérivée d'une fonction composée
comportant un logarithme népérien.
C8.e
1 Savoir transformer un logarithme décimal en un
logarithme népérien.
Activité d'approche n°1 :
1. Démontrer que, quelque soit le nombre réel strictement positif k choisi, l'équation
e
x=k admet toujours une unique solution.
...
...
...
...
...
...
2. Résoudre l'équation dans les cas suivants :
a. k = 1
...
...
...
b. k = e.
...
...
...
c. k = 1 e
...
...
...
3. Déterminer une valeur approchée au centième près de la solution pour
k=2.
...
...
...
...
...
...
4. On appelle logarithme népérien de
k , noté ln k , l'unique solution de e
x=k .
Calculer ln(1) , ln(e) , et ln( ( 1 e ) .
...
...
...
5. Soient
k
1et k
2deux réels positifs. Soient x
1=ln k
1et x
2=ln k
2les solutions respectives de e
x=k
1et de e
x=k
2. Démontrer que ln k
1+ ln k
2= ln (k
1× k
2).
...
...
...
...
...
...
...
...
6. Déduire de ce qui précède les valeur de
ln ( e
n) où n est un entier relatif non nul.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Cours n°1
Chapitre n°8: Logarithme népérien
I) Définition du logarithme.
Définition n°1
On appelle logarithme népérien du réel strictement positif k l'unique solution d'inconnue x de l'équation …... .
On note cette solution lnk .
{ y= k ln >0 k équivaut à …...
Remarque :
On dit que la fonction logarithme est la fonction réciproque de la fonction exponentielle.
22/60
Propriété n°1
1. Soit
a et b deux nombres positifs. Alors ln (a×b) = ...
2. Soit
a et b deux nombres positifs, b ≠ 0 . Alors ln ( a b ) =...
3.
ln 1 = …… ; ln e = …… ; Pour tout entier relatif n non nul, ln ( e
n) = ……
4. Soit a un nombre positif et
n un entier relatif différent de 0 , ln (a
n)=n ln a
5.Soit a un nombre positif ln √ a = 1
2 ln a . .
Démonstration :
Pour le 1 et le 3, cf activité d'approche précédente.
Pour le 2. :
ln ( a b ) =ln ( a× 1 b ) =... + …... = …... + …... = …... – …...
Pour le 4. : Par récurrence :
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...…
Pour le 5. :
ln a = ln ( ( √ a )
2) =... ln √ ( a) donc : ………...
Exemple n°1
On pose ln2=a et ln3=b . Exprimer en fonction de a et b chacun des nombres suivants :
a.
ln6 :
...
.
b.
ln9 :
...
.
c.ln 2
3 :
...
d.
ln 1 12 :
...
e.
ln72 :
...
f.
e
-n²+ln(2e) :
...
g.
ln ( 3 2 e
2) :
...
Se tester n°1 C8.1 (/7)
Objectifs :
Niveau a eca n
C8.a
1 savoir utiliser la définition du logarithme népérien et ses
propriétés.
Exercice n°1
On pose ln9=a et ln 12=b . Exprimer en fonction de a et b chacun des nombres suivants :
1.ln 144 2.ln(9e) 3.ln 1
972 4.ln 1296 5.ln 12 e
29 6.ln 108 7.ln 9
12
…...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
24/60
Résultats ou indices
Dans le désordre :
a + b ; a – b ; 2b ; a+2b ; - 2a – b ; a + 1 ; b – a +2
Interrogation n°1 Objectifs :
C8.a_Niv1 : savoir utiliser la définition du logarithme népérien et ses propriétés.
Exercice n°1 Ex.20 p.145 Exercice n°2
Ex.22 p.145
Activité d'approche n°2
1. Construire page suivante dans un même repère la représentation graphique de la
fonction exponentielle et la représentation graphique de la fonction logarithme.
2. Tracer dans ce repère la droite d'équation
y = x . Que constate-t-on ?
...
...
26/60
Cours n°2
Propriété n°2
1.
