BTS2 - Correction Exercices révisions BTS 2011

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Correction Révisions BTS

Equations différentielles (BTS 2010) :

1) L'équation différentielle est du premier ordre avec pour coefficients a = 1 et b = -1.

Donc

D'après le formulaire on sait que les solutions d'une équation différentielle du premier ordre sans second membre sont de la forme avec G(x) une primitive de la fonction

Une primitive de -1 est –x

Donc les solutions de l'équation différentielle sans second membre (E⁰) sont de la forme avec k un réel quelconque.

2) Montrons que est une solution de l'équation (E)

On remplace dans (E), y par et y' par la dérivée de Calculons la dérivée de :

On injecte dans (E) :

On a donc prouvé que la fonction est une solution particulière de l'équation différentielle (E).

3) L'ensemble des solutions de (E) est égale à la somme des solutions de (E⁰) et de la solution particulière de (E) :

avec k un réel quelconque

4) Recherchons LA solution qui vérifie . Cela revient à chercher la valeur de k.

La solution de (E) qui vérifie est

Equations différentielles (BTS 2010) :

1) L'équation différentielle est du second ordre avec pour coefficients a = 1, b = -2 et c = 1

(d'après le formulaire on sait qu'il faut écrire l'équation caractéristique et la résoudre) L'équation caractéristique de cette équation différentielle est :

Recherche des racines de cette équation caractéristique :

L'équation caractéristique possède donc une racine double

Donc les solutions de l'équation différentielle sans second membre (E⁰) sont de la forme avec et deux réels quelconques.

2) Montrons que est une solution de l'équation (E)

(2)

On remplace dans (E), y par , y' par la dérivée de et y'' la dérivée de la dérivée de

Calculons la dérivée de (de la forme avec et ) :

On dérive (de la forme avec et )

On injecte dans (E) :

On a donc prouvé que la fonction est une solution particulière de l'équation différentielle (E).

3) L'ensemble des solutions de (E) est égale à la somme des solutions de (E⁰) et de la solution particulière de (E) :

avec et deux réels quelconques

4) Recherchons LA solution qui vérifie et . Cela revient à chercher les valeurs de et .

Pour trouver il faut trouver l'expression de la dérivée f'(x). Dans f(x) on trouve que l'on a déjà dérivé à la question 2) et qui est de la forme donc

Donc

Or donc ce qui conduit à

La solution de (E) qui vérifie et est

Etude d'une fonction (BTS 2010) :

1) Graphiquement on voit que Justification :

2) Une asymptote est une droite dont la distance avec la courbe tend vers 0. En -∞ (c'est-à-dire lorsque x tend vers -∞) on observe que la courbe ressemble à une droite dont la pente vaut 2 et l'ordonnée l'origine est 2. Par conséquent l'asymptote a pour équation y=2x+2

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3) a) La fonction f(x) contient une somme et un produit de fonctions usuelles :

 La fonction (1+x) est un polynôme de degré donc 1+x est égal à son développement limité à l’ordre 2.

 La fonction e^x dont le développement limité est donnée par le formulaire :

 La fonction 2x+2 est un polynôme de degré 1 donc 2x+2 est égal à son développement limité à l’ordre 2.

Donc le développement limité de f(x) est :

Développons en gardant les termes de degré inférieur ou égal à 2 :

Regroupons les termes de même ordre

b) Les termes de degré 0 et de degré 1 dans le développement limité nous donne l'équation de la tangente : y = degré 0 + degré 1

donc l'équation de la tangente est

c) Pour étudier la position relative de C et T il faut étudier le signe de or

est très petit donc pour étudier le signe de on étudie le signe de sans s’occuper de

x 0

+ Position

relative de C et T

C est au dessus de T au voisinage de 0

Etude locale d'une fonction (BTS 2009) :

1. a. f est de la forme avec et donc

Les deux termes possèdent un facteur commun donc on factorise par

b. rappels : - la tangente au point d’abscisse a est une droite ayant pour coefficient directeur f’(a) - une droite est parallèle à l’axe des abscisses (ou horizontal) si son coefficient directeur est nul

donc la tangente est parallèle à l’axe des abscisses lorsque f’(a) = 0 on cherche donc a tel que

un produit est nul si et seulement si un de ses termes est nul

(4)

4 et ne sont jamais nuls donc il faut rechercher a tel que On recherche donc les racines (solutions) d’un polynôme du second degré Programme TI pour la résolution des équations du second degré

:delta :Prgm

:Disp" Entrez Les Valeurs"

:Disp" de a,b,c:"

