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dossier de révision
examen de juin
Les parties du document dans les cadres grisés constituent des rappels théoriques. La matière de l’examen ne se limite pas à ces extraits, mais est donnée dans un document séparé, distribué avec ce dossier.
Les exercices sont représentatifs du niveau de difficulté de l’examen. Ils couvrent les trois compétences évaluées (P1, P2 et P3).
Des corrigés seront disponibles sur le site : http://profdecamps.e-monsite.com/
1 Trigonométrie
1.1 Aires et longueurs d’arcs
𝑨𝜶 = 𝜽𝒓𝒂𝒅. 𝒓𝟐 𝟐 𝑷𝜶= 𝜽𝒓𝒂𝒅. 𝒓
𝜽𝒓𝒂𝒅= 𝜽𝒅𝒆𝒈. 𝝅 𝟏𝟖𝟎
𝑨𝜶= 𝜽𝒅𝒆𝒈. 𝝅. 𝒓𝟐 𝟑𝟔𝟎
𝑷𝜶= 𝜽𝒅𝒆𝒈. 𝝅. 𝒓 𝟏𝟖𝟎
I. (P1) Calcule la longueur de l’arc de cercle et l’aire du secteur de disque:
a. intercepté par un angle de 𝜋
6 𝑟𝑎𝑑 , dans un cercle de rayon 4,
b. intercepté par un angle de 135° , dans un cercle de diamètre 4,
c. intercepté par un angle de 11π
6 rad , dans un cercle de diamètre 8.
𝑷𝜶
= 𝑨𝜶
𝜽
=
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II. (P3) Détermine la surface de neige en cm² balayée par les jambes et les bras de Jean-Claude, qui s’amuse à faire le papillon sur le dos dans la neige, sachant que ses bras mesurent 53 cm et ses jambes 87 cm. Chaque bras balaie 80°
et chaque jambe 30°. Détermine la longueur parcourue par son poing, de la position basse à la position haute.
III. (P3) Monsieur Vador, qui est un père attentionné, décide de se déguiser pour l’anniversaire de sa fille. Il choisit de se déguiser en ourson, avec deux petites oreilles et un museau. Il choisit de faire l’intérieur des oreilles et le museau en rose, et les tours d’oreille en noir.
Il voudrait être sûr de ne pas
commander trop de carton car ça ne va pas fort au boulot pour l’instant, et il n’a plus beaucoup d’argent. Calcule la surface de carton nécessaire, pour chaque couleur, sachant que :
• le rayon extérieur des oreilles est de 10 cm,
• la largeur de la bande noire des oreilles est de 3 cm,
• le diamètre du museau est de 16 cm,
• l’angle d’ouverture des secteurs constituant les oreilles et le museau est de 240°.
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(P3) La petite Anna voudrait faire une surprise à sa sœur et peindre sur son château la figure ci-contre.
Calcule la surface à peindre sachant que :
• tous les polygones sont réguliers (triangle
équilatéral, carré, hexagone),
• le carré a 2m de côté.
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1.2 Le cercle trigonométrique
Tableau des valeurs particulières des nombres trigonométriques
IV. (P1) Représente sur le cercle trigonométrique le sinus, le cosinus et la tangente des angles suivants : 𝜋
3 rad, 5𝜋
6 rad, 3𝜋
2 rad, 11𝜋
6 rad.
𝒙 0 𝝅
𝟔
𝝅 𝟒
𝝅 𝟑
𝝅 𝟐
𝒔𝒊𝒏 𝒙 0 𝟏
𝟐
√𝟐 𝟐
√𝟑
𝟐 1
𝒄𝒐𝒔 𝒙 1 √𝟑
𝟐
√𝟐 𝟐
𝟏
𝟐 0
𝒕𝒂𝒏 𝒙 0 √𝟑
𝟑 1 √𝟑 ∄
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1.3 Les angles associés
angles égaux
avec 𝒌 ∈ ℤ: 𝜷 = 𝜶 + 𝒌. 𝟑𝟔𝟎°
ou encore: 𝜷 = 𝜶 + 𝒌. 𝟐𝝅 𝒔𝒊𝒏 𝜷 = 𝒔𝒊𝒏 𝜶
