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dossier de révision décembre vierge

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Academic year: 2022

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Texte intégral

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Page 1

dossier de révision

examen de décembre

Consignes pour l’examen

Matériel

- Calculatrice (non graphique)

- Stylo, équerre, compas, crayon, gomme, couleurs - Le prêt de matériel n’est pas autorisé.

Déroulement de l’examen Examen écrit de 4 heures Matière de l’examen Les suites

- Pouvoir représenter graphiquement une suite.

- Connaître la définition d’une suite arithmétique et géométrique.

- Pouvoir caractériser une suite (suite arithmétique, géométrique ou quelconque) et justifier.

- Pouvoir donner la forme explicite et la forme récurrente d’une SA ou SG.

- Pouvoir calculer la somme des 𝑛 premiers termes d’une SA ou d’une SG.

- Pouvoir calculer la limite d’une suite et pouvoir repérer une suite convergente ou divergente.

- Pouvoir faire tous les exercices liés à ces notions vus au cours

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Rappels : Fonctions et graphiques

- A partir du graphe d’une fonction, pouvoir déterminer o son domaine de définition

o son ensemble image o ses éventuelles racines o l’image de certains points

o si la fonction est paire, impaire ou quelconque o son signe

- Pouvoir tracer le graphe d’une fonction du premier degré et pouvoir trouver sa pente.

- Connaître le signe d’une fonction du premier et du second degré.

- A partir de l’expression analytique d’une fonction, pouvoir déterminer o son domaine de définition (C.E.)

o ses éventuelles racines

o si la fonction est paire, impaire ou quelconque o son signe

- Pouvoir tracer un graphe possible d’une fonction dont on donne certaines caractéristiques.

- Pouvoir donner l’expression analytique d’une fonction dont on donne certaines caractéristiques.

- Connaître les graphes des fonctions usuelles.

- Pouvoir faire tous les exercices liés à ces notions vus au cours Limites et asymptotes

- Pouvoir lire des limites sur un graphe (et préciser éventuellement lorsque la limite n’existe pas en un réel et les limites à droite et/ou à gauche en ce réel).

- Pouvoir repérer un cas d’indétermination lors du calcul d’une limite.

- Pouvoir calculer la limite d’une fonction en un réel et en l’infini (fonctions polynômes et fonctions rationnelles).

- Pouvoir déterminer les éventuelles asymptotes au graphe d’une fonction (AV, AH, AO) et tracer l’allure du graphe de celui-ci.

- Pouvoir faire tous les exercices liés à ces notions vus au cours Bien comprendre et revoir les corrections des interrogations.

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Les suites

Exercice 1 (P1 : Connaître) Donne un exemple de la forme explicite d’une suite : a. géométrique qui converge vers 0.

b. arithmétique qui diverge vers −∞.

c. quelconque qui converge vers 1.

d. géométrique qui diverge.

e. géométrique qui diverge vers +∞.

Exercice 2 (P1 : Connaître) Vrai ou faux ? Justifie !

a. Une suite dont les termes deviennent de plus en plus grands est une suite qui diverge vers +∞.

b. Une suite arithmétique dont la raison est positive est une suite divergente vers +∞.

c. Une suite géométrique dont la raison est positive est une suite divergente vers +∞.

Exercice 3 (P2 : Appliquer) Soit la suite arithmétique (𝑢𝑛, 𝑛 ∈ ℕ0) dont le 5ème terme vaut 17 et le 10ème vaut 12.

a. Donne les 6 premiers termes de cette suite.

b. Que vaut la somme des 15 premiers termes de la suite?

Exercice 4 (P2 : Appliquer) Soit la suite géométrique (𝑢𝑛, 𝑛 ∈ ℕ0) dont le 3ème terme vaut 18 et le 6ème vaut 486.

a. Donne les 5 premiers termes de cette suite.

b. Que vaut la somme des 15 premiers termes de la suite?

Exercice 5 (P2 : Appliquer) Pour chacune des suites suivantes : 𝑢𝑛=−𝑛

3 + 1 (𝑛 ∈ ℕ0) 𝑢𝑛= 1

4𝑛 (𝑛 ∈ ℕ0)

{𝑢1= 3 𝑢𝑛= 2𝑢𝑛−1− 1 𝑛 ∈ ℕ0\{1}

𝑢𝑛=(−1)𝑛

𝑛 (𝑛 ∈ ℕ0)

a. Calcule les 4 premiers termes de la suite.

b. Lesquelles sont des suites arithmétiques, géométriques, quelconques?

c. Ces suites convergent-elles?

