HX4 — Contrˆole 1993/04
Exercice 1
◮NotonsA la partie deCd´efinie par A={a+ib|(a, b)∈Z2}. Pourx∈A, notonsN(x) =|x|2. NotonsU l’ensemble des ´el´ements inversibles deA.
Q1 Montrez que (A,+,×) est un anneau int`egre.
Q2 Montrez que (U,×) est un groupe.
◮Dans les deux questions suivantes, notonsϕ: A7→A un morphisme de l’anneau.
Q3 Montrez que ϕ(n) =npour toutn∈Z.
Q4 Quelle peut ˆetre la valeur deϕ(i) ?
Q5 Trouvez alors tous les morphismes d’anneau deA.
Q6 `A l’aide de la relationN(xy) =N(x)N(y), trouvez tous les ´el´ement deU. Q7 Soit α∈R; montrez qu’il existen∈Ztel que|α−n|612.
Q8 Soit x∈A et y ∈A\ {0}. Posons xy =u+iv, avec (u, v)∈Q2. Montrez qu’il existe (u0, v0)∈Z2 tel que
¯¯(u+iv)−(u0+iv0)¯
¯<1, puis qu’il existe (q, r)∈A2tel que x=qy+retN(r)< N(y).
Q9 Trouvez tous les couples (q, r) lorsquex= 2 + 3iety= 1 +i.
◮Dans les deux questions suivantes,I d´esigne un id´eal non nul deA. NotonsN(I) ={N(x)|x∈I}.
Q10 Justifiez l’existence dey∈I\ {0} tel queN(y) = minN(I).
Q11 Montrez queI est ´egal `a l’id´eal engendr´e pary.
Q12 Montrez que l’anneauAest principal.
◮Un ´el´ement x de A est irr´eductible dans A s’il n’est pas inversible, et si, pour tout (y, z) ∈ A2, l’´egalit´e x=yz impliquey∈U ouz∈U.
Q13 Soitx∈Atel queN(x) soit un naturel premier. Montrez quexest irr´eductible dansA.
Q14 En prenantx= 3, montrez que la r´eciproque est fausse.
Q15 Soitpun naturel premier. On suppose qu’il existe (a, b)∈N2tel quep=a2+b2. Montrez que pn’est pas irr´eductible dansA.
◮Soientxety deux ´el´ements deA. Nous dirons que xdivisey s’il existe z∈A tel quey=xz.
Q16 Soient z,z1 et z2 trois ´el´ements deA. Suppose quez est irr´eductible, et qu’il divise z1z2. Montrez que z divisez1 ouz2.
Tournez S.V.P.
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Exercice 2
◮SoitIun intervalle de R. Une fonctionf : I7→Rest lipschitzienne si :
∃k>0 : ∀(x, y)∈I2: |f(x)−f(y)|6k|x−y|
Q1 Prouvez que, sif : I7→Rest lipschitzienne, il en est de mˆeme pour|f|. Que pensez-vous de la r´eciproque ? Q2 Prouvez que la somme de deux fonctionsf : I7→Retg: I7→Rlipschitziennes est elle-mˆeme lipschitzienne,
mais qu’il n’en est pas n´ecessairement de mˆeme pour leur produit.
Q3 Prouvez que, si I est born´e, et sif : I 7→Rest lipschitzienne, alorsf est born´ee. En d´eduire que, siI est born´e, le produit de deux applicationsf : I7→Retg: I7→Rlipschitziennes est lui-mˆeme lipschitzien.
Q4 Soit f : I7→R. Soit J un intervalle deRcontenant f(I) et g: J 7→R. On supposef etg lipschitziennes.
Que peut-on dire deg◦f?
Q5 SoientI et J deux intervalles deRnon disjoints, etf : I∪J 7→R. On suppose que la restriction de f `aI est lipschitzienne, ainsi que la restriction def `aJ. Prouvez quef est lipschitzienne.
Q6 Soitn∈Netf : x∈[0,1]7→xn. Montrez quef est lipschitzienne, et d´eterminez le plus petit r´eelk>0 tel que|f(x)−f(y)|6k|x−y|pour tousxet y dans [0,1].
Exercice 3
◮NotonsAPCRpour `a partir d’un certain rang. Une suite de r´eels (un) est ditep´eriodique APCR s’il existe n0∈Netp∈N∗tels que, pour toutn>n0, on aitun+p=un; on dira quepest une p´eriode de (un) APCR.
Q1 Montrez que si une suite (un) est p´eriodique APCR, il existe un indiceq∈N∗ tel queuq =u2q.
Q2 R´eciproquement, on suppose que (un) est d´efinie par la donn´ee de son premier terme u0 et la relation de r´ecurrence un+1 = f(un), o`u f est une fonction de R dans lui-mˆeme ; montrez que, s’il existe un indice q∈N∗ tel que uq =u2q, alors (un) est p´eriodique APCR.
◮On dispose d’une fonction ´ecrite en Pascal :
1 function f(x:integer):integer;
On consid`ere la suite de relatifs d´efinie par la donn´ee de u0 et la relation de r´ecurrenceun+1=f(un) pour toutn∈N.
Q3 Prouvez que la suite calcul´ee par l’ordinateur est p´eriodique APCR.
Q4 ´Ecrire un programme qui applique la m´ethode expos´ee plus haut, pour d´eterminerune p´eriode APCR de cette suite. On s’interdira tout stockage superflu de termes de la suite (un) ; en particulier, l’emploi dearray est interdit.
Q5 On suppose que l’on a ´ecrit les d´efinitions suivantes :
1 const a = . . .; (* une valeur du type integer *)
2 function f(x:integer):integer;
3 begin
4 f:=x+a
5 end; (* f *)
Prouvez que la suite calcul´ee par l’ordinateur est p´eriodique tout court (autrement dit : `a partir du rang 0).
Que repr´esente la p´eriode, poura? Quelle est la valeur maximale de la p´eriode ? Pour quelle(s) valeur(s) de la constanteaest-elle obtenue ?
[Contr^ole 1993/04] Compos´e le 7 mars 2008
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