𝒄𝒐𝒔 𝜷 = 𝒄𝒐𝒔 𝜶 𝒕𝒂𝒏 𝜷 = 𝒕𝒂𝒏 𝜶
angles opposés
avec 𝒌 ∈ ℤ: 𝜷 = −𝜶 + 𝒌. 𝟑𝟔𝟎°
ou encore: 𝜷 = −𝜶 + 𝒌. 𝟐𝝅 𝒔𝒊𝒏 𝜷 = −𝒔𝒊𝒏 𝜶
𝒄𝒐𝒔 𝜷 = 𝒄𝒐𝒔 𝜶 𝒕𝒂𝒏 𝜷 = −𝒕𝒂𝒏 𝜶
angles supplémentaires
avec ∈ ℤ: 𝜷 = (𝟏𝟖𝟎 − 𝜶) + 𝒌. 𝟑𝟔𝟎°
c’est-à-dire: 𝜷 = (𝝅 − 𝜶) + 𝒌. 𝟐𝝅 𝒔𝒊𝒏 𝜷 = 𝒔𝒊𝒏 𝜶
𝒄𝒐𝒔 𝜷 = −𝒄𝒐𝒔 𝜶 𝒕𝒂𝒏 𝜷 = −𝒕𝒂𝒏 𝜶
angles antisupplémentaires avec 𝒌 ∈ ℤ: 𝜷 = (𝟏𝟖𝟎 + 𝜶) + 𝒌. 𝟑𝟔𝟎°
c’est-à-dire: 𝜷 = (𝝅 + 𝜶) + 𝒌. 𝟐𝝅 𝒔𝒊𝒏 𝜷 = −𝒔𝒊𝒏 𝜶
𝒄𝒐𝒔 𝜷 = −𝒄𝒐𝒔 𝜶 𝒕𝒂𝒏 𝜷 = 𝒕𝒂𝒏 𝜶 angles complémentaires avec 𝒌 ∈ ℤ: 𝜷 = (𝟗𝟎 − 𝜶) + 𝒌. 𝟑𝟔𝟎°
c’est-à-dire: 𝜷 = (𝝅
𝟐− 𝜶) + 𝒌. 𝟐𝝅 𝒔𝒊𝒏 𝜷 = 𝒄𝒐𝒔 𝜶
𝒄𝒐𝒔 𝜷 = 𝒔𝒊𝒏 𝜶 𝒕𝒂𝒏 𝜷 = 𝟏
𝒕𝒂𝒏 𝜶
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V. (P1) Pour chacun des angles suivants:
a. place l’angle sur le cercle trigonométrique,
b. place l’angle particulier associé (angle listé dans le tableau de la page 4) sur le cercle trigonométrique,
c. déduis-en la valeur des nombres trigonométriques demandés Angle : 7𝜋
6
sin7𝜋 6
tan7𝜋 6
Angle : 3𝜋
4
sin3𝜋 4
cos3𝜋 4
Angle : 5𝜋
3
cos5𝜋 3
tan5𝜋 3
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VI. (P2) Résous les équations suivantes : a. sin 𝑥 = −√2
2
b. 1 − tan 𝑥 = 2
c. cos 3𝑥 +1
2= 0
d. 1 − cos 2𝑥 = 0
e. 2 cos 2𝑥 − 1 = 0
f. 3 tan 2𝑥 = −√3
g. √3 tan 𝑥 + 1 = 0
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1.4 Les fonctions trigonométriques
1.4.1 Définitions et propriétés
VII. (P1) Relie l’expression de la fonction trigonométrique à son graphe et remplis les propriétés demandées :
cos 𝑥
domaine
ensemble image
racines
période
parité
sin 𝑥
domaine
ensemble image
racines
période
parité
tan 𝑥
domaine
ensemble image
racines
période
parité
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1.4.2 Manipulation du graphe de 𝐬𝐢𝐧 𝒙
Pour obtenir le graphe de nos fonctions harmoniques à partir du graphe de sin 𝑥, il convient d’être attentif à la forme de la fonction et à la priorité des opérations (PEMDAS) :
forme de la fonction : pour f(x) = a sin(bx + c) + d, on transforme en f(x) = a sin (b (x +c
b)) + d
priorité des opérations : on fait d’abord les manipulations associées à la parenthèse : celle liée à b (multiplication) et à bc (addition) ; et ensuite la multiplication par a puis l’addition de d.
𝒇(𝒙) = 𝒂 𝐬𝐢𝐧 𝒙
𝑦 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖é 𝑝𝑎𝑟 𝑎 Étirement (|𝑎| > 1) ou compression (|𝑎| < 1) selon y
𝒇(𝒙) = 𝐬𝐢𝐧 𝒃𝒙
𝑥 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖é 𝑝𝑎𝑟 𝑏 Compression (|𝑏| > 1) ou étirement (|𝑏| < 1) selon x
𝒇(𝒙) = 𝐬𝐢𝐧(𝒙 +𝒄 𝒃) 𝑐 𝑎𝑑𝑑𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑛é à 𝑥 Translation vers la gauche (𝑐
𝑏> 0) ou vers la droite (𝑐
𝑏< 0) selon x
𝒇(𝒙) = 𝐬𝐢𝐧 𝒙 + 𝒅
𝑑 𝑎𝑑𝑑𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑛é à 𝑦 Translation vers le haut (𝑑 > 0) ou vers le bas (𝑑 < 0) selon y
sin 𝑥
2 sin 𝑥
sin 𝑥 sin 2𝑥
sin 𝑥 sin(𝑥 + 2)
sin 𝑥
sin 𝑥 + 1
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IX. (P2) Dessine par manipulations de la fonction sin 𝑥 les fonctions suivantes.
