Corrigé de l'examen de Mai 2011

Universit´e P. et M. Curie Master de Math´ematiques

MM003

Jeudi 12 Mai 2011

Analyse R´ eelle

Corrig´e de l’examen I

1) Par d´efinition de la d´erivation des distributions :

hT, Xji=hS^(k), Xji= ( 1)^khS, X_j^(k)i= 0 puisque, comme j < k, on a X_j^(k)= 0.

2) Puisque T 2 E⁰(R) et Y 2 D⁰(R), on peut d´efinir la convolution de T et Y, et on a supp(T⇤Y)⇢supp(T) + supp(Y)⇢[↵, ] + [0,+1[= [↵,+1[.

Et de mˆeme, puisqueYe = 1 Y est la fonction caract´eristique de ] 1,0[, la convolution de T et de Ye est bien d´efinie et son support est contenu dans supp(T) + supp(Ye) ⇢ [↵, ] + ] 1,0] =] 1, ].

Puisque la fonction constante 1l estC¹, on aT⇤1l(a) =hT, u_ai, o`uu_a(x) = 1l(a x) = 1.

DoncT⇤1l(a) =hT,1li= 0. Et puisqueT⇤Y+T⇤Ye =T⇤(Y +Ye) =T⇤1, on aT⇤Ye = T⇤Y. Donc

supp(T ⇤Ye) = supp( T ⇤Y) = supp(T ⇤Y)⇢[↵,+1[\] 1, ] = [↵, ] .

Si on pose S =T⇤Y, on a S⁰ = (T⇤Y)⇤ 0⁰ =T ⇤(T⇤ ⁰0) =T⇤Y⁰ =T⇤ 0 =T. Il en r´esulte que T est bien la d´eriv´ee de la distribution S `a support compact.

3) On suppose maintenant l’hypoth`ese de r´ecurrence vraie pour k et on consid`ere T 2 E⁰(R) telle quehT, Xji= 0 pour j 6k. On a alors en particulierhT, Xji= 0 pourj < k, ce qui entraˆıne par l’hypoth`ese de r´ecurrence que T est d´eriv´ee d’ordre k d’une distribution `a support compact S0. Et puisquehT, Xki= 0, on a aussi

hS₀,1li=hS₀, X₀i=hS₀, 1

k!X_k^(k)i= ( 1)^k

k! hS₀^(k), X_ki= ( 1)^k

k! hT, X_ki= 0

ce qui montre, d’apr`es la question pr´ec´edente, que S<sub>0</sub> est la d´eriv´ee d’une distribution S 2E<sup>0</sup>(R). Et T =S<sub>0</sub><sup>(k)</sup> = (S<sup>0</sup>)<sup>(k)</sup> =S<sup>(k+1)</sup>, ce qui ach`eve la r´ecurrence.

II

1) Soit K ⇢ J = ]↵, [ le support de T. Si on choisit 2 D(R), `a support contenu dans J et ´egale `a 1 sur un voisinage W de K, on a pour toute ' 2 C¹(R) : hT, 'i = hT, .'i. PuisqueT est une distribution, il existe M₀ et n>0 tels que, pour toute 2D(J), on ait

|hT, i|6M.sup_x2J,k¯ 6m (k)(x) . Par continuit´e de l’application '7! ='. de C¹(J) dansD(J), il existe une constanteCtelle que sup_x2J,k6m¯ (k)(x) 6Csup_x2J,k6n¯ '^(k)(x) (ceci r´esulte aussi des formules de Leibniz, et on y voit alors que m =n). Il en r´esulte que

|hT, 'i|=|hT, i|6C.M₀.sup_x2J,k6n¯ '^(k)(x) . On choisit alors M =C.M₀. En particulier, si on prend '="_z, on a '^(k)(x) = ( 1)^kz^ke ^zx.

Pour 0 6 k 6 n on a z^k = |z|^k 6 max(|z|⁰,|z|ⁿ) 6 1 +|z|ⁿ. Et pour ↵ 6 x 6 et z =u+iv, on a|e ^zx|= e ^ux; comme la fonctionx 7!e ^uxest monotone surR(croissante si u60, d´ecroissante siu>0), on a e ^ux6max(e ^u↵,e ^u )6e ^ua+e ^u =|e ^↵z|+ e ^z . On en d´eduit l’in´egalit´e :

LT(z) =|hT, "zi|6M(1 +|z|ⁿ)( e ^↵z + e ^z ) (⇤) Si, de plus, T est une fonction `a support compact f, donc int´egrable, on a

|hT, 'i|= Z

↵

f(x)'(x)dx 6kfk₁. sup

↵6x6 |'(x)| ce qui fournit l’´egalit´e pr´ec´edente avec n= 0.