:b^2-4*a*c->d :Disp "delta=b²-4ac"

:Disp "delta=",d :Pause

:If d<0 Then

:Disp "delta<0 donc pas de solution dans R"

:Disp"x'=(-b+iracine(-delta))/2a",(-b+i*racine(-d))/(2*a) :Disp"x''=(-b-iracine(-delta))/2a",(-b-i*racine(-d))/(2*a) :Else

:If d=0 Then :Disp "Delta nul"

:Disp "Une racine double"

:Disp "x=-b/(2a)",-b/(2*a) :Else

:Disp "x'=(-b+racine(delta))/2a",(-b+racine(d))/(2*a) :Disp"x''=(-b-racine(delta))/2a",(-b-racine(d))/(2*a) :EndIf

:EndIf :EndPrgm

Le discriminant est positif, il existe deux solutions :



On vérifie graphiquement que ces deux valeurs 0,41 et -2,41 correspondent aux abscisses où la tangente à la courbe est horizontale.

2. a. f(x) est le produit de deux fonctions usuelles : 0,41 -2,41

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 est un polynôme de degré 2 donc est égale à son développement limité à l’ordre 2.

 La fonction e^x dont le développement limité est donnée par le formulaire :

Par produit des parties régulières :

b. Les termes de degré 0 et de degré 1 dans le développement limité nous donne l'équation de la tangente : y = degré 0 + degré 1

donc l'équation de la tangente est

c. Pour étudier la position relative de C et T il faut étudier le signe de or

est très petit donc pour étudier le signe de on étudie le signe de sans s’occuper de

x 0

+

Position relative de C

et T

C est au dessus de T au voisinage de 0

Calcul intégral (BTS 2010) :

1. Une primitive de est donc

2. Posons et

On en déduit alors et

Appliquons la formule d'intégration par parties (dans le formulaire)

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3. a. D'après la propriété de linéarité de l'intégrale

b.

c. K est l'aire située entre la courbe C l'axe des abscisses, la droite d'équation et la droite d'équation

1. D'après la relation

Une primitive de f(x) est égal à une primitive de

Par définition prendre une primitive d'une fonction est l'opération inverse de la dérivation donc :

 une primitive de est

Une primitive de est donc Or on connait la fonction l'expression de la fonction f : Et (calculé dans l'étude locale d'une fonction bts 2009) Conclusion :

On factorise par :

2. a. D'après le graphique on voit que la fonction est négative sur l'intervalle

3. b. La fonction est négative sur donc l'aire situé entre l'axe des abscisses, la courbe C, les droites d'équation et vaut

Or

Et

Donc l'aire a pour valeur

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Cette valeur semble cohérente avec le graphique (environ 4 carreaux) Calcul intégral (BTS 2008) :

1. Une primitive de est

2. Une primitive de est

3. Posons et

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4. a. D'après la propriété de linéarité de l'intégrale

b. donc à 10^-3 près

c. Calcul de la différence entre L et I : La différence entre I et L est

1. Posons et On en déduit alors et

2.

D’après les limites usuelles (voir formulaire) ; Par quotient on a donc

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donc

Par comparaison des croissances à l’infini donc Par somme

à 10^-5

La fonction f a pour expression 1. Posons et

2.

à 10^-3

3. Comme f(x) est positif sur l’intervalle , I est l’aire située entre la courbe C, l’axe des abscisses, et les droites d’équations et

-1 -2

2

0 1

1

x y

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Lois de probabilité (BTS 2009) : A.

1. Posons la variable centrée réduite

On peut alors effectuer le changement de variable :

D'après la table de la loi normale dans le formulaire

2. On nous demande de calculer

On effectue le même changement de variable que la question précédente :

Par lecture de la table de la loi normale (formulaire)

B.

Pour une loi de poisson de paramètre la table du formulaire nous donne 2. On nous demande de calculer

Pour une loi à variable discrète (loi de poisson ou loi binomiale)

C.

1. Z suit une loi binomiale de paramètres car on répète n = 10 fois de manière indépendante une épreuve de Bernoulli dont les issues sont :

 Succès si le camion-benne n'a pas eu de panne ou de sinistre ; probabilité p = 0,9

 Echec si le camion-benne a eu une panne ou un sinistre ; probabilité q = 0,1 Z compte le nombre de succès.

D'après le formulaire, pour une loi binomiale

Rappel : sur la plupart des calculatrices il faut taper d'abord 10 puis "nCr" et 0 enfin Donc

Lois de probabilité (BTS 2008) : A.

