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Résolution de problèmes du premier degré
I. Ensembles de nombres et notations (A) Les différents ensembles de nombres
1. L’ensemble des réels
L’ensemble de tous les nombres que nous utilisons s’appellel’ensemble des nombres réels. Il est notéR.
On peut représenter chaque nombre réel par un point sur une droite graduée.
2. Des réels particuliers
Définition 1
âNest l’ensemble desnombres entiers positifs: 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; . . . Les nombres entiers positifs sont appelésentiers naturels.
âZest l’ensemble desnombres entiers positifs ou négatifs: . . . ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; . . . Les nombres entiers positifs ou négatifs sont appelésentiers relatifs.
âQest l’ensemble desquotients d’entiers, c’est-à-dire les nombres a
b aveca entier et bentier non nul. Par exemple :5
4;−3 2;25
10; 2 3; . . .
Les quotients d’entiers sont appelésnombres rationnels.
3. Des inclusions
âChaque entier naturel est évidemment un entier relatif.
On écrit alorsN⊂Zqui se lit «Ninclus dansZ».
âChaque entier relatif est aussi un quotient d’entiers. En effet, par exemple,−25= −25 et plus généralement tout entier relatif peut être écrit sous la forme d’un quotient d’entiers, le1 dénominateur étant égal à 1.
On écrit alorsZ⊂Q.
âOn peut regrouper les inclusions précédentes sous la formeN⊂Z⊂Q⊂R Il existe des réels qui ne sont pas des rationnels, par exemple :p
2 ;π. On dit que ce sont desirrationnels.
4. L’ensembleDdes décimaux
Rappel: Un nombre décimal est un nombre qui a un nombre fini de chiffres après la virgule ou aucun chiffre après la virgule (dans le cas des entiers relatifs). L’ensemble des nombres décimauxest notéD.
Exemples:
l−21
5 = −4, 2 est un nombre décimal car il n’y a qu’un chiffre après la virgule.
l0, 125 est un nombre décimal car ce nombre s’écrit avec trois chiffres après la virgule.
l
1
3 n’est pas décimal. En effet,1
3=0, 3333333 . . . Cette division ne s’arrête jamais.
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Propriété 1
Toutdécimalpeut s’écrire comme unquotient d’entiersdont le dénominateur est une puissance de 10.
Exemples:
7, 2=72
10 2, 75=275
100 0, 125= 125
1000=125 103
On a doncZ⊂D⊂Q. On peut représenter ces inclusions par un diagramme :
(B) Appartenance
Pour traduire le fait quexest un élément de l’ensembleA, on écritx∈A; on lit «xappartient àA».
Exemples:3∈N −5∈Z 4
5∈Q
Exercices no4 - 5(1) p 350
II. Équations du premier degré
Pour reprendre contact no1 - 3 - 4 p 81
(A) Égalité pour toutxet équation 1. Égalité pour toutx
Activité no1 p 82
Définition 2
Quelle que soit la valeur pour laquelle on remplace xdans les expressions (x−3)(x+1)−5 ; x2−2x−8 ; (x−4)(x+2), on obtient le même résultat.
On écrit :pour tout réelx, (x−3)(x+1)−5=x2−2x−8=(x−4)(x+2)
Exemples: n°1 p 85
Exercice no21 p 93
2. Équation
Les expressions 2x−1 etx2−4 ne sont pas égales pour tout réelx.
Par exemple, pourx=0, 2x−1 prend la valeur (−1) etx2−4 la valeur (−4).
En revanche, pourx=3, 2x−1=2×3−1=5 etx2−4=32−4=5.
Quandxprend la valeur 3, on a bien l’égalité 2x−1=x2−4 : On dit que3 est solution de l’équation2x−1=x2−4.
Résoudre une équation c’est chercher toutes les solutions de cette équation.
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(B) Résolution d’équations
Pour résoudre un problème, on essaie de lui associer une équation. La résolution du problème consiste alors à la résolution de l’équation.
Exemple: Résoudre l’équation 2(x+3)−4=5x−1 L’équation 2(x+3)−4=5x−1
On développe le 1er membre.
équivaut à (⇐⇒) 2x+2=5x−1
On soustrait5x à chaque membre.
équivaut à (⇐⇒) 2x+2−5x=5x−1−5x
On réduit les membres.
équivaut à (⇐⇒) −3x+2= −1
On soustrait 2 à chaque membre.
équivaut à (⇐⇒) −3x+2−2= −1−2 ⇐⇒ −3x= −3
On divise par -3 chaque membre.
équivaut à (⇐⇒) x=−3
−3=1
Cette équation a pourseule solution 1.
Exercices no67 - 68 - 69 - 71 - 75 p 96 Exercices no143 p 103
III. Inéquations du premier degré (A) Intervalles
On ne peut pas écrire la liste de tous les nombres réelsxtels quex≤2. Au collège, on représentait ces nombres sur une droite graduée, par un trait sans lever le crayon de la feuille. Ces nombres forment un intervalle.
Définition 3
L’intervalle fermé[a;b]désigne l’ensemble de tous les nombresxtels quea≤x≤b.
L’intervalle ouvert]a;b[désigne l’ensemble de tous les nombresxtels quea<x<b.
L’intervalle semi-ouvert[a;b[désigne l’ensemble de tous les nombresxtels quea≤x<b.
L’intervalle semi-ouvert]a;b]désigne l’ensemble de tous les nombresxtels quea<x≤b.
L’intervalle illimité[a;+∞[désigne l’ensemble de tous les nombresxtels quex≥a.
L’intervalle illimité]− ∞;b]désigne l’ensemble de tous les nombresxtels quex≤b.
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Exemples
l[0; 4] désigne l’ensemble de tous les nombresx tels que 0≤x≤4. Les nombres 0 et 4 appartiennent à cet intervalle.
l]−1; 5] désigne l’ensemble de tous les nombresxtels que−1<x ≤5. Le nombre -1 n’appartient pas à cet intervalle. 5 appartient à cet intervalle.
l[0;+∞[ désigne l’ensemble de tous les nombresxtels quex≥0, c’est-à-dire tousles nombres positifs. On le note égalementR+.
l]− ∞; 0] désigne l’ensemble de tous les nombresxtels quex≤0, c’est-à-dire tousles nombres négatifs. On le note égalementR−.
Exercices no1 - 2 - 3 p 348
(B) Résolution d’inéquations
Deux équations sont dites équivalentes quand elles ont les mêmes solutions.
Propriété 2
Pour transformer une inéquation en une inéquation équivalente, on peut
âDévelopper, factoriser, réduire certains termes.
âAjouter ou soustraire un même terme à chaque membre de l’inéquation.
âMultiplier ou diviser chaque membre par un nombrenon nul
−→sans changerle signe de l’inégalité si ce nombre estpositif.
−→en changeantle signe de l’inégalité si ce nombre estnégatif.
Exemple
2(3−x)≥x+1 ⇐⇒ 6−2x≥x+1 On développe le 1er membre.
⇐⇒ 6−3x≥1 On soustrait x.
⇐⇒ −3x≥ −5 On soustrait 6.
⇐⇒ x≤−5
−3 On divise par−3donc on change le signe.
⇐⇒ x≤5 3 L’ensemble des solutions est ]− ∞;5
3].
Exercices no33 - 34 - 35 - 42 p 143
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