Chapitre n°7: Logarithme népérien Objectifs :
Niveau a eca n
C8.a 1 Savoir utiliser la définition du logarithme népérien et ses
propriétés.
C8.b 1 Savoir résoudre des équations et inéquations comportant
des exponentielles et/ou du logarithme.
C8.c 1 Savoir calculer les limites de fonctions comportant un
logarithme népérien.
C8.d 1 Savoir calculer la dérivée d'une fonction composée
comportant un logarithme népérien.
C8.e 1 Savoir transformer un logarithme décimal en un
logarithme népérien.
Activité d'approche n°1 :
1. Démontrer que, quelque soit le nombre réel strictement positif k choisi, l'équation
ex=k admet toujours une unique solution.
...
...
...
...
...
...
2. Résoudre l'équation dans les cas suivants : a. k = 1
...
...
...
b. k = e.
...
...
...
c. k = 1
e
...
...
...
3. Déterminer une valeur approchée au centième près de la solution pour k=2.
...
...
...
...
...
...
4. On appelle logarithme népérien de k, noté ln k,l'unique solution de ex=k. Calculer ln(1), ln(e), et ln(
(
1e)
....
...
...
5. Soient k1 et k2 deux réels positifs. Soient x1=ln k1 et x2=lnk2 les solutions respectives de ex=k1 et de ex=k2. Démontrer que ln k1 + ln k2 = ln (k1× k2).
...
...
...
...
...
...
...
...
6. Déduire de ce qui précède les valeur de ln(en) où n est un entier relatif non nul.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Cours n°1
Chapitre n°7: Logarithme népérien
I) Définition du logarithme.
Définition n°1
On appelle logarithme népérien du réel strictement positif k l'unique solution d'inconnue x de l'équation …....
On note cette solution lnk.
{
y=k>0lnk équivaut à …...Remarque :
On dit que la fonction logarithme est la fonction réciproque de la fonction exponentielle.
Propriété n°1
1. Soit a et b deux nombres positifs. Alors ln (a×b) = ...
2. Soit a et b deux nombres positifs, b ≠ 0. Alors ln
(
ab)
=...3. ln 1 = …… ; ln e = …… ; Pour tout entier relatif n non nul, ln (en) = ……
4. Soit a un nombre positif et n un entier relatif différent de 0, ln(an)=n ln a 5.Soit a un nombre positif ln√a = 1
2 ln a. .
Démonstration :
Pour le 1 et le 3, cf activité d'approche précédente.
Pour le 2. :
ln
(
ab)
=ln(
a×1b)
=... + …... = …... + …... = …... – …...Pour le 4. : Par récurrence :
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...…
Pour le 5. :
ln a = ln((√a¿)2) =... ln √(a) donc : ………...
Exemple n°1
On pose ln2=a et ln3=b. Exprimer en fonction de a et b chacun des nombres suivants :
a.ln6 :
...
.
b.ln9 :
...
. c.ln 2
3 :
...
d. ln 1 12 :
...
e. ln72 :
...
f.e-n²+ln(2e) :
...
g.ln
(
32e2)
:...
Se tester n°1 C*7.1 (/7)
Objectifs :
Niveau a eca n
C7.a 1 savoir utiliser la définition du logarithme népérien et ses
propriétés.
Exercice n°1
On pose ln7=a et ln 10=b. Exprimer en fonction de a et b chacun des nombres suivants :
1. ln 7
10
2. ln 700 3. ln 70 4. ln(7e) 5. ln 1
490
6. ln 100 7. ln 107e2
…...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Résultats ou indices
Dans le désordre :
a + b ; a – b ; 2b ; a+2b ; -2a – b ; a + 1 ; b – a +2
Interrogation n°1 Objectifs :
C7.a_Niv1 :savoir utiliser la définition du logarithme népérien et ses propriétés.
Exercice n°1 Ex.20 p.145 Exercice n°2
Ex.22 p.145
Activité d'approche n°2
1. Construire page suivante dans un même repère la représentation graphique de la fonction exponentielle et la représentation graphique de la fonction logarithme.