𝑓(𝑥) = 2 sin (𝑥 +𝜋 3) − 1
𝑓(𝑥) =3
2sin(3𝑥 + 2)
𝑓(𝑥) =1
2sin(2𝑥 +𝜋 6) − 1
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𝑓(𝑥) = 2sin (1 2𝑥 +𝜋
4) + 2
𝑓(𝑥) = 3sin (𝑥 −𝜋 2) + 2
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X. (P1) Associe chaque graphe à son expression analytique : 𝑦 = 2 sin (3𝑥 + 𝜋
2) + 2 𝑦 =3
2sin (2𝑥 + 𝜋 4) + 3
𝑦 = 3 sin(2𝑥) − 1 𝑦 =5
2sin(3𝑥) − 1 𝑦 = 4 sin (2𝑥 +𝜋
3) + 1 𝑦 =3
2 sin(2𝑥) + 3
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1.4.3 Mouvement harmonique
La fonction du temps suivante décrit un mouvement dit harmonique.
𝒇(𝒕) = 𝑨 𝒔𝒊𝒏(𝝎𝒕 + 𝝋) + 𝒅
Relation entre la vitesse angulaire 𝝎 et la période 𝑻:
𝝎 =𝟐𝝅
𝑻 ⇔ 𝑻 =𝟐𝝅 𝝎 Relation entre la fréquence 𝒇 et la période 𝑻:
𝒇 =𝟏
𝑻 ⇔ 𝑻 =𝟏 𝒇
Le déphasage 𝝉 correspond durée du décalage entre 𝒇(𝒕) et un mouvement harmonique pour lequel la phase à l’origine 𝝋 = 𝟎. On le calcule comme suit :
𝝉 =−𝝋 𝝎
XI. (P1) Donne les propriétés des mouvements harmoniques suivants :
fonction 𝐴 𝜔 𝜑 𝑑 𝑇 𝑓 𝜏
sin (2𝜋 5 𝑡) 3
2sin (𝑡 2− 𝜋) 2
3sin (𝜋
6(𝑡 − 2)) + 1
−√3 sin (𝜋𝑡 5 −𝜋
5) 5
2sin 2𝑡 + 3 3 sin (4𝑡 +𝜋
4) 3.1 sin(0.2(𝑡 − 0.1)) + 1.2
avec : 𝑨: amplitude
𝝎: vitesse angulaire ou pulsation, exprimée en 𝒓𝒂𝒅/𝒔 𝝋 : phase à l’origine, exprimée en 𝒓𝒂𝒅
𝒅 : décalage vertical
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XII. (P1) Donne l’expression analytique des fonctions dont on donne le graphe et donne l’amplitude, la phase à l’origine, la période, la fréquence, le décalage vertical, et le déphasage.
Indique l’amplitude, la période, et le décalage vertical sur chaque graphe.
𝐴 =
𝜑 =
𝑇 =
𝑓 =
𝑑 =
𝜏 =
𝐴 =
𝜑 =
𝑇 =
𝑓 =
𝑑 =
𝜏 =
𝐴 =
𝜑 =
𝑇 =
𝑓 =
𝑑 =
𝜏 = 𝑓(𝑥) =
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥) =
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𝐴 =
𝜑 =
𝑇 =
𝑓 =
𝑑 =
𝜏 =
𝐴 =
𝜑 =
𝑇 =
𝑓 =
𝑑 =
𝜏 =
𝐴 =
𝜑 =
𝑇 =
𝑓 =
𝑑 =
𝜏 = 𝑓(𝑥) =
𝑓(𝑥) =
𝑓(𝑥) =
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1.4.4 Applications (P3)
XIII. Un marteau-piqueur est une machine-outil possédant une pointe effectuant un mouvement de va-et- vient. La distance 𝑑 de la pointe par rapport à la partie fixe de la machine est donnée en centimètres par l’équation suivante :
𝑑(𝑡) = 8 sin (48𝜋𝑡 +π 2) + 11 Le temps est calculé en secondes.
a. Quelle est la position de la pointe au démarrage de la machine ?
b. Après combien de temps la pointe est-elle en position rentrée ?
c. Quelle est la période de la machine ? Que signifie ce nombre physiquement ?
d. Combien la machine donne-t-elle de coups par seconde ?
e. Quelle est la différence de longueur de pointe entre la position rentrée et sortie ? 𝒅(𝒕)
position rentrée
position sortie
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XIV. Lorsqu’un fleuve se jette dans l’océan, la profondeur de ce fleuve varie en fonction des marées. C’est le cas de la Tamise, dont la profondeur en mètres à Londres est donnée sur une durée de 24h par la fonction suivante:
𝑃(𝑡) = 2.45 sin (𝜋
6𝑡 + 0.8) + 6.3 Où 𝑡 est le temps en heures et 𝑡 = 0 à 0ℎ.
a. Un bateau a besoin d’au moins 7 mètres d’eau pour naviguer en toute sécurité sur la Tamise. Peut-il naviguer à midi ?
b. Quelle est la différence entre les profondeurs maximale et minimale ?
c. Combien de fois par jour le fleuve atteint-il son niveau le plus haut ? A quelle heure cela se produit-il ?
d. Quelle est la profondeur minimale ?
