Nombres complexes

Nombres complexes

Pour reprendre contact n^o1 à 6 p 265

I. Forme algébrique d’un nombre complexe (A) Définition des nombres complexes

Activité n^o1 p 266

Théorème 1 (admis) et définitions

Il existe un ensemble, notéC, d’éléments appelésnombres complexestel que :

âCcontient l’ensembleRdes nombres réels.

âCpossède un élémenti tel quei²= −1.

âCest muni d’une addition et d’une multiplication qui suivent des règles de calcul ana- logues à celle de l’addition et de la multiplication dansR.

âTout élémentzdeCs’écrit de manière unique sous la formea+i boùaetbsont des réels.

Cette forme est appelée laforme algébriquedez.

Vocabulaire

4aest appelépartie réelledezet notéea=Re(z).

4best appelépartie imaginairedezet notéeb=I m(z).

4Tout nombre complexe de la formez=i best appeléimaginaire pur.

Conséquences

4Dire qu’un nombre complexe est réel équivaut à dire queI m(z)=0.

4Dire qu’un nombre complexe est imaginaire pur équivaut à dire queRe(z)=0.

Théorème 2

Deux nombres complexes sont égaux si, et seulement si, ils ont même partie réelle et même partie imaginaire. a+i b=a⁰+i b⁰⇐⇒a=a⁰etb=b⁰

Remarques

En particulier,a+i b=0 équivaut àa=0 etb=0.

Propriété 1 : Addition et multiplication dansC

Siz₁=a₁+i b₁etz₂=a₂+i b₂alors z₁+z₂=(a₁+a₂)+i(b₁+b₂)

Siz1=a1+i b1etz2=a2+i b2alors z1z2=(a1a2−b1b2)+i(a1b2+a2b1) Identité remarquable: (a+i b)(a−i b)=a²+b²

Démonstration

z₁z₂=(a₁+i b₁)(a₂+i b₂)

On utilise la distributivité z₁z₂=a₁a₂+i a₁b₂+i a₂b₁+i²b₁b₂

On regroupe les parties réelles et imaginaires z1z2=(a1a2−b1b2)+i(a1b2+a2b1) (cari r= −1)

Exemples

z₁=2+5ietz₂=3−2i, doncz₁+z₂=5+3i.

Exercices n^o 17 - 18 - 19 - 20 - 21 - 23 - 24 - 25 p 285 - 286

(B) Représentation dans le plan complexe Définition 1

Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct (O;~u;~v).

âA tout complexez=a+i bavecaetbréels, on associe le pointM de coordonnées (a;b) et le vecteurw~(a;b).Mest appeléle point image(on noteM(z)) etw~ le vecteur imagedez.

âA tout pointM(a;b) et à tout vecteurw~(a;b), on associe le nombre complexez=a+i b, appeléaffixedeM etaffixedew~. Le plan est alors appelé plan complexe.

Conséquences

4M appartient àl’axe des abscisseséquivaut àI m(z)=0.

4M appartient àl’axe des ordonnéeséquivaut àRe(z)=0.

Propriété 2

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct (O;~u;~v).

Soient les pointsAetB d’affixeszAetzB. Alors :

4Le vecteur−→

AB a pour affixez_B−z_A.

4Lemilieu I du segment [AB]a pour affixez_I =z_A+z_B

2 .

Soient−→w et−→

w⁰les vecteurs d’affixes respectiveszetz⁰etλun réel. Alors

4−→w+−→

w⁰a pour affixez+z⁰.

4λ→−wa pour affixeλz.

Exercices n^o27 - 28 - 29 - 30 - 31 - 32 p 286

(C) Inverse et quotient Propriété 3 (admise)

Tout nombre complexeznon nul admet dansCun inversenoté 1 z.

Exemple 1 3−2i = 1

3−2i×3+2i 3+2i =3+2i

9+4 = 3 13+ 2

13i. 3+2is’appellele conjuguéde 3−2i.

Définition 2

Soitz⁰un nombre complexe non nul. On définitle quotient z z⁰ par z

z⁰=z× 1 z⁰.

Exercices n^o33 - 34 - 35 - 36 p 287

(D) Conjugué d’un nombre complexe Définition 3

Soitz=a+i bavecaetbréels.

Le nombre complexeconjugué dez, notéz, est le nombre complexez=a−i b.

Exemples

3−2i=3+2i 5+i=5−i −5= −5 i= −i.