La fonction ln est définie et continue sur …... .
2. Pour tout réel
x positif, e
ln x= ….. .
3. Pour tout réelx , ln (e
x) = ….. .
Démonstration :
Ces propriétés découlent de la définition.
Propriété n°3
La fonction ln est dérivable sur ]0;+∞[ et (ln x)'= ...
...
Démonstration :
1. Rappeler quelle est la dérivée de
f(u(x)) si f est une fonction dérivable quelconque :
...
...
2. En dérivant la relation
e
ln x=... par rapport à x , exprimer (lnx)' en fonction de
x :
...
...
...
...
II) Variations du logarithme et conséquences.
Propriété n°4
La fonction ln est strictement …... sur ]0;+∞[.
Démonstration :
Conséquence du signe de la dérivée.
Propriété n°5
Pour tous réels a et b strictement positifs :
1. Les deux égalités suivantes sont équivalentes :
a = b et lna = lnb
2. Les deux inégalités suivantes sont équivalentes :a < b et lna < lnb
Démonstration :
La fonction ln est une bijection (l'antécédent d'un nombre y par ln est un
nombre unique x ) , et est croissante.
Exemple n°2
Résoudre l'équation suivante :
ln x + ln(x + 8) = 2 ln3
...
...
...
...
...
Exemple n°3
Résoudre
0,7
n 10
-3pour n ∈ N
....
...
...
...
...
...
Exemple n°4
Résoudre 4e
x– 7 = 5 .
...
...
...
... ...
...
Exemple n°5
Résoudre
e
2x-1= 3 .
...
...
...
... ...
...
Exemple n°6
Résoudre
ln(1 – x) = 2 .
...
...
...
... ...
...
Exemple n°7
Résoudre
2ln²x + 5lnx – 18 = 0 .
...
...
...
... ...
...
Exemple n°8
28/60
Résoudre
ln(5 – x) –2 .
...
...
...
... ...
...
Exemple n°9
Résoudre
ln(1 + x) ln(3 – 2x) .
...
...
...
... ...
...
Exemple n°10
Résoudre
ln(1 + e
x) > 0 .
...
...
...
... ...
...
Se tester n°2 C8.2 (/9)
Objectifs :
Niveau a eca n
C8.b
1
savoir résoudre des équations et inéquationscomportant des exponentielles et/ou du logarithme.
Exercice n°1
Résoudre l'équation suivante :
ln x + ln(x + 8) = 3 ln3
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Exercice n°2
Résoudre
0,1
n 10
-7pour n ∈ N
....
...
...
... ...
...
Exercice n°3
Résoudre 6e
x– 1 = 7 .
...
...
...
... ...
...
Exercice n°4
Résoudre
e
2x-6= 8 .
...
...
...
... ...
...
Exercice n°5
Résoudre
ln(7 – x) = 7 .
...
...
...
... ...
...
Exercice n°6
Résoudre
9ln²x + 6lnx + 5 9 = 0 .
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
... ...
...
Exercice n°7
Résoudre
ln(2 – x)
–4 .
...
...
...
30/60
... ...
...
Exercice n°8
Résoudre
ln(6 + x)
ln(3 – 4x) .
...
...
...
...
...
...
...
...
... ...
...
Exercice n°9
Résoudre
ln(-6 + e
x) > 0 .
...
...
...
... ...
...
Résultats et indices
Ex.1 :
−8+ √ 172
2
Ex.2 : Le premier entier qui suit
−7 ln ( 10 ) ln ( 0,1 )
Ex.3 :
ln ( 4 3 )
Ex.4 :
ln ( 8 ) +6 2
Ex.5 :
7 – e
7Ex.6 :
e (
−6+18√16)
Ex.7 :
[ 4−e
−2; 4 [
Ex.8 :
] − 3 5 ; 3 4 [
Ex.9 :
] ln ( 6 ) ;+ ∞ [
Interrogation n°2 Objectifs :
C8.b_Niv1 : savoir résoudre des équations et inéquations comportant des
exponentielles et/ou du logarithme.