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2 Analyse
2.1 Limites et asymptotes
2.1.1 Limites de fonctions polynômes (𝒇(𝒙) = 𝒂𝟎+ 𝒂𝟏𝒙 + 𝒂𝟐𝒙𝟐+ ⋯ + 𝒂𝒏𝒙𝒏)
Limite en un réel
𝒍𝒊𝒎𝒙→𝒂𝒇(𝒙) = 𝒂𝟎+ 𝒂𝟏. 𝒂 + 𝒂𝟐. 𝒂𝟐+ ⋯ + 𝒂𝒏. 𝒂𝒏= 𝒇(𝒂)
Exemple :
𝒍𝒊𝒎𝒙→𝟐−𝟐𝒙𝟑+ 𝟐𝒙𝟐+ 𝟑𝒙 + 𝟒 = −𝟐. 𝟐𝟑+ 𝟐. 𝟐𝟐+ 𝟑. 𝟐 + 𝟒 = 𝟐 Limite en l’infini
La limite en l’infini d’une fonction polynôme est égale à la limite en l’infini du terme de plus haut degré, c’est-à-dire :
𝒙→±∞𝒍𝒊𝒎 𝒂𝟎+ 𝒂𝟏𝒙 + 𝒂𝟐𝒙𝟐+ ⋯ + 𝒂𝒏𝒙𝒏= 𝒍𝒊𝒎
𝒙→±∞𝒂𝒏𝒙𝒏 Exemple :
𝒙→+∞𝒍𝒊𝒎 −𝟐𝒙𝟑+ 𝟐𝒙𝟐+ 𝟑𝒙 + 𝟒 = 𝒍𝒊𝒎
𝒙→+∞−𝟐𝒙𝟑(𝟏 −𝟏 𝒙− 𝟑
𝟐𝒙𝟐− 𝟒 𝟐𝒙𝟑)
= 𝒍𝒊𝒎
𝒙→+∞−𝟐𝒙𝟑(𝟏 − 𝟎 − 𝟎 − 𝟎) = 𝒍𝒊𝒎
𝒙→+∞−𝟐𝒙𝟑= −∞
XV. (P2) Calcule les limites suivantes :
a. lim
𝑥→3𝑥3+ 3𝑥 − 5 =
b. lim
𝑥→+∞𝑥5− 3𝑥2+ 2 =
c. lim
𝑥→−∞𝑥(1 − 𝑥) =
d. lim
𝑥→2(1 − 𝑥2)(3𝑥 + 2) =
e. lim
𝑥→−∞𝑥3− 𝑥 + 1 =
f. lim
𝑥→+∞−5𝑥2− 6𝑥 + 2 =
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2.1.2 Limites de fonctions rationnelles (𝒇(𝒙) =𝑵(𝒙)
𝑫(𝒙)) Une fonction rationnelle est un quotient 𝒇(𝒙) =𝑵(𝒙)
𝑫(𝒙) où 𝑵(𝒙)et 𝑫(𝒙) sont des polynômes. 2.1.2.1 Limite en un réel : 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝒂 𝑵(𝒙) 𝑫(𝒙)
Le calcul de la limite nous amène à trois possibilités suivant les valeurs du numérateur et du dénominateur en 𝒂.
