BTS2 - Révisions BTS 2012

(1)

Correction Révisions BTS Page 1

Correction Révisions BTS

Equations différentielles (BTS 2010) :

1) L'équation différentielle est du premier ordre avec pour coefficients a = 1 et b = -1.

Donc

D'après le formulaire on sait que les solutions d'une équation différentielle du premier ordre sans second membre sont de la forme ( ) ^{( )} avec G(x) une primitive de la fonction

Une primitive de -1 est –x

Donc les solutions de l'équation différentielle sans second membre (E⁰) sont de la forme ( ) avec k un réel quelconque.

2) Montrons que est une solution de l'équation (E)

On remplace dans (E), y par et y' par la dérivée de Calculons la dérivée de :

( ) On injecte dans (E) :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

On a donc prouvé que la fonction ( ) est une solution particulière de l'équation différentielle (E).

3) L'ensemble des solutions de (E) est égale à la somme des solutions de (E⁰) et de la solution particulière de (E) :

( ) avec k un réel quelconque

4) Recherchons LA solution qui vérifie ( ) . Cela revient à chercher la valeur de k.

( )

La solution de (E) qui vérifie ( ) est ( )

Equations différentielles (BTS 2010) :

1) L'équation différentielle est du second ordre avec pour coefficients a = 1, b = -2 et c = 1

(d'après le formulaire on sait qu'il faut écrire l'équation caractéristique et la résoudre) L'équation caractéristique de cette équation différentielle est :

Recherche des racines de cette équation caractéristique : ( )

L'équation caractéristique possède donc une racine double

Donc les solutions de l'équation différentielle sans second membre (E⁰) sont de la forme ( ) ( ) avec et deux réels quelconques.

2) Montrons que est une solution de l'équation (E)

(2)

On remplace dans (E), y par , y' par la dérivée de et y'' la dérivée de la dérivée de

Calculons la dérivée de (de la forme avec et ) : ( )

( )

On dérive ( ) (de la forme avec et ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

On injecte dans (E) :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

On a donc prouvé que la fonction ( ) est une solution particulière de l'équation différentielle (E).

3) L'ensemble des solutions de (E) est égale à la somme des solutions de (E⁰) et de la solution particulière de (E) :

( ) ( ) avec et deux réels quelconques

4) Recherchons LA solution qui vérifie ( ) et ( ) . Cela revient à chercher les valeurs de et .

( )

Pour trouver ( ) il faut trouver l'expression de la dérivée f'(x). Dans f(x) on trouve que l'on a déjà dérivé à la question 2) et ( ) qui est de la forme donc

( ) ( ) ( ) Donc

( )

( ) ( )

Or donc ce qui conduit à

La solution de (E) qui vérifie ( ) et ( ) est ( )

Etude d'une fonction (BTS 2010) :

1) Graphiquement on voit que ( ) Justification :

( )

}

( )

}

( ) 2) Une asymptote est une droite dont la distance avec la courbe tend vers 0. En -∞ (c'est-à-dire lorsque

x tend vers -∞) on observe que la courbe ressemble à une droite dont la pente vaut 2 et l'ordonnée l'origine est 2. Par conséquent l'asymptote a pour équation y=2x+2

(3)

Correction Révisions BTS Page 3 3) a) La fonction f(x) contient une somme et un produit de fonctions usuelles :

 La fonction (1+x) est un polynôme de degré donc 1+x est égal à son développement limité à l’ordre 2.

 La fonction e^x dont le développement limité est donnée par le formulaire : ( )

 La fonction 2x+2 est un polynôme de degré 1 donc 2x+2 est égal à son développement limité à l’ordre 2.

Donc le développement limité de f(x) est :

( ) ( ) ( ) ( ) Développons en gardant les termes de degré inférieur ou égal à 2 :

( ) ( ) Regroupons les termes de même ordre

( ) ( )

( )

b) Les termes de degré 0 et de degré 1 dans le développement limité nous donne l'équation de la tangente : y = degré 0 + degré 1

donc l'équation de la tangente est

c) Pour étudier la position relative de C et T il faut étudier le signe de ( ) ( ) or ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) est très petit donc pour étudier le signe de ( ) ( ) on étudie le signe de sans s’occuper de ( )

x 0

+ Position

relative de C et T

C est au dessus de T au voisinage de 0

Etude locale d'une fonction (BTS 2009) :

1. a. f est de la forme avec et donc ( ) ( )

