L.S.Marsa Elriadh
Série 46 M : Zribi
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èmeSc
Exercices2009/2010 Exercice 1 :
Valider ou infirmer les propositions suivantes :
1. Les solutions de l’équation différentielle : y’ + 4y = 0 sont les fonctions définies sur par f x( )e4xC
où C est une constante réelle.
2. La fonction définie pour tout x réel par f x( )e7x5 est l’unique solution de l’équation différentielle : y’ = −7 y + 35 et y(0) = 5.
Exercice 2 :
1. Résoudre l’équation différentielle : 2 'y y 0 (E), dont l’inconnue est une fonction définie et dérivable sur IR.
2. On considère l’équation différentielle : 2 'y y e2xx1 (E’)
a. Déterminer deux réels m et p tels que la fonction f définie sur IR par :
2x
2
f x e mx px soit solution de (E’).
b. Soit g une fonction définie et dérivable sur IR.
Montrer que g est solution de l’équation (E’) si et seulement si g – f est solution de l’équation (E).
Résoudre l’équation (E’).
3. Étudier les variations de la fonction h définie sur IR par : h x 14e2x
x22x
.4. Déterminer les limites en et en de la fonction h.
5. Dans le plan rapporté à un repère orthonormal (O i j; , ), on note C la courbe représentative de h et celle de la fonction : 2
x
xe . a. Étudier les positions relatives de C et .
b. Tracer ces deux courbes sur un même graphique.
Exercice 3 :
La température de refroidissement d’un objet fabriqué industriellement est une fonction f du temps t.
f est définie sur l’ensemble des nombres réels positifs et vérifie l’équation différentielle :
1
' 10
f t 2f t .
La température est exprimée en degrés Celsius (°C) et le temps t en heures.
1. Déterminer f(t) pour t > 0, sachant que pour t = 0, la température de l’objet est 220 °C.
2. On pourra admettre désormais que la fonction f est définie sur IR+ par
200 12t 20
f t e . On note C sa représentation graphique dans le plan muni d’un
L.S.Marsa Elriadh
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Exercices2009/2010 repère orthogonal ; les unités graphiques sont 2 cm pour une heure en abscisse et 1 cm pour vingt degrés Celsius en ordonnée.
a. Étudier les variations de la fonction f sur IR+.
b. Étudier la limite de la fonction f en . En déduire l’existence d’une asymptote D à la courbe C en .
c. Construire D et C sur l’intervalle [0 ; 7].
3. a. Utiliser le graphique pour déterminer une valeur approchée, en heures et minutes, du moment où la température de l’objet est 50° C. On laissera apparents les traits de construction.
b. Retrouver ce résultat par le calcul.
Exercice 4 :
Soit f la fonction définie sur IR par : 9 2 3 3
2
x x
f x e e . Partie A
Soit l’équation différentielle (E) : y' 2 y3e3x. 1. Résoudre l’équation différentielle (E’) : y' 2 y0. 2. En déduire que la fonction h définie sur IR par 9 2
2
x e x est solution de (E’).
3. Vérifier que la fonction g définie sur IR par g x 3e3x est solution de l’équation (E).
4. En remarquant que f = g + h, montrer que f est une solution de (E).
Partie B
On nomme Cf la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (O i j; , )
d’unité 1 cm.
1. Montrer que pour tout x de IR on a : 3 2 3
2
x x
f x e e . 2. Déterminer la limite de f en puis la limite de f en .
3. Étudier les variations de la fonction f et dresser le tableau de variations de f.
4. Calculer les coordonnées des points d’intersection de la courbe Cf avec les axes du repère.
5. Calculer f 1 et tracer l’allure de la courbe Cf.
6. Déterminer l’aire A de la partie du plan délimitée par l’axe des abscisses, la courbe Cf, l’axe des ordonnées et la droite d’équation x = 1. On exprimera cette aire en cm2.