𝑫(𝒂) ≠ 𝟎 𝑫(𝒂) = 𝟎 et 𝑵(𝒂) ≠ 𝟎 𝑫(𝒂) = 𝟎 et 𝑵(𝒂) = 𝟎
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂
𝑵(𝒙) 𝑫(𝒙)
= 𝑵(𝒂) 𝑫 (𝒂)
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂
𝑵(𝒙)
𝑫(𝒙)≈𝑵(𝒂)
𝟎 = ±∞
On fait un tableau de signe pour déterminer le signe de
l’infini
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂
𝑵(𝒙) 𝑫(𝒙)≈𝟎 Or, 𝟎
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂
𝑵(𝒙)
𝑫(𝒙)=(𝒙 − 𝒂)𝑵𝟐(𝒙) (𝒙 − 𝒂)𝑫𝟐(𝒙)= 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂
𝑵𝟐(𝒙) 𝑫𝟐(𝒙)
XVI. (P2) Calcule les limites suivantes :
a. lim
𝑥→1 2𝑥2+3 2𝑥3+1=
b. lim
𝑥→2
𝑥2−4𝑥+4 𝑥−2 =
c. lim
𝑥→2 3𝑥2+1
𝑥2+4 =
d. lim
𝑥→1 2𝑥2−2 2𝑥2+2=
e. lim
𝑥→0 𝑥 𝑥2+1=
f. lim
𝑥→2 𝑥2−9
𝑥+3 =
g. lim
𝑥→2
𝑥2−3𝑥+2 𝑥−2 =
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2.1.2.2 Limite en l’infini :𝒍𝒊𝒎
𝒙→±∞
𝑵(𝒙) 𝑫(𝒙)
Pour rappel, la limite en l’infini d’une fonction polynôme est égale à la limite en l’infini du terme de plus haut degré. Or on sait que 𝑵(𝒙) et 𝑫(𝒙) sont des polynômes, d’où :
𝒙→±∞𝐥𝐢𝐦 𝑵(𝒙)
𝑫(𝒙)= 𝐥𝐢𝐦
𝒙→±∞
𝒕𝒆𝒓𝒎𝒆 𝒅𝒆 𝒑𝒍𝒖𝒔 𝒉𝒂𝒖𝒕 𝒅𝒆𝒈𝒓é 𝒅𝒆 𝑵(𝒙) 𝒕𝒆𝒓𝒎𝒆 𝒅𝒆 𝒑𝒍𝒖𝒔 𝒉𝒂𝒖𝒕 𝒅𝒆𝒈𝒓é 𝒅𝒆 𝑫(𝒙)
Cela nous amène à trois possibilités suivant les degrés du numérateur et du dénominateur 𝒅𝒆𝒈𝒓é 𝑵(𝒙) > 𝒅𝒆𝒈𝒓é 𝑫(𝒙) 𝒅𝒆𝒈𝒓é 𝑵(𝒙) = 𝒅𝒆𝒈𝒓é 𝑫(𝒙) 𝒅𝒆𝒈𝒓é 𝑵(𝒙) < 𝒅𝒆𝒈𝒓é 𝑫(𝒙)
𝒙→±∞𝐥𝐢𝐦 𝑵(𝒙)
𝑫(𝒙)= ±∞ 𝐥𝐢𝐦
𝒙→±∞
𝑵(𝒙)
𝑫(𝒙)= 𝒏𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆 𝒓é𝒆𝒍 𝐥𝐢𝐦
𝒙→±∞
𝑵(𝒙) 𝑫(𝒙)= 𝟎
XVII. (P2) Calcule les limites suivantes :
a. lim
𝑥→−∞
2𝑥2+3 2𝑥3+1=
b. lim
𝑥→+∞
𝑥2−4𝑥+4 𝑥−2 =
c. lim
𝑥→−∞
3𝑥2+1 𝑥2+4 =
d. lim
𝑥→−∞
2𝑥2−2 2𝑥3−2=
e. lim
𝑥→−∞
𝑥 𝑥2+1=
f. lim
𝑥→−∞
𝑥3.( 𝑥2−9) 𝑥²+3 =
g. lim
𝑥→−∞
−5𝑥3+ 𝑥2−3𝑥+2
𝑥−2 =
h. lim
𝑥→+∞
−2𝑥3.( 𝑥2−9) 𝑥²+3 =
i. lim
𝑥→−∞
−5𝑥7+ 2𝑥2 4𝑥5+2 =
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2.1.3 Asymptotes de fonctions rationnelles (𝒇(𝒙) =𝑵(𝒙)
𝑫(𝒙)) S𝒊 𝒇(𝒙) =𝑵(𝒙)
𝑫(𝒙) admet une AV en 𝒙 = 𝒂, alors 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝒂𝒇(𝒙)= ±∞
S𝒊 𝒇(𝒙) =𝑵(𝒙)
𝑫(𝒙) admet une AH à droite, càd en +∞ , alors 𝒍𝒊𝒎
𝒙→+∞ 𝒇(𝒙) = à un réel S𝒊 𝒇(𝒙) =𝑵(𝒙)
𝑫(𝒙) admet une AH à gauche, càd en −∞, alors 𝒍𝒊𝒎
𝒙→−∞ 𝒇(𝒙) = à un réel 2.1.3.1 Asymptote verticale
Une fonction 𝒇(𝒙) =𝑵(𝒙)
𝑫(𝒙) admet une AV en
𝒙 = 𝒂 si 𝑫(𝒂) = 𝟎 𝒆𝒕 𝑵(𝒂) ≠ 𝟎
Ex: 𝑓(𝑥) = 5𝑥2
(𝑥−4) ,