Exercice n°3*
Ex.6 p.144 Exercice n°4*
Ex.26 p.145 Exercice n°5*
Ex.15 p.144
Cours n°3
III) Limites de la fonction logarithme.
Propriété n°6
1.
lim
x → +∞
ln ( x ) =.. .
2.
lim
x →0 x>0
ln ( x ) =.. .
Démonstration :
1. Soit
A un nombre positif quelconque. Alors, si x>e
A, lnx>... . Donc lim
x → +∞
ln ( x ) =.. .
2.
lnx = (-1)×(-1)×ln(x) = (-1)×ln ( 1 x ) .
lim
x →0 x>0
1
x =.. . et lim
X → +∞
ln ( X ) =.. . , donc lim
x →0 x>0
ln ( 1 x ) =.. . , donc lim
x →0x>0
−1× ln ( 1 x ) =.. . ,
donc lim
x →0 x>0
ln ( x ) =.. . .
Propriété n°7
1.
lim
x → +∞
ln ( x ) x =.. .
2.
lim
x →0 x>0
x ln ( x ) =.. .
3.
lim
x →0 x>0
ln ( 1+ x ) x =.. .
Démonstration :
1.ln x
x = ln x
e
...= 1 ...
...
. Or, lim
x →+∞
ln ( x ) =.. . et lim
X →+∞
e
XX =.. . donc lim
X →+∞
1 e
XX
=.. .
32/60
lim
x → +∞
ln ( x ) x =.. .
2.
lim
x →0 x>0
x ln ( x ) = lim
X → +∞
1
X ln ( X 1 ) = –
Xlim
→ + ∞
ln ( X )
X =....
3.
ln ( 1+ x )
x = ln ( 1+ x ) −...
1+ x − ... et la fonction ln est dérivable en 1 . Donc
lim
x →0 x>0
ln ( 1+ x )
x =... ' ( 1 ) =.. .
Exemple n°11
Déterminer les limites aux bornes de l'ensemble de définition des fonctions suivantes :
a. La fonction
f définie sur ]0;1[ par f ( x ) = x+3 ln x .
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
b. La fonction f définie sur ]0;+∞[ par f ( x ) = x − ln x .
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Se tester n°3 C8.3 (/4 )
Objectifs :
Niveau a eca n
C8.c
1 Savoir calculer les limites de fonctions comportant un
logarithme népérien.
Exercice n°1
Déterminer les limites aux bornes de l'ensemble de définition des fonctions
suivantes :
a. La fonction
f définie sur ]0;1[ par f(x) = − 9 :8 x − 2
lnx .
...
...
...
...
...
...
...
...
b. La fonction
f définie sur ]0;+∞[ par f(x)=2 x – ln x .
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Interrogation n°3 Objectifs :
C8.c_Niv1 : Savoir calculer les limites de fonctions comportant un logarithme népérien.
Exercice n°6*
Ex.14 p.144 Exercice n°7**
Ex.17 p.144 Exercice n°8*
Ex.33 p.145 Exercice n°9*
Ex.56 p.147 Exercice n°10*
Ex.59 p.147 Exercice n°11*
Ex.81 p.149 Exercice n°12***
Sujet C p.157 Exercice n°13***
Sujet B p.157
Cours n°4
IV) Fonctions ln(u( x ))
34/60
Propriété n°8
Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I . On considère la fontion g définie par g(x)=ln(u(x)).
Alors g est dérivable et g'(x)= ...
...
Exemple n°12
Soit
g la fonction définie par g(x)=ln(2x² – 1)
Calculer
g'(x)
...
...
...
...
...
...
...
Définition n°2
On appelle fonction logarithme décimal la fonction notée log, définie sur ]0;+∞[ par log(x)= ln x
ln 10 . Remarque :
Cette fonction possède les mêmes propriétés que le logarithme népérien (seule différence : log(e)≠1 ).
Exemple n°13
Calculer
log(10
n) :
...
...
...