Les deux termes possèdent un facteur commun donc on factorise par ( ) ( )

( ) ( )

b. rappels : - la tangente au point d’abscisse a est une droite ayant pour coefficient directeur f’(a) - une droite est parallèle à l’axe des abscisses (ou horizontal) si son coefficient directeur est nul

donc la tangente est parallèle à l’axe des abscisses lorsque f’(a) = 0

(4)

on cherche donc a tel que ( )

un produit est nul si et seulement si un de ses termes est nul

4 et ne sont jamais nuls donc il faut rechercher a tel que On recherche donc les racines (solutions) d’un polynôme du second degré Programme TI pour la résolution des équations du second degré

:delta :Prgm

:Disp" Entrez Les Valeurs"

:Disp" de a,b,c:"

:b^2-4*a*c->d :Disp "delta=b²-4ac"

:Disp "delta=",d :Pause

:If d<0 Then

:Disp "delta<0 donc pas de solution dans R"

:Disp"x'=(-b+iracine(-delta))/2a",(-b+i*racine(-d))/(2*a) :Disp"x''=(-b-iracine(-delta))/2a",(-b-i*racine(-d))/(2*a) :Else

:If d=0 Then :Disp "Delta nul"

:Disp "Une racine double"

:Disp "x=-b/(2a)",-b/(2*a) :Else

:Disp "x'=(-b+racine(delta))/2a",(-b+racine(d))/(2*a) :Disp"x''=(-b-racine(delta))/2a",(-b-racine(d))/(2*a) :EndIf

:EndIf :EndPrgm

( ) Le discriminant est positif, il existe deux solutions :

 ^√ ^√ ^{( √ )} √

 ^√

√ ( √ ) √

On vérifie graphiquement que ces deux valeurs 0,41 et -2,41 correspondent aux abscisses où la tangente à la courbe est horizontale.

0,41 -2,41

(5)

Correction Révisions BTS Page 5 2. a. f(x) est le produit de deux fonctions usuelles :

 est un polynôme de degré 2 donc est égale à son développement limité à l’ordre 2.

 La fonction e^x dont le développement limité est donnée par le formulaire : ( )

Par produit des parties régulières :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

b. Les termes de degré 0 et de degré 1 dans le développement limité nous donne l'équation de la tangente : y = degré 0 + degré 1

donc l'équation de la tangente est

c. Pour étudier la position relative de C et T il faut étudier le signe de ( ) ( ) or ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) est très petit donc pour étudier le signe de ( ) ( ) on étudie le signe de sans s’occuper de ( )

x 0

+

Position relative de C

et T

C est au dessus de T au voisinage de 0

Calcul intégral (BTS 2010) :

1. Une primitive de est donc

∫( )

[ ]

∫( )

[( ) ( )] [( ) ( )]

∫( )

[ ]

∫( )

2. Posons et

On en déduit alors et

Appliquons la formule d'intégration par parties (dans le formulaire)

∫ [ ] ∫

(6)

∫( ) [( ) ] ∫

∫( ) [ ] ∫

∫( )

[ ]

∫( )

[ ]

∫( )

3. a. D'après la propriété de linéarité de l'intégrale

∫(( ) ( ) )

∫( )

∫(( ) ( ) )

b.

c. K est l'aire située entre la courbe C l'axe des abscisses, la droite d'équation et la droite d'équation

1. D'après la relation ( ) ( ) ( )

Une primitive de f(x) est égal à une primitive de ( ) ( )

Par définition prendre une primitive d'une fonction est l'opération inverse de la dérivation donc :

 une primitive de ( ) est ( )

Une primitive de ( ) ( ) est donc ( ) ( ) ( ) Or on connait la fonction l'expression de la fonction f : ( ) ( ) Et ( ) ( ) (calculé dans l'étude locale d'une fonction bts 2009) Conclusion : ( ) ( ) ( )

On factorise par : ( ) ( ( ) ( ) )

( ) ( ) ( ) ( )

2. a. D'après le graphique on voit que la fonction est négative sur l'intervalle [ ]

3. b. La fonction est négative sur [ ] donc l'aire situé entre l'axe des abscisses, la courbe C, les droites d'équation et vaut

∫ ( ) [ ( )]

[ ( ) ( )]

Or ( ) ( ( ) ) Et ( ) ( ( ) )

(7)

Correction Révisions BTS Page 7 Donc l'aire a pour valeur [ ]