2. Tracer dans ce repère la droite d'équation y = x. Que constate-t-on ?
...
...
Cours n°2
Propriété n°2
1.La fonction ln est définie et continue sur …....
2. Pour tout réel x positif, eln x= …... 3. Pour tout réel x, ln (ex )= …...
Démonstration :
Ces propriétés découlent de la définition.
Propriété n°3
La fonction ln est dérivable sur ]0;+∞[ et (ln x)'= ...
...
Démonstration :
1. Rappeler quelle est la dérivée de f(u(x)) si f est une fonction dérivable quelconque :
...
...
2. En dérivant la relation eln x=... par rapport à x, exprimer (lnx)'en fonction de x : ...
...
...
...
II) Variations du logarithme et conséquences.
Propriété n°4
La fonction ln est strictement …... sur ]0;+∞[.
Démonstration :
Conséquence du signe de la dérivée.
Propriété n°5
Pour tous réels a et b strictement positifs :
1. Les deux égalités suivantes sont équivalentes : a = b et lna = lnb 2. Les deux inégalités suivantes sont équivalentes : a < b et lna < lnb
Démonstration :
La fonction ln est une bijection (l'antécédent d'un nombre y par ln est un nombre unique x), et est croissante.
Exemple n°2
Résoudre l'équation suivante : ln x + ln(x + 8) = 2 ln3
...
...
...
...
...
Exemple n°3
Résoudre 0,7n10-3 pour n∈ N.
...
...
...
...
...
...
Exemple n°4
Résoudre 4ex – 7 = 5.
...
...
...
......
...
Exemple n°5
Résoudre e2x–1 = 3.
...
...
...
......
...
Exemple n°6
Résoudre ln(1 – x) = 2.
...
...
...
......
...
Exemple n°7
Résoudre 2ln²x + 5lnx – 18 = 0.
...
...
...
......
...
Exemple n°8
Résoudre ln(5 – x) –2.
...
...
...
......
...
Exemple n°9
Résoudre ln(1 + x) ln(3 – 2x).
...
...
...
......
...
Exemple n°10
Résoudre ln(1 + ex) > 0.
...
...
...
......
...
Se tester n°2 C7.2 (/9)
Objectifs :
Niveau a eca n
C*7.b 1 savoir résoudre des équations et inéquations comportant
des exponentielles et/ou du logarithme.
Exercice n°1
Résoudre l'équation suivante : ln x + ln(x + 4) = 3 ln2
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Exercice n°2
Résoudre 0,6n10-1 pour n∈ N.
...
...
...
......
...
Exercice n°3
Résoudre 2ex – 6 = 8.
...
...
...
......
...
Exercice n°4
Résoudre e x-2 = 5.
...
...
...
......
...
Exercice n°5
Résoudre ln(2 – x) = 9.
...
...
...
......
...
Exercice n°6
Résoudre 4ln²x + 6lnx + 27 16 = 0.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
......
...
Exercice n°7
Résoudre ln(2 – x) –8.
...
...
...
......
...
Exercice n°8
Résoudre ln(7 + x) ln(3 – 4x).
...
...
...
...
...
...
...
...
......
...
Exercice n°9
Résoudre ln(-4 + ex) > 0.
...
...
...
......
...
Résultats et indices
Ex.1 : −4+√52 2
Ex.2 : Le premier entier qui suit −ln(10)
ln(0,6) Ex.3 : ln(7)
Ex.4 : ln(1)+5 2 Ex.5 : 2 – e9
Ex.6 : e(−6+8√9)
Ex.7 : [16−e+27;16[ Ex.8 :
]
83;4[
Ex.9 : ]ln(7);+∞[
Interrogation n°2 Objectifs :
C8.b_Niv1 :savoir résoudre des équations et inéquations comportant des exponentielles et/ou du logarithme.
Exercice n°3*
Ex.6 p.144
Exercice n°4*
Ex.26 p.145 Exercice n°5*
Ex.15 p.144
Cours n°3
III) Limites de la fonction logarithme.
Propriété n°6
1. lim
x→+∞ln(x)=... 2. lim
x→0
x>0
ln(x)=...