on a 𝑁(𝑥) = 5𝑥2 et 𝐷(𝑥) = (𝑥 − 4), On a une AV en 𝑥 = 4
Car 𝐷(4) = (4 − 4) = 0 et 𝑁(4) = 5. 42=80 ≠ 0
Ex: 𝑓(𝑥) = 5𝑥2
2𝑥2−2 ,
on a 𝑁(𝑥) = 5𝑥2 et 𝐷(𝑥) = 2𝑥2− 2, On a deux AV :
en 𝑥 = 1 car
𝐷(1) = (2.12− 2) = 0 et 𝑁(1) = 5. 12=5 ≠ 0 en 𝑥 = −1 car
𝐷(−1) = (2. (−1)2− 2) = 0 et 𝑁(−1) = 5. (−1)2=5 ≠ 0
2.1.3.2 Asymptote horizontale Une fonction 𝒇(𝒙) =𝑵(𝒙)
𝑫(𝒙) admet une AH si degré 𝑫(𝒙) ≥degré 𝑵(𝒙)
Ex: 𝒇(𝒙) = 𝟓𝒙𝟐
(𝒙−𝟒) , on a degré 𝑁(𝑥) =degre (5𝑥2) = 2 et degré 𝐷(𝑥) =degre (𝑥 − 4) = 1 Il n’y a pas d’AH
On remarque que lim
𝑥→+−∞𝑓(𝑥) = ±∞
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Ex: 𝒇(𝒙) = 𝟓𝒙𝟐
𝟐𝒙𝟐−𝟐 , on a :
degré 𝑁(𝑥) =degre (5𝑥2) = 2 et degré 𝐷(𝑥) =degre (2𝑥2− 2)=2, On a une AH car degré D(x)=degré N(x) On a lim
𝑥→±∞𝑓(𝑥) = lim
𝑥→±∞
5𝑥2 2𝑥2−2=
𝑥→±∞lim
5𝑥2 2𝑥2= 5
2 est un réel
Ex: 𝒇(𝒙) = 𝟓𝒙𝟐
𝟒𝒙𝟑+𝟏 , on a :
degré 𝑁(𝑥) =degre (5𝑥2) = 2 et degré 𝐷(𝑥) =degre (4𝑥3+ 1)=3
On a une AH car degré D(x)>degré N(x) On a lim
𝑥→±∞𝑓(𝑥) =
𝑥→±∞lim
5𝑥2
4𝑥3+1= lim
𝑥→±∞
5𝑥2
4𝑥3= lim
𝑥→±∞
5𝑥2 4𝑥3=
𝑥→±∞lim
5
4𝑥= 0 est un réel
2.1.3.3 Asymptote oblique Une fonction 𝒇(𝒙) =𝑵(𝒙)
𝑫(𝒙) admet une AO si degré 𝑫(𝒙) =degré 𝑵(𝒙) − 𝟏
Ex: 𝒇(𝒙) = 𝟓𝒙𝟐
(𝒙−𝟒) , on a :
degré 𝑁(𝑥) =degre (5𝑥2) = 2 et degré 𝐷(𝑥) =degre (𝑥 − 4) = 1, il y a une AO Ex: 𝒇(𝒙) = 𝟓𝒙𝟐
𝟐𝒙𝟐−𝟐 , on a :
degré 𝑁(𝑥) =degre (5𝑥2) = 2 et degré 𝐷(𝑥) =degre (2𝑥2− 2)=2, on n’a pas d’AO car degré 𝐷(𝑥)=degré 𝑁(𝑥) Ex: 𝒇(𝒙) = 𝟓𝒙𝟐
𝟒𝒙𝟑+𝟏 , on a :
degré 𝑁(𝑥) =degre (5𝑥2) = 2 et degré 𝐷(𝑥) =degre (4𝑥3+ 1)=3, on n’a pas d’AO car degré 𝐷(𝑥)>degré 𝑁(𝑥)
L’équation de l’asymptote oblique peut s’obtenir par division euclidienne, ou en utilisant les formules de Cauchy, nous ne détaillerons pas la recherche de l’équation dans ces notes.
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XVIII. (P2) Pour chaque fonction, détermine les éventuelles asymptotes verticales ou horizontales et déduis-en quel est le graphe associé, trace les asymptotes sur chaque graphe.
𝑥2+ 4 𝑥4+ 1 AV :
AH :
Graphe :
𝑥4+ 1 𝑥2 AV :
AH :
Graphe :
𝑥2− 4 𝑥4+ 1 AV :
AH :
Graphe : 𝑥4+ 1
𝑥2+ 4 AV :
AH :
Graphe :
𝑥2 𝑥2+ 1 AV :
AH :
Graphe :
𝑥4+ 1 𝑥2− 1 AV :
AH :
Graphe :
Page 24
XIX. (P2) Calcule les limites suivantes et interprète graphiquement (AV, AH), calcule si nécessaire les limites à gauche et à droite.