Cette valeur semble cohérente avec le graphique (environ 4 carreaux) Calcul intégral (BTS 2008) :

1. Une primitive de est

∫

[ ]

∫

[( )

] [( ) ]

∫

2. Une primitive de est

∫

[ ]

∫

[ ] [ ^{( )}]

∫

( ) 3. Posons et

∫ [ ] ∫

∫ ( ) [( ) ] ∫

∫ ( ) [( ) ] [( ) ] ∫

∫ ( ) [ ]

(8)

∫ ( ) [ ]

∫ ( )

∫ ( ) ( )

4. a. D'après la propriété de linéarité de l'intégrale

∫ ( ( ) )

∫

∫ ( )

( ) ( ) b. donc à 10^-3 près

c. Calcul de la différence entre L et I : La différence entre I et L est

1. Posons et On en déduit alors et

∫ [ ] ∫

∫ [

] ∫

∫ [

]

∫

[

]

∫

[

]

∫

( )

(9)

Correction Révisions BTS Page 9 2.

D’après les limites usuelles (voir formulaire) ; Par quotient on a donc

donc

Par comparaison des croissances à l’infini donc Par somme

( ) à 10^-5

La fonction f a pour expression ( ) ( ) 1. Posons et

∫ [ ] ∫

∫ ( ) [( ) ( )] ∫ ( )

∫ ( ) [( ) ( ) ( ) ( )] ∫

∫ ( ) [ ] [( )]

∫ ( ) [( ) ( )]

∫ ( )

∫ ( ) 2.

à 10^-3

3. Comme f(x) est positif sur l’intervalle[ ], I est l’aire située entre la courbe C, l’axe des abscisses, et les droites d’équations et

-1 -2

2

0 1

1

x y

(10)

Lois de probabilité (BTS 2009) : A.

1. Posons la variable centrée réduite

On peut alors effectuer le changement de variable : ( ) (

) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ))

( ) ( ) D'après la table de la loi normale dans le formulaire ( )

( ) ( ) 2. On nous demande de calculer ( )

On effectue le même changement de variable que la question précédente : ( ) (

) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) Par lecture de la table de la loi normale (formulaire)

( ) B.

1. On nous demande de calculer ( )

Pour une loi de poisson de paramètre la table du formulaire nous donne ( ) 2. On nous demande de calculer ( )

Pour une loi à variable discrète (loi de poisson ou loi binomiale)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) C.

1. Z suit une loi binomiale de paramètres ( ) car on répète n = 10 fois de manière indépendante une épreuve de Bernoulli dont les issues sont :

 Succès si le camion-benne n'a pas eu de panne ou de sinistre ; probabilité p = 0,9

 Echec si le camion-benne a eu une panne ou un sinistre ; probabilité q = 0,1 Z compte le nombre de succès.

2. On nous demande de calculer ( )

D'après le formulaire, pour une loi binomiale ( )

Rappel : sur la plupart des calculatrices il faut taper d'abord 10 puis "nCr" et 0 enfin Donc ( )

(11)

Correction Révisions BTS Page 11 Lois de probabilité (BTS 2008) :

A.

On peut alors effectuer le changement de variable : ( ) (

) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ))

( ) ( )

2. La pièce est conforme si sa cote x ET sa cote y sont conformes. On cherche donc la probabilité de l'événement .

On sait que pour deux événements indépendants ( ) ( ) ( ) Donc ( )

La probabilité que la pièce soit conforme est 0,968

Remarque : si les événements ne sont pas indépendants, il faut connaitre la "dépendance" des deux événements. Il est donc nécessaire de connaitre une probabilité conditionnelle par exemple la probabilité que l'événement X arrive sachant que Y est réalisé, notée ( ) ou ( ).

On peut toujours écrire ( ) ( ) ( ) B.

1. Z suit une loi binomiale de paramètres ( ) car on répète n = 50 fois de manière indépendante une épreuve de Bernoulli dont les issues sont :

1. Succès si la pièce est défectueuse ; probabilité p = 0,03 2. Echec si la pièce est conforme ; probabilité q = 0,97 Z compte le nombre de succès.

2. D'après le formulaire, pour une loi binomiale ( )

Donc la probabilité de n'avoir aucune pièce défectueuse sur les 50 est ( ) Pour une loi à variable discrète (loi de poisson ou loi binomiale)

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

3. a. Lors du passage d'une loi binomiale à une loi de poisson il y a conservation de la moyenne : ( )

( ) Donc

b. On nous demande de calculer ( )

Pour une loi à variable discrète (loi de poisson ou loi binomiale)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

(12)

Lois de probabilité (BTS 2010) : A.