Si T₁ =T⁰, on a LT1(z) =hT⁰, "_zi= hT, "⁰_zi=hT, z"_zi=zLT(z).

2) L’application est clairement lin´eaire de l’espace des polynˆomes de degr´e < q dans C^q. Ces deux espaces sont de mˆeme dimension finie q. Si P =P

16j6qajXj 1 2ker( ), on a h , X_{j 1}Pi= 0 pour 16j 6q, donc ¯P(x) =Pq

j=1¯a_jX_{j 1}(x), et Z

(x)|P(x)|² dx=X

j

¯ a_j

Z

(x)P(x)X_{j 1}j(x)dx=X

j

¯

a_jh , X_{j 1}Pi= 0,

ce qui montre que la fonction continue positive |P|² est partout nulle, donc que P est nul en tout point de l’ouvert non vide {x : (x) > 0}. On en conclut que P = 0, donc que est injective, et par cons´equent surjective. Il existe donc un polynˆome P de degr´e < q tel que (P) soit le vecteur deC^q de coordonn´eeshT, X_{j 1}i, c’est-`a-dire quehT P, X_ji= 0 pour 0 6 j < q. On d´eduit alors de I qu’il existe une distribution S 2 E⁰(R) telle que T .P =S^(q).

Si on choisit q=n+ 2, on en d´eduit que, pour tout z 2C, zⁿ⁺²LS(z) =|LS^(q)(z)|6|LT(z)|+|L P(z)|

6M(1 +|z|ⁿ)( e ^↵z + e ^z ) +M1( e ^↵z + e ^z ) 6(M +M₁)(1 +|z|ⁿ)( e ^↵z + e ^z )

donc la fonction r´eelle positive continue m sur C d´efinie par z 7! (1 +|z|²)

|e ^↵z|+|e ^z||LS(z)| v´erifie, pour|z|>1,

m(z)6(M +M₁)(1 +|z|²)(1 +|z|ⁿ)

|z|ⁿ⁺² = (M +M₁)(1 +|z| ²)(1 +|z| ⁿ)64(M +M₁) et puisque, par compacit´e, m est born´ee sur D(0,1), on voit que C = sup_z2Cm(z)< +1, d’o`u l’in´egalit´e (⇤⇤) cherch´ee.

3) PuisqueS est une distribution `a support compact, il en est de mˆeme de S_⇠. On a donc S_⇠2E⁰(R)⇢S⁰(R). On a alors :

Sb⇠(⌘) =hS⇠, "i⌘i=h"⇠S, "i⌘i=hS, "⇠"i⌘i=hS, "⇠+i⌘i=LS(⇠+i⌘) donc Sb_⇠(⌘) 6 C

1 +⇠²+⌘²(e ^↵⇠+e ^⇠)6 C

1 +⌘²(e ^↵⇠+e ^⇠). PuisqueS_⇠ est dansE⁰(R), Sb_⇠ est une fonction continue et un ´el´ement de S⁰(R).

2

Alors on a, dans S⁰(R), F(Sb_⇠) = 2⇡S_⇠ , et puisque Sb_⇠ est dans L¹ (pour ⇠ fix´e), on obtient queF(Sb_⇠) est une fonction continue et que, par la formule d’inversion de Fourier,

S_⇠(x) = 1 2⇡

Z Sb_⇠(⌘)e^ix⌘d⌘

Il r´esulte que S_⇠ co¨ıncide dans S⁰ avec la fonction continue 1

2⇡F(Sb_⇠) et que S = e^x⇠S_⇠ co¨ıncide avec la fonction continue g `a support compact x7! e^x⇠

2⇡F(Sb⇠). Donc e ^x⇠|g(x)|=|S_⇠(x)|6 C

2⇡(e ^↵⇠+ e ^⇠)Z d⌘

1 +⌘² = C

2(e ^↵⇠+ e ^⇠) et, pour tout x, la fonction continue `a support compact g v´erifie l’in´egalit´e

|g(x)|6 1

2(e^{(x ↵)⇠}+ e^{(x )⇠})

4) Si x < ↵ on a x ↵ < 0 et x < 0 ; il en r´esulte que si on fait tendre ⇠ vers +1, on obtient g(x) = 0. De mˆeme, si x > , on a x ↵ > 0 et x > 0 ; il en r´esulte, en faisant tendre ⇠ vers 1, que g(x) = 0. On obtient donc que supp(g) ⇢[↵, ], c’est-`a-dire supp(S)⇢[↵, ].