Démonstration :
1. Soit A un nombre positif quelconque. Alors, si x>eA, lnx>.... Donc lim
x→+∞ln(x)=... 2. lnx = (–1)×(–1)×ln(x) = (–1)×ln
(
1x)
.lim
x→0
x>0
1
x=... et lim
X→+∞ln(X)=... , donc lim
x→0
x>0
ln
(
1x)
=... , donc limx→0
x>0
−1×ln
(
1x)
=... , donclim
x→0
x>0
ln(x)=... .
Propriété n°7
1. lim
x→+∞
ln(x) x =... 2. lim
x→0
x>0
xln(x)=... 3. lim
x→0
x>0
ln(1+x) x =...
Démonstration : 1. lnx
x = lnx
e... = ...1
...
. Or, lim
x→+∞ln(x)=... et lim
X→+∞
eX
X =... donc lim
X→+∞
1 eX X
=...
lim
x→+∞
ln(x) x =... 2. lim
x→0
x>0
xln(x)= lim
X→+∞
1
X ln
(
X1)
= – limX→+∞ln(X)
X =....
3. ln(1+x)
x =ln(1+x)−...
1+x−... et la fonction ln est dérivable en 1. Donc lim
x→0
x>0
ln(1+x)
x =...'(1)=...
Exemple n°11
Déterminer les limites aux bornes de l'ensemble de définition des fonctions suivantes :
a. La fonction f définie sur ]0;1[ par f (x)=x+3
lnx .
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
b. La fonction f définie sur ]0;+∞[ par f (x)=x−lnx .
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Se tester n°3 C7.3 (/4 )
Objectifs :
Niveau a eca n
C7.c 1 Savoir calculer les limites de fonctions comportant un
logarithme népérien.
Exercice n°1
Déterminer les limites aux bornes de l'ensemble de définition des fonctions suivantes :
a. La fonction f définie sur ]0;1[ par f(x) = −5x−8
lnx .
...
...
...
...
...
...
...
...
b. La fonction f définie sur ]0;+∞[ par f(x)=lnx –9x.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Interrogation n°3 Objectifs :
C7.c_Niv1 :Savoir calculer les limites de fonctions comportant un logarithme népérien.
Exercice n°6*
Ex.14 p.144 Exercice n°7**
Ex.17 p.144 Exercice n°8*
Ex.33 p.145 Exercice n°9*
Ex.56 p.147 Exercice n°10*
Ex.59 p.147 Exercice n°11*
Ex.81 p.149 Exercice n°12***
Sujet C p.157 Exercice n°13***
Sujet B p.157
Cours n°4
IV) Fonctions
l
n
(
u
(
x
)
)
Propriété n°8Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I. On considère la fontion g définie par g(x)=ln(u(x)).
Alors g est dérivable et g'(x)= ...
...
Exemple n°12
Soit g la fonction définie par g(x)=ln(2x² – 1)
Calculer g'(x)
...
...
...
...
...
...
...
Définition n°2
On appelle fonction logarithme décimal la fonction notée log, définie sur ]0;+∞[ par log(x)= lnx
ln10 . Remarque :
Cette fonction possède les mêmes propriétés que le logarithme népérien (seule différence : log(e)≠1).
Exemple n°13
Calculer log(10n) :
...
...
...
Se tester n°4 C7.4 (/4)
Objectifs :
Niveau a eca n
C7.d 1 Savoir calculer la dérivée d'une fonction composée
comportant un logarithme népérien.
C7.e 1 Savoir transformer un logarithme décimal en un
logarithme népérien.
Exercice n°1
Soit g la fonction définie par g(x)=ln(6x² +9x – 3)
Calculer g'(x)
...
...
...
...
...
Exercice n°2
Calculer log(3n) :
...
...…
Interrogation n°4 Objectifs :
C8.d_Niv1 :Savoir calculer la dérivée d'une fonction composée comportant un logarithme népérien.
C8.e_Niv1:Savoir transformer un logarithme décimal en un logarithme népérien.