Remarques

4Les points d’affixeszetzsontsymétriquespar rapport à l’axe des réels.

4Le conjugué dezestz=z.

4Siz=a+i b(a,bréels) alors z+z=2a=2Re(z) z−z=2bi=2i I m(z) zz=a²+b²

Exercices n^o38 - 39 - 40 - 41 - 42 - 43 - 44 p 287

Propriétés 4

âUn nombre complexezestréelsi, et seulement si,z=z.

âUn nombre complexezestimaginaire pursi, et seulement si,z= −z.

Démonstration

â^Soientaetbdeux réels tels quez=a+i b. On a alorsz=z⇐⇒a+i b=a−i b⇐⇒b= −bpar unicité de l’écriture algébrique.

Doncz=z⇐⇒b=0 ce qui équivaut àzest réel.

âDe mêmez= −z⇐⇒a+i b= −a+i b⇐⇒a= −a⇐⇒a=0 ce qui équivaut àzest imaginaire pur.

Propriétés 5

Pour tous nombres complexeszetz:

âz+z⁰=z+z⁰.

âzz⁰=zz⁰.

âPourz⁰6=0, 1 z⁰ = 1

z⁰ et z z⁰ = z

z⁰.

âPour tout nombre complexezet tout entier naturel non nuln,zⁿ=zⁿ.

Démonstration

â^Soitz=a+i betz⁰=a⁰+i b⁰aveca,b,a⁰,b⁰réels. Alorsz+z⁰=(a+a⁰)+i(b+b⁰) doncz+z⁰=(a+a⁰)−i(b+b⁰). Orz+z⁰=a−i b+a⁰−i b⁰. Doncz+z⁰=z+z⁰.

âOn démontre de même les propriétés suivantes.

â^Pourzn=zⁿ, il faut utiliser la récurrence. Pourn=1, la propriété est vraie.

Soitn∈N^∗, supposons quezⁿ=zⁿ. Alorszⁿ⁺¹=zzⁿ=z zⁿpar propriété du produit et par hypothèse de récurrence. Donczⁿ⁺¹=zⁿ⁺¹. On en déduit que pour toutn≥1,zⁿ=zⁿ.

Exercices n^o45 - 46 - 47 - 48 - 49 - 50 - 51 - 52 - 53 - 54 p 287 - 288

II. Module et argument. Forme trigonométrique

Activité n^o3 p 267

Définition 4

Soitzun nombre complexe et M son point image dans le plan muni du repère orthonormé direct (O;~u;~v). Lemodule dez, noté|z|, est égal àla distanceOM.

Siz6=0,un argument dez, noté arg(z), estune mesureθde l’angle (→−u,−−→

OM)en radians.

Exemples

z i 2 −2 1+i

|z| 1 2 2 p

2 arg(z) π

2(2π) 0 (2π) π(2π) π 4(2π)

Propriété 6

Soitzun nombre complexe.

âzestun réel non nulsi et seulement siarg(z)=0 ouπ(2π).

âzestun imaginaire pur non nulsi et seulement siarg(z)=π

2 ou−π 2(2π).

Propriété 7

Pour tout nombre complexez:

â|z| = |z|et siz6=0,arg(z)= −arg(z)(2π)

â| −z| = |z|et siz6=0,arg(−z)=arg(z)+π(2π)

Propriété 8

Soitz=a+i b,aetbréels. Alors :

â|z| =p

a²+b²donc|z|²=zz.

âSiz6=0 un argumentθdezest tel quea= |z|cosθetb= |z|sinθ.

Propriété 9 et définition Soitzun nombre complexe.

âSiz6=0 :zpeut s’écrire sous la formez= |z|(cosθ+isinθ)oùθ∈R.

Cette écriture estla forme trigonométrique de z.

âSiz=r(cosθ+isinθ) avecr,θréels etr>0 alorsr= |z|etθ=arg(z)(2π).

Exemple Soitz=p

3+i. On a alors|z| =p

3+1=2.

Alorsz=2³p 3 2 +1

2i´

donc la forme trigonométrique dezest 2³ cosπ

6+isinπ 6

´

. Un argument dezestπ 6.

