Physique avancée I 9 décembre 2016 Prof. J.-Ph. Ansermet
S´ erie 22 - Dynamique
NB : Cette s´erie d’exercices est en fait l’examen de physique g´en´erale I donn´e aux ´etudiants de la section de physique de l’EPFL en janvier 2013.
1. Pendule sur cube en rotation libre
Dans un auditoire, consid´er´e comme r´ef´erentiel d’inertie, un cube est libre de tourner `a une vitesse angulaire ⌦autour d’un axe vertical passant par son centre. Le cube a une demi-arrˆete de longueur D =|OA|. Un pendule constitu´e d’un point mat´eriel P de masse m est accroch´e au bout d’un fil sans masse de longueur L fix´e au cube au point A. Le pendule est astreint `a osciller sans frottement dans le plan verticalAxˆyˆtangent au cube. Exprimer les vecteurs dans le rep`ere cylindrique (P,e⇢,e ,ez).
a) Etablir le bilan des forces ext´erieures appliqu´ees sur le point mat´eriel P et les exprimer explicitement dans le rep`ere cylindrique (P,e⇢,e ,ez).
b) D´eterminer l’acc´el´eration relative ar(P) du point mat´erielP par rapport au r´ef´erentiel du cube en tenant compte des contraintes.
c) Calculer l’acc´el´eration de Coriolis acor du point mat´erielP.
d) D´eterminer l’acc´el´eration absolueaa(A) du pointApar rapport au r´ef´erentiel de l’auditoire en fonction de ⌦, ˙⌦ et de D.
e) Calculer le terme d’acc´el´eration ⌦⇥(⌦⇥AP).
f) La projection sur la verticale du moment cinetique total en O du cube et du pendule est- elle une grandeur conservee ? Justifier.
Indication : ⌦= ⌦ (cos e⇢ sin e ) .
S´erie 22 - Dynamique 1/3
Physique avanc´ee I 28 novembre 2014 Prof. J.-Ph. Ansermet
2. Roto-vibrations
Un point mat´eriel P de masse m glisse sans frottement sur une table horizontale. Il est accroch´e `a un pointO de cette table par un ressort de longueur au repos nulle et de constante
´elastique k.
a) D´eterminer les ´equations du mouvement du point mat´erielP et les exprimer explicitement dans le rep`ere polaire (P,e⇢,e ).
b) Calculer la composante Lz du moment cin´etique enO selon l’axe Ozˆ. Expliquer pourquoi Lz est une grandeur conserv´ee.
c) Exprimer l’´energie m´ecanique E du point mat´eriel en coordonn´ees polaires (⇢, ).
d) D´eterminer la valeur particuli`ere ! de la vitesse angulaire ˙ du point mat´eriel pour laquelle le mouvement est circulaire.
3. Pendule en equerre
Un solide suppos´e ind´eformable est compos´e de deux barres homog`enes infiniment minces, de longueur L et de masse M chacune. Ces deux barres sont fix´ees `a angle droit par leur extr´emit´e. L’´equerre ainsi form´ee est suspendue dans un plan vertical par un clou passant au point de jonction O des deux barres. Il n’y a aucun frottement. L’´ecart de la bissectrice de l’´equerre et la verticale vers le bas est donn´e par l’angle .
S´erie 22 - Dynamique 2/3
Physique avancée I 9 décembre 2016 Prof. J.-Ph. Ansermet
a) Donner l’expression deIO, le moment d’inertie enO du solide form´e des deux barres mont´ees ainsi `a l’´equerre.
b) D´eterminer la distance D entre le centre de masse G de l’´equerre et O (N.B. ne pas se fier
`a la position de G repr´esent´ee sur le dessin).
c) Exprimer l’´energie m´ecanique totale E de l’´equerre en fonction de D, M, ˙, , g etIO. d) Donner l’´equation du mouvement pour l’angle d’oscillation en fonction de D,g,M etIO. e) La force appliqu´ee en O, qui est repr´esent´ee dans la figure par deux forces T1 etT2, est-elle
le long de la droite OG(N.B. ne pas se fier au dessin de T1 etT2) ? Justifier.
f) D´eterminer les ´equations du mouvement pour le centre de masseGde l’´equerre en se r´ef´erant explicitement aux deux forces T1 et T2 et les exprimer explicitement dans le rep`ere polaire (G,e⇢,e ) .
Indication : Pour une seule barre de masse M et de longueur L, le moment d’inertie d’axe perpendiculaire `a la barre passant par son milieu vaut M L122 .
S´erie 22 - Dynamique 3/3