Exercice 6 (P3 : Transférer) On donne les 3 termes suivants d’une suite : 𝑢2=7706

4 , 𝑢51=7853

4 et 𝑢100= 2000

Ces trois termes peuvent-ils appartenir à une suite arithmétique? Justifie et dans l’affirmative, précise la raison de la suite.

(4)

Exercice 7 (P3 : Transférer) On donne les 3 termes suivants d’une suite : 𝑢2 = 16, 𝑢6= 1 et 𝑢9=1

Ces trois termes peuvent-ils appartenir à une suite géométrique 8 ? Justifie et dans l’affirmative, précise la raison de la suite.

Exercice 8 (P3 : Transférer) Une entreprise veut distribuer 4600 euros de bonus à ses 10 meilleurs vendeurs. Le dixième meilleur vendeur recevra 100 euros et la différence de valeur entre les bonus successifs des vendeurs doit être constante. Calcule le bonus de chaque vendeur.

Exercice 9 (P3 : Transférer) On suppose que chaque année la production d’une usine subit une baisse de 4%. A cours de l’année 2001, la production a été de 25000 unités.

a. On note 𝑃1= 25000 et 𝑃𝑛 la production prévue au cours de l’année (2000 + 𝑛). Montrer que 𝑃𝑛 est une suite géométrique et donner la raison de cette suite.

b. Calculer la production de l’usine en 2020.

Fonctions et graphiques

Exercice 10 (P1 : Connaître) Donne l’expression analytique d’une fonction dont : a. le domaine est [0, →

b. le domaine est ℝ\{0,1,2} et qui n’a pas de racine.

c. le domaine est ℝ0+ et les racines sont 1 et 2.

Exercice 11 (P2 : Appliquer) On donne le graphe de deux fonctions 𝑓 et 𝑔 ci-dessous :

𝑓 𝑔

Pour chaque fonction :

a. Quel est le domaine de définition ? b. Quel est l’ensemble image ? c. Quelles sont les racines ?

d. Donne les valeurs de 𝑥 telles que 𝑓(𝑥) = 1et 𝑔(𝑥) = 1.

e. Quelle est l’image de 0?

f. Sur quel(s) intervalle(s) la fonction est-elle croissante? décroissante?

g. Dresse le tableau de signe de la fonction.

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Exercice 12 (P2 : Appliquer) Réduis si possible les quotients suivants (sans te soucier des conditions d’existence) :

a. 3𝑥2+2

𝑥2+1 b. 4𝑥2−6𝑥+4

2𝑥3−2𝑥 c. 3𝑥−2

𝑥2−6𝑥+5 d. 𝑥2+4𝑥+4

𝑥+2 e. 𝑥2−9

−𝑥2+3𝑥 f. 𝑥−5

𝑥2−4𝑥−5 g. 16−𝑥²

𝑥+4

Exercice 13 (P2 : Appliquer) Détermine le domaine de définition et les racines des fonctions suivantes :

a. 𝑓(𝑥) = 1

√2𝑥2−5𝑥−3 b. 𝑓(𝑥) = 2𝑥−4

(𝑥−1)(𝑥2+𝑥−2) c. 𝑓(𝑥) = √(𝑥 − 1)(3𝑥 + 6) d. 𝑓(𝑥) = √𝑥−2

√3𝑥+6 e. 𝑓(𝑥) = √𝑥2+1

3

√1−2𝑥

f. 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1)(3𝑥2+ 5𝑥 − 2)

Exercice 14 (P2 : Appliquer) Les fonctions suivantes sont-elles paires ou impaires ou quelconques?

a. 𝑓(𝑥) =𝑥5+3𝑥3

𝑥2+1 b. 𝑓(𝑥) = 6𝑥2+ 1 c. 𝑓(𝑥) = 3𝑥

5𝑥3+3𝑥5

Exercice 15 (P3 : Transférer) On donne la figure ci-dessous :

𝐴𝐵𝐶𝐷 est un carré et 𝐵𝐶𝐸 est un triangle rectangle. On a ∥ 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ∥= 𝑥 et ∥ 𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ ∥= 10cm.