Exercices n^o55 - 56 - 57 - 58 - 59 - 60 - 61 - 62 - 63 - 64 - 66 - 67 - 68 - 69 - 70 p 288 - 289

Propriété 10

zetz⁰nombres complexes zetz⁰nombres complexes non nuls Produit |zz⁰| = |z||z⁰| arg(zz⁰)=arg(z)+arg(z⁰)(2π) Puissance |zⁿ| = |z|ⁿ arg(zⁿ)=narg(z)(2π)n∈N^∗

Inverse

¯

¯

¯ 1 z

¯

¯

¯= 1

|z|siz6=0 arg³1 z

´

= −arg(z)(2π) Quotient

¯

¯

¯ z z⁰

¯

¯

¯= |z|

|z⁰|siz⁰6=0 arg³z z⁰

´

=arg(z)−arg(z⁰)(2π)

Démonstration Voir page 274

Exercices n^o71 - 72 - 73 - 74 - 75 - 76 - 77 - 78 p 290

III. Forme exponentielle

Soit f la fonction qui a tout réelθassocie le complexef(θ)=cosθ+isinθ.

f(θ)×f(θ⁰)=(cosθ+isinθ)(cosθ⁰+isinθ⁰)

=[cosθcosθ⁰−sinθsinθ⁰]+i[cosθsinθ⁰+sinθcosθ⁰]

=cos(θ+θ⁰)+isin(θ+θ⁰)

=f(θ+θ⁰)

De plusf(0)=cos 0+isin 0=1 On retrouve des analogies avec la fonction exponentielle.

Définition 5

Pour tout réelθ, on posee^iθ=cosθ+isinθ.

Autrement dit,e^iθest le nombre complexe de module 1 et d’argumentθ.

Exemples

eⁱ⁰=1 e^iπ= −1 e

iπ

2 =i e⁻

iπ 2 = −i

Propriété 11 et définition

Tout nombre complexeznon nul de moduler et d’argumentθs’écritz=r e^iθ. Cette écriture estla forme exponentielle dez.

Réciproquement, siz=r e^iθavecr>0, alors|z| =retarg(z)=θ(2π).

Propriétés 12

Pour tous réelsθ,θ⁰et pour toutn∈N^∗:

e^iθe^iθ0=e^i(θ+θ0) (e^iθ)ⁿ=e^{i nθ} 1

e^iθ =e^−iθ e^iθ

e^iθ0 =e^i(θ−θ0) e^iθ=e^−iθ

Exercices n^o79 - 80 - 81 - 82 - 83 - 84 - 58 - 86 - 87 - 88 - 89 - 90 - 91 - 92 - 93 - 94 - 95 p 290

IV. Équation du second degré à coefficients réels Propriété 13

Soit l’équation d’inconnuez:az²+bz+c=0, oùa,b,csont des réels (a6=0).

Lediscriminantde cette équation est le réel∆=b²−4ac.

lSi∆>0 : l’équation adeux solutions réelles:z1=−b−p

∆

2a etz2=−b+p

∆ 2a .

lSi∆=0 : l’équation aune solution réelle double:z= − b 2a.

lSi∆<0 : l’équation adeux solutions complexes conjuguées:z1=−b−ip

−∆

2a etz2=−b+ip

−∆

2a .

Exemple

L’équationz²+2z+2=0 a pour discriminant∆= −4=(2i)². Elle admet donc deux solutions complexes conjuguées :z1=−2−2i

2 = −1−ietz2=z1= −1+i Exercices n^o96 - 99 - 100 - 101 - 102 p 290

V. Calculs de longueurs et d’angles Propriété 14

Le plan complexe est muni du repère orthonormé direct (O;~u;~v).

âSoitA(a) etB(b) deux points distincts. AlorsAB= |b−a|et(−→u,−→

AB)=arg(b−a)(2π).

âSoitA,B,C,Ddes points deux à deux distincts, d’affixesa,b,c,d. Alors(−→

AB,−−→

C D)=arg³d−c b−a

´(2π).

Démonstration

â^SoitM(b−a). Alors−−→OM=−→ABdoncAB=OM= |b−a|et (−→u,−→AB)=(→−u,−−→OM)=arg(b−a)(2π) â(−→

AB,−−→

C D)=(→−u,−−→

C D)−(−→u,−→

AB)=arg(d−c)−arg(b−a)=arg³d−c b−a

´(2π)

Propriété 15 : Inégalité triangulaire Pour tous complexeszetz⁰,|z+z⁰| ≤ |z| + |z⁰|.

Exercices n^o103 - 104 - 105 - 106 - 109 - 110 - 111 - 112 - 113 - 114 - 115 - 117 - 118 p 291 - 293 Exercices n^o153 - 159 - 160 - 161 - 164 - 165 170 - 171 p 296 - 299