On a donc aussi supp(S⁽ⁿ⁺²⁾)⇢[↵, ]. Et puisque supp( .P)⇢[↵, ], on a enfin supp(T) = supp(S⁽ⁿ⁺²⁾+ .P)⇢[↵, ] .

III

1) Par d´efinition de la d´erivation des distributions, on a, puisque S 2 E⁰(R²) et que h est C¹, h@²S

@x², hi = hS,@²h

@x²i ainsi que h@²S

@y², hi = hS,@²h

@y²i. Donc h S, hi = hS, hi = 0 puisque h= 0.

2) PuisqueT 2E⁰(R²) et E 2 D⁰(R²), on peut e↵ectuer leur convolution S = E⇤T , et on a S = (E⇤T) = ( E)⇤T = 0⇤T =T.

3) Puisque ˜' appartient `a D(R<sup>2</sup>), on peut en faire la convolution avec la fonction harmonique h et on obtient une fonction de classe C<sup>1</sup> v´erifiant ( ˜'⇤h) = ˜'⇤ h = 0, puisque la fonction harmoniqueh a un Laplacien nul. Il en r´esulte que ˜'⇤hest une fonction harmonique sur R<sup>2</sup>, donc que hT,'˜⇤hi = 0. Puisque T et ' ont des supports compacts, leur convolution est une fonction C<sup>1</sup> `a support compact, et par d´efinition de T ⇤', on a h , hi = hT ⇤', hi = hT,'˜⇤hi. Et cette derni`ere quantit´e est nulle puisque ˜'⇤h est harmonique. On a donc, pour toute fonction harmoniqueh,

Z (x)h(x)dx=h , hi= 0 .

4) Puisque supp(T) est contenu dans le disque de centre 0 et de rayon R et que '"

a son support contenu dans le disque W_", le support de _" = T ⇤ '_" est contenu dans D(0, R) +D(0, ") =D(0, R+"). On a alors, puisque T et '_" sont `a support compact :

S⇤'_"= (E⇤T)⇤'_" =E⇤(T ⇤'_") =E⇤ "

3

La distribution S⇤'_" est donc une fonction C¹ sur R², qui vaut au point a : E⇤ "(a) =Z

E(x a) "(x)dx . 5) Si|z|=|u+iv|6R+" <kak=|↵+i |, on a

a(u, v) = 1

⇡ log|(↵+i ) z|= 1

⇡ log|↵+i |+ 1

⇡ log 1 z

↵+i Puisque w = z

↵+i v´erifie |w| < 1, la s´erie enti`ere P₁

p=1

1

pw^p converge vers une d´etermination du logarithme de 1 w: en particulier sa partie r´eelle converge vers log|1 w|, et la convergence est uniforme pour|w|6 R+"

kak . On a donc, uniform´ement pour|z|6R+",

a(u, v) = 1 2⇡

⇣logkak <e(X¹

p=1

1 p

⇣ z

↵+i

⌘p

)⌘ .

La fonction m_p est holomorphe, donc v´erifie @mp

@z¯ = 0. Et puisque 0 = @

@z( @

@z¯m_p) = 1 2( @

@x i @

@y)1 2( @

@x +i @

@y)m_p = 1 4( @²

@x² + @²

@y²)m_p = 1

4 m_p , on obtient mp = 0. On a alors (<e(mp)) = <e( mp) = 0, ce qui montre que <e(mp) est harmonique surR². Les (h_n) sont donc harmoniques surR² et convergent uniform´ement vers a sur le support compact M" de ". On a donc

Z

a(x) _"(x)dx= lim

n!1

Z

h_n(x) _"(x)dx= 0 puisqueR

h(x) _"(x)dx= 0 pour toute fonction harmoniqueh sur R². Et puisque S⇤'_"(a) =h a, _"i=R

a(x) _"(x)dx, on obtient la conclusion cherch´ee.

6) Il r´esulte de ce qui pr´ec`ede queS⇤'_", qui est une fonctionC¹ est nulle en tout pointa ext´erieur au disqueD(0, R+"). Pour toute fonction 2D(R²) dont le support est disjoint du disque compact D(0, R), il existe⌘ >0 tel que supp( )\D(0, R+⌘) =;, et on a donc

.S⇤'_" = 0 pour " < ⌘, donc hS⇤'_", i= 0.

Lorsque " tend vers 0, la distribution S⇤'" converge vers S dans D⁰(R²) ; on a donc hS, i= lim_"!0hS⇤'_", i= 0. Puisque S s’annule sur toute fonction 2D(R²) `a support disjoint du disque compact D(0, R), on conclut que supp(S) ⇢ D(0, R). En particulier S est `a support compact. Et ceci ach`eve de prouver l’existence d’une distribution `a support compactS telle que T = S.

4