Exercice n°14*
Ex.84 p.149 Exercice n°15*
Ex.91 p.149 Exercice n°16*
Ex.95 p.149 Exercice n°17***
Sujet A p.157 Exercice n°18***
Ex.128 p.159 Exercice n°19***
Ex.135 p.161
Résultats ou indices
Ex.1 (20 p.145) : Dans le désordre : –ln2 ; 6ln2 + 3 ; 5ln2 + 1 ; 4ln2 ; 5
2 ln2 ; 1 – ln2 ; 2 – 2ln2 ; 3ln2 .
Ex.2 (22 p.145) : Dans le désordre : ln5 ; ln4 ; ln (3e2) ; ln2.
Ex.3* (6 p.144) : Dans le désordre : S=
{
71e}
; S={√e} ; S={
e53}
; S={1}Ex.4* (26 p.145) : a. S={(2;2)} b. S={(2;3);(3;2)}
Ex.5* (15 p.144) : 1. R 2. x ∈]–1;1[ et S=
]
−1 ;−12[
3. x ∈]–7;7[ et S=]–5;5[ 4. x ∈]
−12 ; 3[
et S= ¿ ¿Ex.6* (14 p.144) : 1.x ∈]0;+ ∞[ et S=
]
0 ;e3]
2. S=[3;4[ 3. S=[
23;32[
4. S=] – ∞ ; –3] U[3;+ ∞[.
Ex.7** (17 p.144) : f est décroissante sur ]0;1] et croissante sur [1;+∞[. g est croissante sur ]0;+∞[. h est décroissante sur
]
0 ;e1]
et croissante sur]
e1 ;+∞]
.Ex.8* (33 p.145) : a. –∞ b. +∞ c. +∞ d. +∞ .
Ex.9* (56 p.147) : 1. u(x)<0 si 0<x<e, u(x)>0 si x>e. 2.b. f est décroissante si 0<x<e, f
est croissante si x>e. Ex.10* (59 p.147) : / Ex.11* (81 p.149) : lim
x→0+
f(x) =0 et lim
x→e-
f (x) = –∞. La deuxième égalité donne une asymptote verticale d'équation x=e.
Ex.12*** (Sujet C p.157) : 1. f est strictement croissante sur ]1;+∞[ 2. –∞ et +∞.
Ex.13*** (Sujet B p.157) : 1. V 2. F 3. F 4. F 5. V 6. V . Ex.14* (84 p.149) : …. u prend pour valeur 2+log(u)...
Ex.15* (91 p.149) : 1. +∞ 2. f est décroissante sur
]
−∞;−32]
et croissante sur]
−23;+∞]
minimum= −11 4 .Ex.16* (95 p.149) : Dans le désordre : 2x – 2
1+2x ; 1+ 2x
x2+1 ; 2x –3 x2−3x+1 ; 6
x+2x Ex.17*** (Sujet A p.157) : 1. f est strictement croissante sur [0;+ ∞[ 2.a. g est strictement décroissante sur ]0;+ ∞[ 3.b..
Ex.18*** (128 p.159) : 1.a. f '(x)=2a(lnx)2 + 2(2a+b)lnx + 2(b + c). b. 0;0;4 2.b et c.
Ex.19*** (135 p.161) : 1. –∞ 2.b. –∞ 5. Si k>e
2 , l'équation fk(x)=0 n'a pas de solution. Si k=e
2 , l'équation fk(x)=0 n'a une solution x= 1
√2k . Si k<e
2 , l'équation
fk(x)=0 a deux solutions. 6. k=1 2 .
Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)
Date d’aujourd’hui : ...……….
Prénom et classe :...………
---
* REPASSES D’INTERROGATIONS (Cn°chap.n°cours) : C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__
---
* TRAVAIL PERSONNEL (2 travaux min.+résum.de cours, sf exception ou mot daté et signé)
- Chap n°… , Activité n°…, : Question n° : … / … / … - Chap n°… , Cours n°… : Exemple n° : … / … / … - Résumé du Cours n° : ...
- Chap n°… , Se tester du Cours n°… Ex. n° : … / … / - Exercices n° : … / … / … / … / … / … /…
Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)
Date d’aujourd’hui : ...……….