1. a. X suit une loi binomiale de paramètres ( ) car on répète n = 30 fois de manière indépendante une épreuve de Bernoulli dont les issues sont :

 Succès si la bouteille est non conforme ; probabilité p = 0,02

 Echec si la bouteille est conforme; probabilité q = 0,98 X compte le nombre de succès.

b. Pour une loi à variable discrète (loi de poisson ou loi binomiale) ( ) ( ) ( )

D'après le formulaire, pour une loi binomiale ( ) et ( )

Donc ( )

2. a. Lors du passage d'une loi binomiale à une loi de poisson il y a conservation de la moyenne : ( )

( ) Donc

4. b. On nous demande de calculer ( )

Pour une loi à variable discrète (loi de poisson ou loi binomiale) ( ) ( ) ( )

Pour une loi de poisson de paramètre la table du formulaire nous donne ( ) et ( )

donc ( ) B.

On peut alors effectuer le changement de variable :

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ))

( ) ( )

2. On effectue le même changement de variable que la question précédente :

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ))

( ) ( ) On cherche h tel que ( )

Ce qui revient à chercher h tel que ( )

(13)

Correction Révisions BTS Page 13 Il faut effectuer une lecture inverse de la table de la loi normale pour trouver h, ce qui conduit à h = 2,58

Statistiques inférentielles (BTS 2010) :

1. L'intervalle de confiance à 95% est de la forme [ ̅

√ ̅

√ ] où ̅ est la moyenne de l'échantillon prélevé, l'écart-type sur la variable aléatoire ̅, et n la taille de l'échantillon.

L'intervalle est donc [

√

√ ] Ou encore [ ]

2. Non car il y a un risque que la moyenne µ soit en dehors de l'intervalle [ ] Statistiques inférentielles (BTS 2009) :

1. Si la moyenne de l’échantillon ̅ appartient à l’intervalle [ ] on accepte l’hypothèse H0. Si la moyenne de l’échantillon ̅ n’appartient pas à l’intervalle [ ] on rejette l’hypothèse H⁰.

2. 24,978 appartient à l’intervalle [ ] donc au seuil de 5% on accepte l’hypothèse H⁰. La livraison est conforme au seuil de 5%.

Statistiques à deux variables (BTS 2006) :

1. En effectuant une régression linéaire (dans le menu statistique à deux variables dans la calculatrice il faut taper LinReg(ax+b) L¹, L² ) on trouve :

 le coefficient de corrélation linéaire r = 0,983748 = 0,98 à 10^-2

 l’équation de la droite de régression y = 0,405714 x + 15,459048 soit y = 0,406 x + 15 avec les approximations demandées

2. Utilisons la droite de régression pour estimer le nombre de chaudière au rang 7 : y = 0,406 × 7 + 15 = 17,8

17,8 milliers de chaudières seront fabriquées l’année de rang 7 si la tendance se poursuit.

(14)

Probabilités conditionnelles (BTS 2006) :

(15)

Correction Révisions BTS Page 15

A 0,6

B 0,4

̅

̅ 0,01

0,99 0,05

0,95

Effectuons un arbre de probabilité. On reporte sur chaque branche les probabilités conditionnelles.

L’énoncé comporte une erreur. L’événement « la chaudière présente un défaut » doit être noté D pour être cohérent avec les questions

1. ( )

( )

Probabilité que la chaudière soit défectueuse sachant que la chaudière est à cheminée ( )

Probabilité que la chaudière soit défectueuse sachant que la chaudière est à ventouse ( )

2. La probabilité que la chaudière soit défectueuse et à cheminée s’écrit ( )

Or on sait que ( ) ( ) ( ) (sur l’arbre on traduit graphiquement cette relation : la probabilité d’une branche est égale au produit des probabilités rencontrées pour atteindre le bout de la branche)

( ) ( )

De même la probabilité que la chaudière soit défectueuse et à ventouse ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

3. On sait que (( ) ( )) (( )) (( )) (( ) ( ))

Comme et sont incompatibles leur intersection est nulle (( ) ( )) d’où (( ) ( )) (( )) (( ))

(( ) ( )) (( ) ( )) Conclusion ( )

Par définition ( ̅) ( )