a. lim
𝑥→+∞
−𝑥3 𝑥4+2𝑥+2=
b. lim
𝑥→2
−𝑥2+2𝑥−6 𝑥−2 =
c. lim
𝑥→2
𝑥2−4𝑥+4 2𝑥2−8 =
d. lim
𝑥→−∞
5𝑥3+2𝑥−9 2𝑥2.(𝑥+7)=
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2.2 Dérivées
2.2.1 Nombre dérivé et tangente
Le nombre dérivé 𝒇′(𝒂) se calcule comme suit : 𝒇′(𝒂) = 𝒍𝒊𝒎
𝒃→𝒂
𝒇(𝒃) − 𝒇(𝒂) 𝒃 − 𝒂
L’équation de la tangente au graphe de 𝒇(𝒙) au point d’abscisse 𝒙 = 𝒂 est : 𝒚 = 𝒇′(𝒂). (𝒙 − 𝒂) + 𝒇(𝒂)
XX. (P1) Pour la fonction représentée ci-contre, d’équation 𝑦 = 𝑥2− 2𝑥 + 1 :
a. Détermine graphiquement les nombres dérivés suivants :
1. 𝑓′(−1) =
2. 𝑓′(2) =
b. En utilisant la définition en termes de limite : 𝑓′(𝑎) = lim
𝑏→𝑎
𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)
𝑏−𝑎 , calcule : 1. 𝑓′(0) =
2. 𝑓′(1) =
c. Détermine en utilisant les résultats du point a, les équations des tangentes 𝑖 et 𝑗 représentées sur le graphe ci-dessus
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2.2.2 Fonction dérivée 2.2.2.1 Définition
La fonction dérivée 𝒇′ attribue à chaque abscisse le nombre dérivé de la fonction à cette abscisse :
𝒇′: ℝ → ℝ ∶ 𝒙 → 𝒚 = 𝒇′(𝒙) Ou encore, avec la définition de 2.2.1 :
𝒇′(𝒙) = 𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎
𝒇(𝒙 + 𝒉) − 𝒇(𝒙) 𝒉
2.2.2.2 Tableau de dérivées
L’application de la définition précédente nous amène au tableau suivant :
Fonction de départ 𝒇(𝒙) Fonction dérivée 𝒇′(𝒙)
𝒌 𝟎
𝒙 𝟏
𝒙𝟐 𝟐𝒙
𝒙𝟑 𝟑𝒙𝟐
√𝒙 𝟏
𝟐√𝒙
𝒙𝒏 ; 𝒏 ∈ ℚ 𝒏𝒙𝒏−𝟏
𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙
𝐜𝐨𝐬 𝒙 − 𝐬𝐢𝐧 𝒙
𝐭𝐚𝐧 𝒙 𝟏
𝐜𝐨𝐬𝟐𝒙
2.2.2.3 Opérations sur les dérivées Multiplication par une constante
(𝒌. 𝒇)′ = 𝒌. 𝒇′
Somme et différence de fonctions
(𝒇 + 𝒈)′ = 𝒇′+ 𝒈′
(𝒇 − 𝒈)′ = 𝒇′− 𝒈′
Produit de fonctions
(𝒇. 𝒈)′ = 𝒇′. 𝒈 + 𝒇. 𝒈′
Quotient de fonctions
(𝒇 𝒈)
′
=𝒇′. 𝒈 − 𝒇. 𝒈′ 𝒈𝟐 Composée de fonctions
(𝒈 (𝒇))′= 𝒈′(𝒇). 𝒇′
Ou encore, avec la notation « ∘ » : 𝒈 ∘ 𝒇 = 𝒈(𝒇) : (𝒈 ∘ 𝒇)′ = (𝒈′∘ 𝒇). 𝒇′
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XXI. (P2) Dérive les fonctions suivantes : a. 𝑥8− √𝑥
b. 3𝑥7+ 4𝑥4+ 3𝑥3+ 2
c. 3𝑥 cos 𝑥
d. √3 − 2𝑥
e. 𝑥−2
2𝑥+1
f. √4𝑥2− 1
g. 1
(5𝑥+2)2
h. (2𝑥 − 3)2
i. sin 𝑥 cos 𝑥
j. tan ³𝑥
k. 5𝑥
2𝑥+1
l. 𝑥2−9
3𝑥+1
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2.2.2.4 Dérivée seconde
La dérivée de la dérivée première est appelée dérivée seconde et se note 𝒇′′(𝒙).
XXII. (P2) Donne la dérivée première et la dérivée seconde des fonctions suivantes :
𝑓(𝑥) 𝑓′(𝑥) 𝑓′′(𝑥)
𝑥5+ 2𝑥3+ 2𝑥
√5𝑥 + 2
4𝑥 − 2 𝑥 − 5
√2𝑥3+ 𝑥 − 2
5𝑥 − 1 4 − 3𝑥³
3𝑥2+ 𝑥 − 1 7 − 2𝑥
tan 𝑥
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2.2.3 Interprétation graphique 2.2.3.1 Extrema
XXIII. (P2) Pour quelles valeurs de 𝑥 les fonctions suivantes admettent-elle un extremum ? Précise si elles possèdent des asymptotes verticales ou horizontales (voir point 2.1.3)
a. 𝑓(𝑥) = 𝑥3− 𝑥
b. 𝑓(𝑥) = 2𝑥4− 4𝑥2
c. 𝑓(𝑥) = 4𝑥
2𝑥2+3
d. 𝑓(𝑥) = √1 − 𝑥2
e. 𝑓(𝑥) = 𝑥2−9
2𝑥+1
f. 𝑓(𝑥) = (𝑥2− 4). (𝑥 + 3)
g. 𝑓(𝑥) =𝑥−3
𝑥+1
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2.2.3.2 Tableau de variation
XXIV. (P2) On donne les tableaux de variations et les graphes 𝐺𝑓 de fonctions suivants :
a. Complète les tableaux en notant les flèches de variation de 𝑓, les symboles de concavité et les éventuels extréma (max, min) et points d’inflexion (PI).
b. Associe chaque tableau à son graphe 𝐺𝑓.