Se tester n°4 C8.4 (/4)
Objectifs :
Niveau a eca n
C8.d
1 Savoir calculer la dérivée d'une fonction composée
comportant un logarithme népérien.
C8.e
1 Savoir transformer un logarithme décimal en un
logarithme népérien.
Exercice n°1
Soit
g la fonction définie par g(x)=ln(8x² +3x – 2)
Calculer
g'(x)
...
...
...
...
...
Exercice n°2
Calculer
log ( 2
n) :
...
...…
Interrogation n°4 Objectifs :
C8.d_Niv1 : Savoir calculer la dérivée d'une fonction composée comportant un logarithme népérien.
C8.e_Niv1:Savoir transformer un logarithme décimal en un logarithme népérien.
Exercice n°14*
Ex.84 p.149 Exercice n°15*
Ex.91 p.149 Exercice n°16*
Ex.95 p.149 Exercice n°17***
Sujet A p.157 Exercice n°18***
Ex.128 p.159 Exercice n°19***
Ex.135 p.161
36/60
Résultats ou indices
Ex.1 (20 p.145) : Dans le désordre :
–ln2 ; 6ln2 + 3 ; 5ln2 + 1 ; 4ln2 ; 5
2 ln2 ; 1 – ln2 ; 2 – 2ln2 ; 3ln2 .
Ex.2 (22 p.145) : Dans le désordre :
ln5 ; ln4 ; ln (3e
2) ; ln2.
Ex.3* (6 p.144) : Dans le désordre :
S= { 7 1 e } ; S= { √ e } ; S= { e 5
3} ; S={1}
Ex.4* (26 p.145) : a.
S={(2;2)}
b.S={(2;3);(3;2)}
Ex.5* ( 15 p.144) : 1. R 2. x ∈ ]-1;1[ et S= ] −1 ; − 1 2 [
3.x ∈ ]-7;7[ et S=]-5;5[
4.x ∈ ] − 1 2 ; 3 [ et S= [ 2 3 ; 3 [
Ex.6* ( 14 p.144) : 1. x ∈ ]0;+ ∞[ et S= ] 0 ; e 3 ] 2. S=[3;4[ 3. S= [ 2 3 ; 3 2 [
4.S=] – ∞ ; – 3] U [3;+ ∞[.
Ex.7** (17 p.144) :
f est décroissante sur ]0;1] et croissante sur [1;+∞[ . g est croissante sur ]0;+∞[ . h est décroissante sur ] 0 ; e 1 ] et croissante sur ] e 1 ; +∞ ] .
Ex.8* (33 p.145) : a.
–∞ b. +∞ c. +∞ d. +∞ .
Ex.9* (56 p.147) : 1.
u(x)<0 si 0<x<e , u(x)>0 si x>e . 2.b. f est décroissante si 0<x<e , f
est croissante si x>e .
Ex.10* (59 p.147) : / Ex.11* (81 p.149) :lim
x→0+
f ( x ) =0 et lim
x→e-
f ( x ) = –∞ . La deuxième égalité donne une asymptote verticale d'équation x=e .
Ex.12*** (Sujet C p.157) : 1.
f est strictement croissante sur ]1;+∞[ 2. –∞ et +∞.
Ex.13*** (Sujet B p.157) : 1. V 2. F 3. F 4. F 5. V 6. V . Ex.14* (84 p.149) : …. u prend pour valeur 2+log(u)...
Ex.15* (
91 p.149) : 1. +∞ 2. f est décroissante sur ] −∞ ; − 3 2 ] et croissante sur
] − 3 2 ; +∞ ] minimum= −11 4 .
Ex.16* (95 p.149) : Dans le désordre :
2x – 2
1+ 2 x ; 1+ 2 x
x
2+1 ; 2 x – 3 x
2− 3 x + 1 ;
6 x + 2 x
Ex.17*** (Sujet A p.157) : 1.
f est strictement croissante sur [0;+ ∞[ 2.a. g est strictement décroissante sur ]0;+ ∞[ 3.b. .
Ex.18*** (128 p.159) : 1.a.