Prénom et classe :...………
---
* REPASSES D’INTERROGATIONS (Cn°chap.n°cours) : C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__
---
* TRAVAIL PERSONNEL (2 travaux min.+résum.de cours, sf exception ou mot daté et signé)
- Chap n°… , Activité n°…, : Question n° : … / … / … - Chap n°… , Cours n°… : Exemple n° : … / … / … - Résumé du Cours n° : ...
- Chap n°… , Se tester du Cours n°… Ex. n° : … / … / - Exercices n° : … / … / … / … / … / … /…
Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)
Date d’aujourd’hui : ...……….
Prénom et classe :...………
---
* REPASSES D’INTERROGATIONS (Cn°chap.n°cours) : C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__
---
* TRAVAIL PERSONNEL (2 travaux min.+résum.de cours, sf exception ou mot daté et signé)
- Chap n°… , Activité n°…, : Question n° : … / … / … - Chap n°… , Cours n°… : Exemple n° : … / … / … - Résumé du Cours n° : ...
- Chap n°… , Se tester du Cours n°… Ex. n° : … / … / - Exercices n° : … / … / … / … / … / … /…
Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)
Date d’aujourd’hui : ...……….
Prénom et classe :...………
---
* REPASSES D’INTERROGATIONS (Cn°chap.n°cours) : C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__
---
* TRAVAIL PERSONNEL (2 travaux min.+résum.de cours, sf exception ou mot daté et signé)
- Chap n°… , Activité n°…, : Question n° : … / … / … - Chap n°… , Cours n°… : Exemple n° : … / … / … - Résumé du Cours n° : ...
- Chap n°… , Se tester du Cours n°… Ex. n° : … / … / - Exercices n° : … / … / … / … / … / … /…
Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)
Date d’aujourd’hui : ...……….
Prénom et classe :...………
---
* REPASSES D’INTERROGATIONS (Cn°chap.n°cours) : C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__
---
* TRAVAIL PERSONNEL (2 travaux min.+résum.de cours, sf exception ou mot daté et signé)
- Chap n°… , Activité n°…, : Question n° : … / … / … - Chap n°… , Cours n°… : Exemple n° : … / … / … - Résumé du Cours n° : ...
- Chap n°… , Se tester du Cours n°… Ex. n° : … / … / - Exercices n° : … / … / … / … / … / … /…
Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)
Date d’aujourd’hui : ...……….
Prénom et classe :...………
---
* REPASSES D’INTERROGATIONS (Cn°chap.n°cours) : C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__
---
* TRAVAIL PERSONNEL (2 travaux min.+résum.de cours, sf exception ou mot daté et signé)
- Chap n°… , Activité n°…, : Question n° : … / … / … - Chap n°… , Cours n°… : Exemple n° : … / … / … - Résumé du Cours n° : ...
- Chap n°… , Se tester du Cours n°… Ex. n° : … / … / - Exercices n° : … / … / … / … / … / … /…
Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)
Date d’aujourd’hui : ...……….
Prénom et classe :...………
---
* REPASSES D’INTERROGATIONS (Cn°chap.n°cours) : C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__
---
* TRAVAIL PERSONNEL (2 travaux min.+résum.de cours, sf exception ou mot daté et signé)
- Chap n°… , Activité n°…, : Question n° : … / … / … - Chap n°… , Cours n°… : Exemple n° : … / … / … - Résumé du Cours n° : ...
- Chap n°… , Se tester du Cours n°… Ex. n° : … / … / - Exercices n° : … / … / … / … / … / … /…
Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)
Date d’aujourd’hui : ...……….
Prénom et classe :...………
---
* REPASSES D’INTERROGATIONS (Cn°chap.n°cours) : C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__
---
* TRAVAIL PERSONNEL (2 travaux min.+résum.de cours, sf exception ou mot daté et signé)
- Chap n°… , Activité n°…, : Question n° : … / … / … - Chap n°… , Cours n°… : Exemple n° : … / … / … - Résumé du Cours n° : ...
- Chap n°… , Se tester du Cours n°… Ex. n° : … / … / - Exercices n° : … / … / … / … / … / … /…