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2. La pièce est conforme si sa cote x ET sa cote y sont conformes. On cherche donc la probabilité de l'événement .

On sait que pour deux événements indépendants Donc

La probabilité que la pièce soit conforme est 0,968

Remarque : si les événements ne sont pas indépendants, il faut connaitre la "dépendance" des deux événements. Il est donc nécessaire de connaitre une probabilité conditionnelle par exemple la probabilité que l'événement X arrive sachant que Y est réalisé, notée ou .

On peut toujours écrire B.

1. Z suit une loi binomiale de paramètres car on répète n = 50 fois de manière indépendante une épreuve de Bernoulli dont les issues sont :

1. Succès si la pièce est défectueuse ; probabilité p = 0,03 2. Echec si la pièce est conforme ; probabilité q = 0,97 Z compte le nombre de succès.

2. D'après le formulaire, pour une loi binomiale

Donc la probabilité de n'avoir aucune pièce défectueuse sur les 50 est Pour une loi à variable discrète (loi de poisson ou loi binomiale)

3. a. Lors du passage d'une loi binomiale à une loi de poisson il y a conservation de la moyenne :

Donc

b. On nous demande de calculer

Lois de probabilité (BTS 2010) :

A.

1. a. X suit une loi binomiale de paramètres car on répète n = 30 fois de manière indépendante une épreuve de Bernoulli dont les issues sont :

 Succès si la bouteille est non conforme ; probabilité p = 0,02

 Echec si la bouteille est conforme; probabilité q = 0,98 X compte le nombre de succès.

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b. Pour une loi à variable discrète (loi de poisson ou loi binomiale)

D'après le formulaire, pour une loi binomiale et

Donc

2. a. Lors du passage d'une loi binomiale à une loi de poisson il y a conservation de la moyenne :

Donc

4. b. On nous demande de calculer

Pour une loi de poisson de paramètre la table du formulaire nous donne et

donc B.

2. On effectue le même changement de variable que la question précédente :

On cherche h tel que

Ce qui revient à chercher h tel que

Il faut effectuer une lecture inverse de la table de la loi normale pour trouver h, ce qui conduit à h = 2,58

Statistiques inférentielles (BTS 2010) :

1. L'intervalle de confiance à 95% est de la forme

où est la moyenne de l'échantillon prélevé, l'écart-type sur la variable aléatoire , et n la taille de l'échantillon.

L'intervalle est donc

Ou encore

2. Non car il y a un risque que la moyenne µ soit en dehors de l'intervalle

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Statistiques inférentielles (BTS 2009) :

1. Si la moyenne de l’échantillon appartient à l’intervalle on accepte l’hypothèse H⁰. Si la moyenne de l’échantillon n’appartient pas à l’intervalle on rejette l’hypothèse H⁰.

2. 24,978 appartient à l’intervalle donc au seuil de 5% on accepte l’hypothèse H⁰. La livraison est conforme au seuil de 5%.

Statistiques à deux variables (BTS 2006) :

1. En effectuant une régression linéaire (dans le menu statistique à deux variables dans la calculatrice il faut taper LinReg(ax+b) L¹, L² ) on trouve :

 le coefficient de corrélation linéaire r = 0,983748 = 0,98 à 10^-2

 l’équation de la droite de régression y = 0,405714 x + 15,459048 soit y = 0,406 x + 15 avec les approximations demandées

2. Utilisons la droite de régression pour estimer le nombre de chaudière au rang 7 : y = 0,406 × 7 + 15 = 17,8

17,8 milliers de chaudières seront fabriquées l’année de rang 7 si la tendance se poursuit.

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A 0,6

B 0,4

0,01

0,99 0,05

0,95

Probabilités conditionnelles (BTS 2006) :

Effectuons un arbre de probabilité. On reporte sur chaque branche les probabilités conditionnelles.

L’énoncé comporte une erreur. L’événement « la chaudière présente un défaut » doit être noté D pour être cohérent avec les questions

1.

Probabilité que la chaudière soit défectueuse sachant que la chaudière est à cheminée

Probabilité que la chaudière soit défectueuse sachant que la chaudière est à ventouse

2. La probabilité que la chaudière soit défectueuse et à cheminée s’écrit

Or on sait que (sur l’arbre on traduit graphiquement cette relation : la probabilité d’une branche est égale au produit des probabilités rencontrées pour atteindre le bout de la branche)

De même la probabilité que la chaudière soit défectueuse et à ventouse

3. On sait que

Comme et sont incompatibles leur intersection est nulle d’où

Conclusion

Par définition