Calcule 𝑥 pour que l’aire totale soit de 6cm².

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Exercice 16 (P3 : Transférer) On donne la fonction 𝑓, définie par son expression analytique : 𝑓(𝑥) = 𝑥2−𝑏

𝑥3−𝑎𝑥

Détermine les valeurs des réels 𝑎 et 𝑏 pour que 𝑓 soit telle que Dom𝑓 = ℝ\{−1,0,1} et pour que 𝑓 ne possède aucune racine.

Limites et asymptotes

Exercice 17 (P1 : Connaître) Trace un graphe possible pour une fonction 𝑓 dont on donne les caractéristiques suivantes :

a. lim𝑥→2𝑓(𝑥) = +∞

b. lim𝑥→2+𝑓(𝑥) = −∞

c. Dom 𝑓 = [−5, → \{0,2}

d. lim𝑥→0𝑓(𝑥) = 1 e. lim𝑥→+∞𝑓(𝑥) = −2

Exercice 18 (P1 : Connaître) Même question avec les caractéristiques suivantes : a. lim𝑥→−∞𝑓(𝑥) = −2

b. lim𝑥→+∞𝑓(𝑥)

𝑥 = −1 c. lim𝑥→+∞(𝑓(𝑥) + 𝑥) = 2 d. 𝑓(1) = 3

e. les racines de 𝑓 sont 0 et 3.

Exercice 19 (P1 : Connaître) Donne un exemple de l’expression analytique d’une fonction 𝑓 qui possède :

a. une AV≡ 𝑥 = 1 et une AO, b. une AV≡ 𝑥 = 0 et un AH≡ 𝑦 = 2,

c. une AV≡ 𝑥 = 5 et pas d’autre asymptote.

Exercice 20 (P2 : Appliquer) Soient les fonctions 𝑓 et 𝑔 suivantes, détermine les équations des éventuelles asymptotes au graphes de 𝑓 et de 𝑔.

a. 𝑓(𝑥) =𝑥2−3𝑥

2𝑥−𝑥2 b. 𝑔(𝑥) =𝑥2−4𝑥+4

𝑥2−2𝑥

Exercice 21 (P2 : Appliquer) On considère la fonction d’expression analytique 𝑓(𝑥) = 𝑥3−4𝑥

𝑥2−𝑥−2 , a. détermine le domaine de définition de 𝑓 ,

b. calcule les racines,

c. calcule si possible l’image de 0, d. étudie le signe de 𝑓 ,

e. détermine les équations des éventuelles asymptotes au graphe de 𝑓 ,

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Exercice 22 (P2 : Appliquer) Pour la fonction d’expression analytique 𝑓(𝑥) =𝑥2−3

𝑥−2, détermine a. le domaine de définition,

b. la parité de la fonction, c. l’intersection avec les axes, d. les éventuelles asymptotes, e. l’allure du graphe.

Exercice 23 (P2 : Appliquer) Calcule les limites suivantes et précise éventuellement les limites à droite et à gauche :

a. lim𝑥→1

2

(1 − 𝑥2) b. lim𝑥→01

𝑥 c. lim𝑥→+∞1

𝑥

d. lim𝑥→−∞(1 − 3𝑥2)(𝑥3+ 5𝑥 − 7) e. lim𝑥→410

Exercice 24 (P2 : Appliquer) Calcule les limites suivantes et interprète graphiquement le résultat (AV, AH, AO ou point vide)

a. lim𝑥→2(𝑥−2)2 2 b. lim𝑥→−∞3𝑥2+2𝑥−1

2𝑥2+3 c. lim𝑥→2

𝑥3−3𝑥2−2𝑥+6 (𝑥−2)(𝑥−1) d. lim𝑥→3 𝑥2−9

2𝑥2+4𝑥−6 e. lim𝑥→5 −2(𝑥−5)

𝑥2+25−10𝑥 f. lim𝑥→−∞1−2𝑥

3𝑥+1

Exercice 25 (P3 : Transférer) On donne la fonction d’expression analytique 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 2

𝑥−𝑏. Détermine les paramètres réels 𝑎 et 𝑏 tels que lim𝑥→3+𝑓(𝑥) = +∞ et lim𝑥→5𝑓(𝑥) = 11.

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