Oraux - HEC

ECE2 Mathématiques

Oraux - HEC

Sujet E 94

Exercice avec préparation 1 1. Question de cours

a) Définition et représentation graphique de la fonction partie entière.

b) Donner un programmeScilabpermettant de représenter la fonction partie entière sur l’intervalle

−5 2,5

2

.

Pour tout n∈N^∗, on note X_n une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé (Ω,A,P) dont une densitéf_n est donnée par :

f_n(t) =





 1

ne^−nt si t>0 0 sinon

2. Reconnaître la loi deXn, puis en donner l’espérance et la variance.

3. Pour tout n∈N^∗, on pose :u_n=P([|X_n−E(X_n)|<1]).

a) Montrer queu_n=

e²ⁿ −1 e⁻ⁿ⁺¹ⁿ .

b) Déterminer un équivalent de u_n lorsque n tend vers +∞, de la forme α

n où α est un réel que l’on déterminera.

4. Pour tout k∈N, on considère l’événementAk =

k+1

2 < Xn< k+ 1

.

a) Exprimer l’événementBn=

Xn− bX_nc> 1 2

en fonction des événementsA_k (k∈N).

b) Pour toutn∈N^∗, on pose :vn=P(Bn). Calculervn puis lim

n→+∞vn.

5. On suppose désormais que les variables aléatoires X1,X2,. . ., Xn,. . . sont indépendates et, pour tout n∈N^∗, on pose :

M_n= min(X₁, X₂, . . . , X_n) a) Déterminer la loi deM_n.

b) Pour toutn∈N^∗, on pose :wn=P([|M_n−E(Mn)|<1]). Calculerwn puis lim

n→+∞wn. Exercice sans préparation 1

On considère les deux sous-espaces vectoriels F etGde R³ définis par : ( F = Vect ((1,1,1))

G = Vect ((1,−1,0),(0,2,1)) 1. Trouver un endomorphisme de R³ dont l’image estF et le noyauG.

2. Peut-on le choisir diagonalisable ?

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