+ + +
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XXV. (P2) Pour chaque tableau de variation :
a. Complète le tableau en notant les flèches de variation de 𝑓, les symboles de concavité et les éventuels extréma (max, min) et points d’inflexion (PI).
b. Trace l’allure d’un graphe 𝐺𝑓 respectant les caractéristiques identifiées dans le tableau.
−𝟏 𝟐
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XXVI. (P2) Pour les fonctions suivantes :
a. vérifie la présence d’asymptote horizontale ou verticale (voir 2.1.3), b. calcule les dérivées premières et seconde,
c. calcule les racines de 𝑓, 𝑓′ et 𝑓, d. remplis le tableau de variation, e. esquisse le graphe.
𝑓(𝑥) = (𝑥 − 2)(𝑥 + 1)
AV : AH :
𝑓′ : 𝑓′′ :
Racines 𝑓′ : Racines 𝑓′′ :
Racines 𝑓 :
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𝑓(𝑥) =𝑥 + 3 𝑥 + 2
AV : AH :
𝑓′ : 𝑓′′ :
Racines 𝑓′ : Racines 𝑓′′ :
Racines 𝑓 :
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𝑓(𝑥) =𝑥2+ 4 2𝑥
AV : AH :
𝑓′ : 𝑓′′ :
Racines 𝑓′ : Racines 𝑓′′ :
Racines 𝑓 :
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2.2.4 Applications (P3)
XXVII. Deux cyclistes roulent le long d’un canal pendant 40 km, ils partent au même moment mais ne roulent pas à la même vitesse. Les distances parcourues par chaque cycliste sont données en km en fonction du temps en heures par les fonctions suivantes :
𝑑1(𝑡) = 𝑡3 12+𝑡2
8 + 20𝑡 𝑑2(𝑡) = −𝑡3
3 +𝑡2 4 + 25𝑡 a. A quelle vitesse roule chaque cycliste après 1 km ?
b. A quels moments ils roulent à la même vitesse ? Quelles sont les vitesses à ces moments ?
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XXVIII. Deux feux d’artifices sont tirés vers le haut. Les altitudes de chaque fusée sont données en m en fonction du temps en secondes par les fonctions suivantes :
ℎ1(𝑡) = −𝑡3 3 + 6𝑡² ℎ2(𝑡) = −𝑡3
4 + 5𝑡²
a. Quel est la fusée la plus rapide après 10 secondes ?
b. Après combien de temps chacune des fusées se met à redescendre ?
c. Quelle fusée atteint la vitesse la plus élevée, et quelle est cette vitesse ?
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XXIX. Le long d’un mur droit, on veut disposer une clôture en grillage de 100 m de long pour former un enclos rectangulaire dont un des côtés est le mur. Si on dispose de 100 m de grillage, quelles sont les dimensions de l’enclos de surface maximale ?
a. Donne en fonction de 𝑥 les longueurs des côtés perpendiculaires au mur.
b. Détermine la fonction renvoyant la surface de l’enclos, en fonction de la longueur 𝑥 du côté parallèle au mur.
c. Quelle est la longueur 𝑥 pour que l’enclos soit d’aire maximale ?
XXX. Tu souhaites construire dans ton jardin un enclos rectangulaire pour ton chien. Tu souhaites que ton chien puisse profiter un enclos d’aire maximale. Quels sont ses dimensions si tu disposes d’un grillage de 60 m de longueur ?
XXXI. Je compte envoyer un colis par la poste, les tarifs sont calculés en fonction des dimensions du colis. J’ai les moyens d’envoyer un paquet dont la somme du périmètre de la base et de la hauteur est de 2,7 m. Quel est le volume maximum du colis que je peux envoyer, sachant qu’il doit avoir une base carrée ?
mur 𝑥
enclos
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XXXII. La somme de deux nombres est 20, en décidant que le premier nombre vaut 𝑥, a. Que vaut le second nombre ?
b. Donne l’expression de leur produit.
c. Pour quelles valeurs de ces nombres le produit sera maximum ?
d. En suivant le même raisonnement, détermine les nombres dont la somme des carrés est minimum.
e. Quels sont les nombres dont le produit du carré de l’un par le cube de l’autre est maximum ?
XXXIII. Les casseroles standards sont deux fois plus larges que hautes afin d’économiser du métal. Vérifie que ces dimensions permettent de construire des casseroles d’une contenance d’1 litre (soit 1000 cm³) avec une surface de métal minimale.
